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專題6 切線長定理與問題的解決
特別要解讀：
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，并且這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.該定理在計算和證明中應用相當廣泛，常常可用來解決以下幾種題型：
①求角度；②求線段長；③證明線段相等；④證明線段成比例；⑤證明線段平行；⑥與三角形內切圓有關的問題.
培優(yōu)學案
典例示范
例1 已知⊙O的兩條切線PA 和PB 相交于點P,與⊙O 相切于A,B 兩點,C是⊙O上的一點,若∠P=40°,求∠ACB的度數(shù).
【提示】由于點C的位置不確定，所以需要分類討論.
【解答】
跟蹤訓練
如圖1-6-1,CA和CB 都是⊙O的切線,切點分別是A,B,如果⊙O的半徑為2 ,且AB=6,求∠ACB 的度數(shù).
【解答】
例2 如圖1-6-2①,在△ABC中,CA=CB,點O在高CH 上,OD⊥CA 于點D,OE⊥CB 于點E,以O為圓心,OD為半徑作⊙O.
(1)求證:⊙O與CB 相切于點E;
(2)如圖1-6-2②,若⊙O過點H,且AC=5,AB=6,連接EH,求△BHE的面積.
【提示】(1)由等腰三角形的性質易得CH是∠ACB的平分線，再根據(jù)角平分線的性質定理得OE=OD，即圓心O到直線CB 的距離等于半徑，所以結論得證；
(2)先由等腰三角形的性質得BC=AC=5,BH=AH=3,在Rt△BCH 中,由勾股定理得CH=4;再由切線長定理得 BE=BH=3;然后,過點E作EF⊥AB 于點F,則易得△BEF∽△BCH，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得EF 的長，則△BHE的面積
【解答】
跟蹤訓練
如圖1-6-3,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AB 上的一點,以O為圓心,OB 為半徑的圓與AB 交于點E,與AC切于點D,若AD=2,AE=1,求CD的長.
【解答】
例3 如圖1-6-4,PA,PB切⊙O于A,B 兩點,CD切⊙O于點E,交 PA,PB 于C,D,若⊙O的半徑為r,△PCD的周長等于3r,則tan∠APB的值是
【提示】先利用切線長定理將△PCD的周長轉化成線段PA 長的2倍，構造出切線長定理的基本圖形，利用勾股定理、面積法或者是三角函數(shù)計算出相關線段的長度，最后將所求的∠APB 放在一個直角三角形中，將它的正切值轉化為兩條線段的比值即可得到答案.
跟蹤訓練
如圖1-6-5,⊙A 與⊙B 外切于點 D,PC,PD,PE分別是圓的切線,C,D,E 是切點,若∠CED=x°, ⊙B的半徑為R，則劣弧DE的長度是 ( )
例4 如圖1-6-6①所示,AB 為⊙O的直徑,AD 與⊙O相切于點A,DE 與⊙O相切于點E,點C為DE 延長線上一點,且CE=CB.
(1)求證:BC為⊙O的切線;
(2)連接AE，AE 的延長線與BC的延長線交于點G(如圖②所示).若. 求線段 BC和EG的長.
【提示】(1)欲證明BC為⊙O 的切線，依據(jù)切線的判定定理,需證明 OB⊥BC,為此要連接 OC,OE,設法證明△OBC≌△OEC,得∠OBC=∠OEC=90°;
(2)需順著(1)問結論，靈活運用切線長定理、勾股定理、相似三角形知識解答，關鍵有二：一連接BE，發(fā)現(xiàn)EC=BC=CG；二通過過點D 作BG 邊上的高構造直角三角形，應用勾股定理求出CE的長.
【解答】
眼蹤訓練
如圖1-6-7,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,以AB為直徑作⊙O,恰與另一腰CD相切于點E,連接OD,OC,BE.
(1)求證:OD∥BE;
(2)若梯形ABCD的面積是48,設OD=x,OC=y,且x+y=14,求CD的長.
【提示】(1)由E是切點，故先連接OE，要證OD∥BE，需證明一組同位角. ∠ABE，而∠ABE 是圓周角，根據(jù)圓周角定理可知 則需證明∠AOD=∠DOE,即證明 Rt△OAD≌Rt△OED 即可;
(2)由兩對三角形全等易得∠DOC=90°,則( 由梯形的面積是 的2倍，可知. 再由x+y=14可求CD的長.
【解答】
例5 在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.
探究新知
如圖1-6-8①,⊙O是△ABC的內切圓,與三邊分別相切于點E,F,G.
(1)求證：內切圓的半徑
(2)求 tan∠OAG的值;
結論應用
(1)如圖 1-6-8②,若半徑為r 的兩個等圓⊙O ,⊙O 外切,且⊙O 與AC,AB 相切,( 與 BC,AB 相切,求r 的值;
(2)如圖1-6-8③,若半徑為r 的n個等圓⊙O ,⊙O ,…,⊙O 依次外切,且( 與AC,AB 相切,( 與BC,AB 相切,⊙O ,⊙O ,…,⊙O 均與AB 相切,求r 的值.
【解答】
培優(yōu)訓練
1.如圖1-6-10,AB=AC,CD⊥AB于點D,點O是∠BAC的平分線上一點,⊙O與AB 相切于點M,與 CD相切于點N.
(1)求證:∠AOC=135°;
(2)若 NC=3,BC=2 ,求 DM的長.
2.如圖1-6-11,AB為⊙O的直徑,CB,CD分別切⊙O于點B,D,CD交BA 的延長線于點E,CO的延長線交⊙O于點G,EF⊥OG于點F.
(1)求證:∠FEB=∠ECF;
(2)若BC=6,DE=4,求EF的長.
3.如圖1-6-12,已知AO為 的角平分線， 以O為圓心，OC 為半徑的圓分別交AO,BC于點D,E,連接ED并延長交AC 于點F.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)求 的值；
(3)求 的值.

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