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專題 4 利用直線與圓的位置關系解題
知識解讀：
1.直線和圓的位置關系：
設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d.
(1)直線與圓相交 0≤dr.
2.圓的切線：
(1)一個定義：與圓只有一個公共點的直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點.
(2)兩種判定：①若圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線；②經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
(3)判定直線和圓的位置，一般考慮如下“三步曲”：
--“看”：看看題目中有沒有告訴我們直線和圓有幾個公共點；
二“算”：算算圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的大小關系，然后根據上述關系作出判斷；
三“證明”：證明直線是否經過半徑的外端，并且與該半徑是否垂直.
切線的判定，添加輔助線是難點，通常從以下兩個角度考慮：
①若所要證明的切線與圓有公共點，這時連接公共點和圓心，證明與半徑垂直；
②若題干中沒有交代所要證明的切線與圓有公共點，這時過圓心向該直線作垂線，證明垂線段的長度等于圓的半徑.簡單地記為“有點連半徑，證垂直；無點作垂直，證半徑”.
(4)四條性質:
①圓心到切線的距離等于圓的半徑；
②圓的切線垂直于過切點的半徑；
③經過圓心，與切線垂直的直線必經過切點；
④經過切點，與切線垂直的直線必經過圓心.
應用切線的性質解題，經常需要“連接圓心和切點”，把相切轉化為垂直，再把垂直轉化為直角來解決問題.
培優學案
典例示范
例 1 如圖1-4-1,⊙O的半徑為6,射線 PM經過點O,OP=10cm,射線 PN與⊙O相切于點Q. A,B 兩點同時從點 P 出發,點 A 以 5cm/s的速度沿射線 PM方向運動，點B 以4cm/s的速度沿射線 PN方向運動，設運動時間為ts.
(1)求 PQ的長;
(2)當t為何值時,直線AB與⊙O相切
【提示】(1)連接OQ;
(2)先羅列兩要素：半徑r，圓心到直線的距離d；再分類列方程；最后解方程、檢驗.一般情況下，這個類型題無法先畫出比較準確的示意圖.
【解答】
眼標訓練
如圖1-4-2,已知射線 DE與x軸和y軸分別交于點D(3,0)和點 E(0,4).動點C 從點M(5,0)出發,以1個單位長度/秒的速度沿x軸向左做勻速運動，與此同時，動點P 從點D 出發，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向做勻速運動.設運動時間為t秒.以點C為圓心， 個單位長度為半徑的⊙C與x軸交于A，B兩點(點A在點B 的左側)，連接PA，PB.當⊙C與射線DE 有公共點時，求t的取值范圍.
【提示】讀懂題意，抽絲剝繭，讀者可思考三個問題：①⊙C的半徑怎樣變化 ②⊙C 在運動的過程中，什么時間開始與射線 DE有公共點 什么時間結束與射線DE 有公共點 ③研究⊙C 與射線DE 的公共點，與點 P 有關系嗎
顯然，當A，D重合時，⊙C與射線DE 開始有公共點；當⊙C 與射線DE相切之后，就結束與射線DE 有公共點.⊙C 與射線DE 相切的圖形你會畫嗎 怎樣求⊙C 與射線DE 相切時對應的t的值呢
【解答】
例2 如圖1-4-3,已知AB是⊙O的直徑,直線CD與⊙O相切于點C,AD⊥CD于點D.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)若E為AB的中點, 求 AB 和CE 的長.
【提示】“遇到切點連圓心”，這是應用切線的性質解題時常用的策略.對于(1)，先利用圓的切線性質得OC⊥CD，再利用AD⊥CD，即得OC∥AD，然后根據平行線的判定及性質得到∠DAC=∠ACO,又∠OAC=∠ACO,故∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB;對于(2),先根據△ADC∽△ACB,得到 AB=10,再利用點E 為 的中點及過點A 作CE 的垂線AF，利用三角函數的相關知識分別得到CF，EF的長，相加即得CE的長..
