資源簡介

4.1 課時2 圓柱、圓錐、圓臺、球與簡單組合體的結構特征
【學習目標】
1.了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義.(數學抽象)
2.掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征.(直觀想象)
3.認識簡單組合體的結構特征,了解簡單組合體的兩種基本構成形式.(直觀想象)
【自主預習】
觀察下列實物圖.
1.你能說出由該實物圖抽象出的幾何體嗎
2.常見的旋轉體有哪些 它們是怎樣形成的
3.圓臺和圓錐之間有什么關系
4.這些旋轉體的側面展開圖和軸截面分別是什么圖形
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)直角三角形繞一邊所在的直線旋轉得到的旋轉體是圓錐. (　　)
(2)圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺. (　　)
(3)夾在一圓柱的兩個平行截面間的幾何體是圓柱. (　　)
(4)半圓繞其直徑所在的直線旋轉一周形成球. (　　)
2.下列說法中,正確的是(　　).
A.以直角三角形的一直角邊所在的直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐
B.以直角梯形的一腰所在的直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺
C.圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面
D.圓錐的側面展開圖為扇形,這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑
3.(多選題)下列說法正確的是(　　).
A.球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段
B.球面上任意兩點的連線是球的直徑
C.用一個平面截一個球,得到的截面是一個圓面
D.以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸旋轉形成的曲面叫作球
4.觀察下列四個幾何體,其中可看作是由兩個棱柱拼接而成的有　　　　.(填序號)
【合作探究】
探究1　圓柱、圓錐、圓臺的結構特征
小明說,他利用下圖旋轉一周就能得到圓錐、圓柱、圓臺.
問題1:小明說的正確嗎
問題2:圓柱是由幾個平面圍成的嗎 若不是,它又是怎么構成的呢
問題3:圓錐是以直角三角形的任意一條邊所在直線為軸旋轉而成的嗎
問題4:用平面去截圓錐一定會得到一個圓錐和一個圓臺嗎
新知生成
1.圓柱
(1)定義:將矩形ABCD(及其內部)繞其一條邊AB所在直線旋轉一周,所形成的旋轉體叫作圓柱.邊AB所在直線叫作圓柱的軸,由邊AD和BC繞軸旋轉而成的圓面叫作圓柱的底面,由邊CD繞軸旋轉而成的曲面叫作圓柱的側面,邊CD叫作圓柱的一條母線.
(2)表示:例如,圓柱AB.
2.圓錐
(1)定義:將直角三角形ABC(及其內部)繞其一條直角邊AB所在直線旋轉一周,所形成的旋轉體叫作圓錐.直角邊AB所在直線叫作圓錐的軸,點A叫作圓錐的頂點,由直角邊BC繞軸旋轉而成的圓面叫作圓錐的底面,由斜邊AC繞軸旋轉而成的曲面叫作圓錐的側面,斜邊AC叫作圓錐的一條母線.
(2)表示:例如,圓錐AB.
3.圓臺
(1)定義:將直角梯形ABCD(及其內部)繞其垂直于底邊的腰BC所在直線旋轉一周,所形成的旋轉體叫作圓臺.腰BC所在直線叫作圓臺的軸,由底邊AB和CD繞軸旋轉而成的圓面叫作圓臺的底面,由腰AD繞軸旋轉而成的曲面叫作圓臺的側面,腰AD叫作圓臺的一條母線.
圓臺也可以看作是用平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到的圓錐底面與截面之間的幾何體.
(2)表示:例如,圓臺BC.
4.圓柱、圓錐、圓臺的性質
①平行于圓柱、圓錐、圓臺的底面的截面都是圓;
②圓柱、圓錐、圓臺的軸截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.
新知運用
例1　給出下列命題:
(1)以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐;
(2)以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺;
(3)圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面;
(4)用一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺.
其中真命題的個數為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
方法指導　根據圓柱、圓錐、圓臺的概念判斷.
