資源簡介

4.1 課時3 空間幾何體的直觀圖
【學習目標】
1.了解斜二測畫法的概念并掌握斜二測畫法的步驟.(邏輯推理、直觀想象)
2.會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖.(直觀想象)
【自主預習】
1.在畫實物圖的平面圖形時,其中的直角在圖中一定畫成直角嗎
【答案】　不一定.
2.正方形、矩形、圓等平面圖形在畫實物圖時習慣畫成什么形狀 為什么
【答案】　平行四邊形、平行四邊形、扁圓形.為增加直觀性.
3.水平放置的平面圖形中的線段在直觀圖中長度不變嗎
【答案】　圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持長度不變,平行于y軸的線段,長度為原來的一半.
4.用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟是什么
【答案】　(1)畫底面,這時使用平面圖形的斜二測畫法即可.
(2)畫z'軸,z'軸過點O',且與x'軸的夾角為90°,并畫出高線(與原圖高線相等,畫正棱柱時只需要畫側棱即可),連線成圖.
(3)擦去輔助線,被遮線用虛線表示.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖中的線段,原來垂直的仍垂直. (　　)
(2)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖中的線段,原來平行的仍平行. (　　)
(3)正方形的直觀圖為平行四邊形. (　　)
(4)梯形的直觀圖不是梯形. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.某一平面圖形的直觀圖如圖所示,則此平面圖形可能是圖中的(　　).
　　 A　　　　 　B　　　　C　　　 　　D
【答案】　A
【解析】　由直觀圖知,原四邊形一組對邊平行且不相等,為梯形,且梯形兩腰不與底垂直.故選A.
3.用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時,若∠A的兩邊分別平行于x軸,y軸,且∠A=90°,則在直觀圖中∠A'=(　　).
A.45° B.135°
C.45°或135° D.90°
【答案】　C
【解析】　在畫直觀圖時,∠A'的兩邊依然分別平行于x'軸,y'軸,而∠x'O'y'=45°或∠x'O'y'=135°.故選C.
【合作探究】
探究1　斜二測畫法、平面圖形直觀圖的畫法及要求
問題1:三視圖在生產活動中應用廣泛,比如我們的零件圖紙、建筑圖紙上畫的都是三視圖.但是三視圖不能更好地體現空間幾何體的整體,沒有直觀的概念.如何展現幾何體的“全貌”,體現線線,線面間的關系呢
【答案】　利用平行投影畫出幾何體的直觀圖.
問題2:矩形窗戶在陽光的照射下留在地面上的影子是什么形狀 如何畫矩形的直觀圖
【答案】　平行四邊形.利用斜二測畫法.
問題3:用斜二測畫法畫出水平放置的長為6,寬為4的矩形的直觀圖.
【答案】　在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,作出其斜二測直觀圖,如下圖所示.
問題4:你能總結一下畫水平放置的長方形的直觀圖的規則嗎
【答案】　畫軸,橫不變,縱減半,平行重合不改變.
新知生成
1.斜二測畫法
我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖.斜二測畫法是一種特殊的　平行投影　畫法.
2.平面圖形直觀圖的畫法及要求
新知運用
例1　畫水平放置的正五邊形的直觀圖.
【解析】　(1)建立如圖①所示的直角坐標系xOy,再建立如圖②所示的坐標系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)在圖①中作BG⊥x軸于點G,EH⊥x軸于點H,在坐標系x'O'y'中作O'H'=OH,O'G'=OG,O'A'=OA,O'F'=OF.過點F'作C'D'∥x'軸,且C'F'=CF,F'D'=FD.在平面x'O'y'中,過點G'作G'B'∥y'軸,且G'B'=GB,過點
H'作H'E'∥y'軸,且H'E'=HE.連接A'B',B'C',C'D',D'E',E'A',如圖②所示.
(3)擦去輔助線,得五邊形A'B'C'D'E'為正五邊形ABCDE的直觀圖,如圖③所示.
【方法總結】　　畫平面圖形的直觀圖的技巧:(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時,選取恰當的坐標系是關鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上,以便于畫點;(2)畫平面圖形的直觀圖,首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變),與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點,然后連接成線段.
畫水平放置的直角梯形的直觀圖,如圖所示.
【解析】　(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底邊OB所在直線為x軸,垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標系.畫相應的x'軸和y'軸,使∠x'O'y'=45°,如圖①②所示.
(2)在x'軸上截取O'B'=OB,在y'軸上截取O'D'=OD,過點D'作x'軸的平行線l,在l上沿x'軸正方向取點C'使得D'C'=DC,連接B'C',如圖②所示.
(3)擦去輔助線,所得四邊形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直觀圖,如圖③所示.
探究2　空間幾何體直觀圖的畫法
已知正六棱錐P-ABCDEF.
問題1:如何畫正六棱錐的直觀圖呢
【答案】　先畫正六棱錐P-ABCDEF的底面,再畫正六棱錐的高,然后連接得圖形.
問題2:空間幾何體的直觀圖唯一嗎
【答案】　不唯一.作直觀圖時,由于選軸的不同,畫出的直觀圖也不同.