【解答】
跟蹤訓練
如圖1-4-4,AB 為⊙O的直徑,BF切⊙O于點B,AF交⊙O于點D,點C 在 DF 上,BC交⊙O于點E,且∠BAF=2∠CBF,CG⊥BF 于點G,連接AE.
(1)直接寫出AE 與BC 的位置關系;
(2)求證:△BCG∽△ACE;
(3)若∠F=60°,GF=1,求⊙O的半徑.
【提示】解題的關鍵是根據圓的性質尋找三角形相似的條件，根據相似三角形解決相應問題。
【解答】
例3 如圖1-4-5 是裝有三個小輪的手拉車在“爬”樓梯時的側面示意圖，定長的輪回桿 OA，OB，OC抽象為線段,有OA=OB=OC,且∠AOB=120°,折線 NG—GH—HE—EF 表示樓梯,GH,EF 是水平線,NG,HE是鉛垂線，半徑相等的小輪子⊙A，⊙B 與樓梯兩邊都相切，且AO∥GH.
(1)如圖1-4-6①,若點 H 在線段OB 上,求 的值；
(2)如圖1-4-6②,如果一級樓梯的高度. 點 H 到線段OB 的距離 HD=d滿足條件d≤3cm,求小輪子半徑 rcm的取值范圍.
【提示】(1)過O作OP⊥GH 于點P,過B作BM⊥HE 于點M,根據O到GH 的距離與B 到HE 的距離相等都等于⊙A 與⊙B的半徑及∠HOP=∠BHM=30°，結合特殊角的三角函數求解；
(2)通過作垂線構造直角三角形，作平行線構造相等角，再利用特殊角的三角函數和切線的性質求解.
【解答】
跟蹤訓練
一走廊拐角的橫截面如圖1-4-7 所示,已知AB⊥BC,AB∥DE,BC∥FG,且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m. EF的的圓心為O，半徑為1m，且 DE,FG分別與⊙O相切于E，F兩點.若水平放置的木棒MN的兩個端點M，N分別在AB 和BC上，且MN與⊙O相切于點P,P 是EFI的中點，則木棒 MN 的長度為 m.
【提示】利用圓的切線的性質，連接OB，解題的關鍵是證明O，P，B三點共線.
例4 如圖1-4-8,BD為⊙O的直徑,AB=AC,AD交BC 于點E,AE=1,ED=2.
(1)求證:∠ABC=∠D;
(2)求 AB的長;
(3)延長DB 到F,使得BF=BO,連接 FA.試判斷直線 FA與⊙O的位置關系,并說明理由.
【提示】(1)利用等腰三角形的性質與圓周角定理的推論易知∠ABC=∠C=∠D；
(2)題目所給的線段長度只有AE=1,ED=2,而求AB 的長,結合(1)中的結論,不難發現
△ABE∽△ADB,得 從而可求AB的長；
(3)已知點A在⊙O上，故可連接OA，通過證OA⊥AF 獲得結論.這可通過已知條件分別求得∠BAO=60°,∠FAB=30°達到目的.
【解答】
跟蹤訓練
如圖1-4-9,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB 的中點O為圓心,OA 為半徑的圓交AC 于點D,E是BC的中點,連接DE,OE.
(1)判斷 DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
(2)求證:
(3)若 求OE的長.
【提示】(1)連接OD,因為∠ABC=90°,可以考慮利用“SAS”證明△OBE≌△ODE,從而證明∠ODE=∠OBE=90°;
(2)因為OE 是△ABC的中位線,所以AC=2OE,要證明. 只要證明BC =CD·AC,即 就是要證明△BCD∽△ACB;
(3)要求OE的長,就是要求出AC的長,在Rt△ABC中, 利用 可以求出AC的長.
【解答】
例5 如圖 1-4-10①和②,優弧. 所在⊙O的半徑為2， 點P 為優弧 上一點(點 P 不與A,B重合)，將圖形沿BP 折疊，得到點A的對稱點A'.
(1)點O到弦AB的距離是 ,
當BP經過點O時，
(2)當BA'與⊙O相切時,如圖②,求折痕 BP 的長;
(3)若線段BA'與優弧 只有一個公共點B，設∠ABP=α，確定α的取值范圍.

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