【方法總結】　　圓柱、圓錐、圓臺和球都是由平面圖形繞著某條軸旋轉而成的,平面圖形不同,得到的旋轉體也不同,即使是同一平面圖形,所選旋轉軸不同,得到的旋轉體也不同.
若本例中(2)改為“以直角梯形的各邊所在直線為軸旋轉一周”,得到的幾何體是由哪些簡單幾何體組成的
探究2　球體與組合體的結構特征
　　如圖,這是蒙古族牧民居住的一種房子,又稱蒙古包.
問題1:你能說出上圖是由哪些幾何體構成的嗎
問題2:我們知道球與圓柱、圓錐、圓臺又不一樣,它沒有一個面是平面,它又是由什么幾何圖形繞著什么軸旋轉而成的呢
問題3:球能否由圓面旋轉而成
新知生成
1.球
(1)定義:將圓心為O的半圓(及其內部)繞其直徑AB所在直線旋轉一周,所形成的旋轉體叫作球,記作球O.半圓的圓弧旋轉一周所形成的曲面叫作球面(即球的表面),把點O稱為球心,把原半圓的半徑和直徑分別稱為球的半徑和球的直徑.
(2)性質:
①球面上所有的點到球心的距離都相等,等于球的半徑;
②用任何一個平面去截球面,得到的截面都是圓,其中過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大,等于球的半徑.
2.簡單組合體
簡單組合體的構成有兩種基本形式:一種是由簡單幾何體拼接而成;一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.
新知運用
例2　圖①②所示的圖形繞虛線旋轉一周后形成的幾何體分別是由哪些簡單幾何體組成的
方法指導　先將平面圖形割補成三角形、梯形、矩形,再旋轉識別幾何體.
【方法總結】　　識別或運用幾何體的結構特征,要從幾何體的概念入手,掌握畫圖或識圖的方法,并善于運用身邊的特殊幾何體進行比較、分析、判斷.
將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在的直線旋轉一周,所得的幾何體包括(　　).
A.一個圓臺、兩個圓錐　　　B.兩個圓柱、一個圓錐
C.兩個圓臺、一個圓柱　　　D.一個圓柱、兩個圓錐
探究3　幾何體中的計算問題
例3　如圖所示,已知圓柱的高為80 cm,底面半徑為10 cm,軸截面上有P,Q兩點,且PA=40 cm,B1Q=30 cm,若一只螞蟻沿著側面從P點爬到Q點,問:螞蟻爬過的最短路徑長是多少
方法指導　將圓柱側面展開,把空間問題轉化為平面問題解決.
【方法總結】　　求圓柱、圓錐、圓臺側面上兩點間的最短距離都要轉化到側面展開圖中,“化曲為直”是求幾何體表面上兩點間最短距離的好方法.
國慶節期間,要在一圓錐形建筑物上掛一宣傳標語,經測量得圓錐的母線長為3米,高為2米,如圖所示.為了美觀需要,在底面圓周上找一點M拴系彩綢的一端,沿圓錐的側面繞一周掛彩綢,彩綢的另一端仍回到原處M,則彩綢最短要多少米
【隨堂檢測】
1.圓錐的母線有(　　).
A.1條 B.2條
C.3條 D.無數條
2.下列幾何體中不是旋轉體的是(　　).
3.在社會主義新農村建設中,某村統一進行舊村改造,其每戶的住宅房的效果圖如圖所示,其主要的結構特征是　　　　.
4.圓臺的兩底面圓半徑分別為2 cm,5 cm,母線長是3 cm,求其軸截面的面積.
24.1 課時2 圓柱、圓錐、圓臺、球與簡單組合體的結構特征
【學習目標】
1.了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義.(數學抽象)
2.掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征.(直觀想象)
3.認識簡單組合體的結構特征,了解簡單組合體的兩種基本構成形式.(直觀想象)
【自主預習】
觀察下列實物圖.