新知生成
空間幾何體直觀圖的畫法
(1)與平面圖形的直觀圖相比,只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的　z　軸,直觀圖中與之對應的是　z'　軸;
(2)平面　x'O'y'　表示水平平面,平面　y'O'z'　和　x'O'z'　表示豎直平面;
(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段,在其直觀圖中　平行性　和　長度　都不變;
(4)去掉輔助線,將被遮擋的部分改為　虛線　,成圖.
新知運用
例2　畫正六棱柱(底面是正六邊形,側棱垂直于底面)的直觀圖.(底面邊長尺寸不作要求,側棱長為1.5 cm)
方法指導　先畫軸,再利用斜二測畫法,畫出兩個底面,連線成圖,擦去多余的線.
【解析】　(1)畫軸.畫x'軸、y'軸、z'軸,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°.
(2)畫底面.根據x'軸,y'軸,畫正六邊形的直觀圖ABCDEF.
(3)畫側棱.過A,B,C,D,E,F各點分別作z'軸的平行線,在這些平行線上分別截取AA',BB',CC',DD',EE',FF'都等于1.5 cm.
(4)成圖.順次連接A',B',C',D',E',F',去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線,就得到正六棱柱的直觀圖.
【方法總結】　　畫空間幾何體的直觀圖的基本原則:(1)用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時,圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應分別畫成平行于x'軸、y'軸、z'軸的線段;(2)平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變,平行于y軸的線段長度變為原來的.
由如圖所示的幾何體的三視圖畫出直觀圖.
【解析】　(1)畫軸.如圖①,畫出x軸、y軸、z軸,三軸相交于點O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)畫底面.作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀圖△ABC.
(3)畫側棱.過A,B,C各點分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取線段AA',BB',CC',且AA'=BB'=CC',如圖①.
(4)成圖,順次連接A',B',C',并加以整理(擦去輔助線,將遮擋部分用虛線表示),得到的圖形就是所求的幾何體的直觀圖,如圖②.
探究3　直觀圖的還原與計算
例3　(1)如圖①,Rt△O'A'B'是一個平面圖形的直觀圖,若O'B'=,則這個平面圖形的面積是(　　).
A.1 B. C.2 D.4
(2)如圖②所示,梯形A1B1C1D1是平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.試畫出原四邊形,并求原圖形的面積.
方法指導　逆用斜二測畫法,還原圖形.先定點,再連線得原圖形,求面積.
【答案】　(1)C
【解析】　(1)由題圖知,△OAB為直角三角形.因為O'B'=,所以A'B'=,O'A'=2.所以在原△OAB中,OB=,OA=4,所以S△OAB=××4=2,
故選C.
(2)如圖,建立直角坐標系xOy,在x軸上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.在過點D與y軸平行的直線上截取DA=2D1A1=2.在過點A與x軸平行的直線上截取AB=A1B1=2.連接BC,便得到了原圖形.
由作法可知,原四邊形ABCD是直角梯形,上、下底分別為AB=2,CD=3,直角腰AD=2.
所以原圖形的面積S=×2=5.
【方法總結】　　斜二測畫法是聯系直觀圖和原圖形的橋梁,可根據它們之間的可逆關系尋找它們的聯系;在求直觀圖的面積時,可根據斜二測畫法,畫出直觀圖,從而確定其高和底邊等,而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形,且兩者之間的關系為=.
如圖,△A'B'C'是水平放置的平面圖形的直觀圖,若C'A'=2,B'D'∥y'軸,且B'D'=1.5,畫出原圖形并求原平面圖形△ABC的面積.
【解析】　畫直角坐標系xOy,在x軸上取OA=O'A',OD=O'D',過點D作DB∥y軸,并使DB=2D'B'.連接AB,BC,則△ABC為△A'B'C'原來的圖形,如圖所示.
∵B'D'∥y'軸,∴BD⊥AC.
又B'D'=1.5且A'C'=2,
∴BD=3,AC=2.
∴S△ABC=·BD·AC=3.
【隨堂檢測】
1.利用斜二測畫法畫出邊長為3 cm的正方形的直觀圖,則下列畫法正確的是(　　).
　　　A　　　　 B　　 　　C　　　　　D
【答案】　C
【解析】　正方形的直觀圖應是一個內角為45°的平行四邊形,且相鄰的兩邊之比為2∶1.
2.在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時,若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸,則在直觀圖中,∠A'=　　　　.
【答案】　45°或135°
【解析】　因為∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸,所以∠A=90°,在直觀圖中,按斜二測畫法規則知∠x'O'y'=45°或135°,即∠A'=45°或135°.
3.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示,已知A'C'=3,B'C'=2,則AB邊上的中線的實際長度為　　　　.
【答案】　2.5
【解析】　由直觀圖知,原平面圖形為Rt△ACB,且AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,計算得AB=5,故所求的中線長為2.5.
4.畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖.
【解析】　(1)過點C作CE⊥x軸,垂足為E,如圖①所示.
(2)畫出對應的x'軸、y'軸,使∠x'O'y'=45°,如圖②所示.
在x'軸上取點B',E',使得O'B'=OB,O'E'=OE;在y'軸上取一點D',使得O'D'=OD;過點E'作E'C'∥y'軸,使E'C'=EC.