1.你能說出由該實物圖抽象出的幾何體嗎
【答案】　能,從左到右依次是圓臺、球、圓錐、圓柱.
2.常見的旋轉體有哪些 它們是怎樣形成的
【答案】　常見的旋轉體有圓柱、圓錐、圓臺、球;它們是由矩形、直角三角形、等腰梯形、半圓面繞一條定直線旋轉而成的.
3.圓臺和圓錐之間有什么關系
【答案】　用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和圓錐底面之間的部分叫作圓臺.
4.這些旋轉體的側面展開圖和軸截面分別是什么圖形
【答案】　圓臺的側面展開圖是扇環,軸截面是等腰梯形;圓錐的側面展開圖是扇形,軸截面是等腰三角形;圓柱的側面展開圖是矩形,軸截面也是矩形;球沒有側面展開圖,軸截面是圓.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)直角三角形繞一邊所在的直線旋轉得到的旋轉體是圓錐. (　　)
(2)圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺. (　　)
(3)夾在一圓柱的兩個平行截面間的幾何體是圓柱. (　　)
(4)半圓繞其直徑所在的直線旋轉一周形成球. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.下列說法中,正確的是(　　).
A.以直角三角形的一直角邊所在的直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐
B.以直角梯形的一腰所在的直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺
C.圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面
D.圓錐的側面展開圖為扇形,這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑
【答案】　A
【解析】　以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為軸,旋轉一周所得的旋轉體才是圓臺,故B不正確;圓錐僅有一個底面,故C不正確;圓錐的側面展開圖為扇形,這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長,故D不正確.故選A.
3.(多選題)下列說法正確的是(　　).
A.球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段
B.球面上任意兩點的連線是球的直徑
C.用一個平面截一個球,得到的截面是一個圓面
D.以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸旋轉形成的曲面叫作球
【答案】　AC
【解析】　A正確;B錯誤,只有兩點的連線經過球心時才為直徑;C正確;球面和球是兩個不同的概念,以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸旋轉一周形成的曲面叫作球面,球面圍成的幾何體叫作球,故D錯誤.
4.觀察下列四個幾何體,其中可看作是由兩個棱柱拼接而成的有　　　　.(填序號)
【答案】　①④
【解析】　①可看作由一個四棱柱和一個三棱柱組合而成,④可看作由兩個四棱柱組合而成.
【合作探究】
探究1　圓柱、圓錐、圓臺的結構特征
小明說,他利用下圖旋轉一周就能得到圓錐、圓柱、圓臺.
問題1:小明說的正確嗎
【答案】　不正確,他得到的是一個組合體,這個組合體是由圓錐、圓柱、圓臺組成的.
問題2:圓柱是由幾個平面圍成的嗎 若不是,它又是怎么構成的呢
【答案】　圓柱的面不都是平面,如側面就是曲面.它是以矩形的一條邊所在直線為旋轉軸,其余三條邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體.
問題3:圓錐是以直角三角形的任意一條邊所在直線為軸旋轉而成的嗎
【答案】　不是,它是以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸,其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體.
問題4:用平面去截圓錐一定會得到一個圓錐和一個圓臺嗎
【答案】　不一定,只有當平面與圓錐的底面平行時,才能截得一個圓錐和一個圓臺.
新知生成
1.圓柱
(1)定義:將矩形ABCD(及其內部)繞其一條邊AB所在直線旋轉一周,所形成的旋轉體叫作圓柱.邊AB所在直線叫作圓柱的軸,由邊AD和BC繞軸旋轉而成的圓面叫作圓柱的底面,由邊CD繞軸旋轉而成的曲面叫作圓柱的側面,邊CD叫作圓柱的一條母線.
(2)表示:例如,圓柱AB.
2.圓錐
(1)定義:將直角三角形ABC(及其內部)繞其一條直角邊AB所在直線旋轉一周,所形成的旋轉體叫作圓錐.直角邊AB所在直線叫作圓錐的軸,點A叫作圓錐的頂點,由直角邊BC繞軸旋轉而成的圓面叫作圓錐的底面,由斜邊AC繞軸旋轉而成的曲面叫作圓錐的側面,斜邊AC叫作圓錐的一條母線.
(2)表示:例如,圓錐AB.
3.圓臺
(1)定義:將直角梯形ABCD(及其內部)繞其垂直于底邊的腰BC所在直線旋轉一周,所形成的旋轉體叫作圓臺.腰BC所在直線叫作圓臺的軸,由底邊AB和CD繞軸旋轉而成的圓面叫作圓臺的底面,由腰AD繞軸旋轉而成的曲面叫作圓臺的側面,腰AD叫作圓臺的一條母線.
圓臺也可以看作是用平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到的圓錐底面與截面之間的幾何體.
(2)表示:例如,圓臺BC.
4.圓柱、圓錐、圓臺的性質
①平行于圓柱、圓錐、圓臺的底面的截面都是圓;
②圓柱、圓錐、圓臺的軸截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.
新知運用
例1　給出下列命題:
(1)以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐;
(2)以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺;
(3)圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面;
(4)用一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺.
其中真命題的個數為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
方法指導　根據圓柱、圓錐、圓臺的概念判斷.
【答案】　C
【解析】　(1)以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉才可以得到圓錐;(2)以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉才可以得到圓臺;(3)圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面;(4)用平行于圓錐底面的平面截圓錐,才可得到一個圓錐和一個圓臺.故(1)(3)正確,故選C.
【方法總結】　　圓柱、圓錐、圓臺和球都是由平面圖形繞著某條軸旋轉而成的,平面圖形不同,得到的旋轉體也不同,即使是同一平面圖形,所選旋轉軸不同,得到的旋轉體也不同.
若本例中(2)改為“以直角梯形的各邊所在直線為軸旋轉一周”,得到的幾何體是由哪些簡單幾何體組成的
【解析】　①以垂直于底邊的腰所在直線為軸旋轉一周得到圓臺;②以較長的底所在直線為軸旋轉一周得到的幾何體由一個圓柱和一個圓錐組成;③以較短的底所在直線為軸旋轉一周得到的幾何體由一個圓柱挖去一個同底圓錐組成;④以斜腰所在直線為軸旋轉一周得到的幾何體由一個圓錐加上一個圓臺挖去一個小圓錐組成.
探究2　球體與組合體的結構特征
　　如圖,這是蒙古族牧民居住的一種房子,又稱蒙古包.
問題1:你能說出上圖是由哪些幾何體構成的嗎
【答案】　能,它是由圓柱、圓臺、圓錐構成的.
問題2:我們知道球與圓柱、圓錐、圓臺又不一樣,它沒有一個面是平面,它又是由什么幾何圖形繞著什么軸旋轉而成的呢
【答案】　球是由半圓繞直徑所在的直線旋轉一周形成的幾何體.
問題3:球能否由圓面旋轉而成
【答案】　能.圓面以直徑所在的直線為旋轉軸,旋轉半周形成的旋轉體為球.
新知生成
1.球
(1)定義:將圓心為O的半圓(及其內部)繞其直徑AB所在直線旋轉一周,所形成的旋轉體叫作球,記作球O.半圓的圓弧旋轉一周所形成的曲面叫作球面(即球的表面),把點O稱為球心,把原半圓的半徑和直徑分別稱為球的半徑和球的直徑.
(2)性質:
①球面上所有的點到球心的距離都相等,等于球的半徑;
②用任何一個平面去截球面,得到的截面都是圓,其中過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大,等于球的半徑.
2.簡單組合體
簡單組合體的構成有兩種基本形式:一種是由簡單幾何體拼接而成;一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.