(3)連接B'C',C'D',并擦去x'軸與y'軸及其他一些輔助線,如圖③所示,四邊形O'B'C'D'就是所求的直觀圖.
24.1 課時3 空間幾何體的直觀圖
【學習目標】
1.了解斜二測畫法的概念并掌握斜二測畫法的步驟.(邏輯推理、直觀想象)
2.會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖.(直觀想象)
【自主預習】
1.在畫實物圖的平面圖形時,其中的直角在圖中一定畫成直角嗎
2.正方形、矩形、圓等平面圖形在畫實物圖時習慣畫成什么形狀 為什么
3.水平放置的平面圖形中的線段在直觀圖中長度不變嗎
4.用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖中的線段,原來垂直的仍垂直. (　　)
(2)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖中的線段,原來平行的仍平行. (　　)
(3)正方形的直觀圖為平行四邊形. (　　)
(4)梯形的直觀圖不是梯形. (　　)
2.某一平面圖形的直觀圖如圖所示,則此平面圖形可能是圖中的(　　).
　　 A　　　　 　B　　　　C　　　 　　D
3.用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時,若∠A的兩邊分別平行于x軸,y軸,且∠A=90°,則在直觀圖中∠A'=(　　).
A.45° B.135°
C.45°或135° D.90°
【合作探究】
探究1　斜二測畫法、平面圖形直觀圖的畫法及要求
問題1:三視圖在生產活動中應用廣泛,比如我們的零件圖紙、建筑圖紙上畫的都是三視圖.但是三視圖不能更好地體現空間幾何體的整體,沒有直觀的概念.如何展現幾何體的“全貌”,體現線線,線面間的關系呢
問題2:矩形窗戶在陽光的照射下留在地面上的影子是什么形狀 如何畫矩形的直觀圖
問題3:用斜二測畫法畫出水平放置的長為6,寬為4的矩形的直觀圖.
問題4:你能總結一下畫水平放置的長方形的直觀圖的規則嗎
新知生成
1.斜二測畫法
我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖.斜二測畫法是一種特殊的　平行投影　畫法.
2.平面圖形直觀圖的畫法及要求
新知運用
例1　畫水平放置的正五邊形的直觀圖.
【方法總結】　　畫平面圖形的直觀圖的技巧:(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時,選取恰當的坐標系是關鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上,以便于畫點;(2)畫平面圖形的直觀圖,首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變),與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點,然后連接成線段.
畫水平放置的直角梯形的直觀圖,如圖所示.
探究2　空間幾何體直觀圖的畫法
已知正六棱錐P-ABCDEF.
問題1:如何畫正六棱錐的直觀圖呢
問題2:空間幾何體的直觀圖唯一嗎
新知生成
空間幾何體直觀圖的畫法
(1)與平面圖形的直觀圖相比,只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的　z　軸,直觀圖中與之對應的是　z'　軸;
(2)平面　x'O'y'　表示水平平面,平面　y'O'z'　和　x'O'z'　表示豎直平面;
(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段,在其直觀圖中　平行性　和　長度　都不變;
(4)去掉輔助線,將被遮擋的部分改為　虛線　,成圖.
新知運用
例2　畫正六棱柱(底面是正六邊形,側棱垂直于底面)的直觀圖.(底面邊長尺寸不作要求,側棱長為1.5 cm)
方法指導　先畫軸,再利用斜二測畫法,畫出兩個底面,連線成圖,擦去多余的線.
【方法總結】　　畫空間幾何體的直觀圖的基本原則:(1)用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時,圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應分別畫成平行于x'軸、y'軸、z'軸的線段;(2)平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變,平行于y軸的線段長度變為原來的.
由如圖所示的幾何體的三視圖畫出直觀圖.
探究3　直觀圖的還原與計算
例3　(1)如圖①,Rt△O'A'B'是一個平面圖形的直觀圖,若O'B'=,則這個平面圖形的面積是(　　).
A.1 B. C.2 D.4
(2)如圖②所示,梯形A1B1C1D1是平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.試畫出原四邊形,并求原圖形的面積.
方法指導　逆用斜二測畫法,還原圖形.先定點,再連線得原圖形,求面積.
【方法總結】　　斜二測畫法是聯系直觀圖和原圖形的橋梁,可根據它們之間的可逆關系尋找它們的聯系;在求直觀圖的面積時,可根據斜二測畫法,畫出直觀圖,從而確定其高和底邊等,而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形,且兩者之間的關系為=.
如圖,△A'B'C'是水平放置的平面圖形的直觀圖,若C'A'=2,B'D'∥y'軸,且B'D'=1.5,畫出原圖形并求原平面圖形△ABC的面積.
【隨堂檢測】
1.利用斜二測畫法畫出邊長為3 cm的正方形的直觀圖,則下列畫法正確的是(　　).
　　　A　　　　 B　　 　　C　　　　　D
2.在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時,若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸,則在直觀圖中,∠A'=　　　　.
3.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示,已知A'C'=3,B'C'=2,則AB邊上的中線的實際長度為　　　　.
4.畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖.
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