新知運用
例2　圖①②所示的圖形繞虛線旋轉一周后形成的幾何體分別是由哪些簡單幾何體組成的
方法指導　先將平面圖形割補成三角形、梯形、矩形,再旋轉識別幾何體.
【解析】　旋轉后的幾何體如圖所示.其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3,O3O4組成;圖②是由一個圓錐O5O4,一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成.
【方法總結】　　識別或運用幾何體的結構特征,要從幾何體的概念入手,掌握畫圖或識圖的方法,并善于運用身邊的特殊幾何體進行比較、分析、判斷.
將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在的直線旋轉一周,所得的幾何體包括(　　).
A.一個圓臺、兩個圓錐　　　B.兩個圓柱、一個圓錐
C.兩個圓臺、一個圓柱　　　D.一個圓柱、兩個圓錐
【答案】　D
【解析】　圖①是一個等腰梯形,CD為較長的底邊,以CD邊所在的直線為旋轉軸旋轉一周所得的幾何體為一個組合體,如圖②,是由一個圓柱、兩個圓錐組成的.
探究3　幾何體中的計算問題
例3　如圖所示,已知圓柱的高為80 cm,底面半徑為10 cm,軸截面上有P,Q兩點,且PA=40 cm,B1Q=30 cm,若一只螞蟻沿著側面從P點爬到Q點,問:螞蟻爬過的最短路徑長是多少
方法指導　將圓柱側面展開,把空間問題轉化為平面問題解決.
【解析】　將圓柱側面沿母線AA1展開,得到如圖所示的矩形,則A1B1=·2πr=πr=10π(cm).
過點Q作QS⊥AA1于點S,在Rt△PQS中,PS=80-40-30=10(cm),QS=A1B1=10π(cm),∴PQ==10(cm),
即螞蟻爬過的最短路徑長是10 cm.
【方法總結】　　求圓柱、圓錐、圓臺側面上兩點間的最短距離都要轉化到側面展開圖中,“化曲為直”是求幾何體表面上兩點間最短距離的好方法.
國慶節期間,要在一圓錐形建筑物上掛一宣傳標語,經測量得圓錐的母線長為3米,高為2米,如圖所示.為了美觀需要,在底面圓周上找一點M拴系彩綢的一端,沿圓錐的側面繞一周掛彩綢,彩綢的另一端仍回到原處M,則彩綢最短要多少米
【解析】　把圓錐的側面沿過點M的母線剪開,并鋪平得扇形MOM1,如圖所示.
這樣把空間問題轉化為平面問題,易知彩綢的最短長度為線段MM1的長度,由母線長為3米,高為2米,得底面半徑為1米,所以扇形的圓心角為120°,所以MM1=3米,即彩綢最短要3米.
【隨堂檢測】
1.圓錐的母線有(　　).
A.1條 B.2條
C.3條 D.無數條
【答案】　D
【解析】　由圓錐的結構特征知圓錐的母線有無數條.
2.下列幾何體中不是旋轉體的是(　　).
【答案】　D
【解析】　很明顯D不可能是旋轉體.
3.在社會主義新農村建設中,某村統一進行舊村改造,其每戶的住宅房的效果圖如圖所示,其主要的結構特征是　　　　.
【答案】　一個三棱柱和一個長方體拼接而成的組合體
【解析】　將該住宅房抽象成如圖所示的組合體,
則該住宅房的上部分是一個三棱柱,下部分是一個長方體.
4.圓臺的兩底面圓半徑分別為2 cm,5 cm,母線長是3 cm,求其軸截面的面積.
【解析】　如圖,在軸截面內過點A作AB⊥O1A1,垂足為B.
由已知得OA=2 cm,O1A1=5 cm,AA1=3 cm,
∴A1B=3 cm,
∴AB===9 cm.
∴S軸截面=(2OA+2O1A1)·AB=×(4+10)×9=63(cm2).
故圓臺軸截面的面積為63 cm2.
2

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