資源簡(jiǎn)介

4.2 平面
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面的表示法,點(diǎn)、直線與平面的位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
2.掌握關(guān)于平面的三個(gè)基本事實(shí)及推論.(邏輯推理、直觀想象)
3.會(huì)用符號(hào)表示圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.平面的表示方法有哪些
【答案】　常用小寫(xiě)希臘字母α,β,γ,…來(lái)表示平面,將它寫(xiě)在表示平面的平行四邊形的一個(gè)角上;還可以用表示平面的平行四邊形的頂點(diǎn)字母或?qū)琼旤c(diǎn)字母來(lái)表示.
2.平面是由點(diǎn)組成的,直線也是由點(diǎn)組成的,聯(lián)想集合的觀點(diǎn),若點(diǎn)A在直線l上,l在平面α內(nèi),則點(diǎn)A和直線l、平面α的位置關(guān)系如何表示 直線l和平面α呢
【答案】　A∈l,A∈α,l α.
3.兩個(gè)不重合的平面可能存在有限個(gè)公共點(diǎn)嗎
【答案】　不可能.要么沒(méi)有公共點(diǎn),要么有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分. (　　)
(2)兩個(gè)平面α,β有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說(shuō)α,β相交于點(diǎn)A,記作α∩β=A. (　　)
(3)空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面. (　　)
(4)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.如圖,平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(　　).
A.平面MN
B.平面MP
C.平面α
D.平面MNPQ
【答案】　A
【解析】　表示平面不能用一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)表示,但可以表示為平面MP或平面QN.故選A.
3.若點(diǎn)A在直線a上,直線a在平面α內(nèi),點(diǎn)B在平面α內(nèi),則可以表示為(　　).
A.A a,a α,B∈α
B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α
D.A∈a,a∈α,B∈α
【答案】　B
【解析】　點(diǎn)A在直線a上,直線a在平面α內(nèi),點(diǎn)B在平面α內(nèi),可表示為A∈a,a α,B∈α.
【合作探究】
探究1　平面
照片中是平靜的湖面、餐桌、教室的課桌.
問(wèn)題1:湖面、餐桌、教室的課桌給人以怎樣的印象
【答案】　它們給人以“平面”的印象.
問(wèn)題2:在初中,我們已經(jīng)對(duì)點(diǎn)和直線有了一定的認(rèn)識(shí),知道它們都是由現(xiàn)實(shí)事物抽象而來(lái)的,那么現(xiàn)在的平面又是怎么來(lái)的呢 它有什么特點(diǎn)呢
【答案】　平面是從桌面、黑板面、平靜的湖面等抽象出來(lái)的.類似于直線向兩端無(wú)限延伸,平面是向四周無(wú)限延展的.
問(wèn)題3:一個(gè)平面能否把空間分成兩部分
【答案】　能,因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的,所以一個(gè)平面能把空間分成兩部分.
新知生成
1.平面的概念
幾何里所說(shuō)的“平面”是從桌面、黑板面、平靜的湖面等這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.幾何里的平面是　向四周無(wú)限延展　的,是沒(méi)有寬度和厚度的.
2.平面的畫(huà)法:(1)常用矩形的直觀圖,即平行四邊形表示平面.當(dāng)平面水平放置時(shí),常把平行四邊形的一邊畫(huà)成橫向;當(dāng)平面豎直放置時(shí),常把平行四邊形的一邊畫(huà)成豎向.如圖①.
(2)在畫(huà)兩個(gè)相交平面時(shí),如果其中一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面擋住,通常把被擋住的部分畫(huà)成虛線或不畫(huà),這樣可使畫(huà)出的圖形立體感更強(qiáng)一些.如圖②.
3.表示法:可以用小寫(xiě)希臘字母α,β,γ等來(lái)表示;用　兩個(gè)大寫(xiě)的英文字母　(表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn))來(lái)表示;用四個(gè)大寫(xiě)的英文字母(表示平面的平行四邊形的　四個(gè)頂點(diǎn)　)來(lái)表示.
新知運(yùn)用
一、平面的概念
例1　(1)有下列命題:①書(shū)桌面是平面;②8個(gè)平面重疊起來(lái)要比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚;③有一個(gè)平面的長(zhǎng)為50 m,寬為20 m;④平面是絕對(duì)平的、無(wú)厚度、可以無(wú)限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.其中真命題的個(gè)數(shù)為　　　　.
(2)下圖中的兩個(gè)平面相交,其中畫(huà)法正確的是　　　　.
【答案】　(1)1　 (2)④
【解析】　(1)由平面的概念,可知它是絕對(duì)平的、無(wú)厚度的、可無(wú)限延展的,可以判斷命題④是真命題,其余的命題都不符合平面的概念,所以命題①②③是假命題.
(2)兩個(gè)平面相交,需畫(huà)出它們的交線,并且被遮擋部分用虛線畫(huà)出來(lái).可知圖④的畫(huà)法正確.
【方法總結(jié)】　　平面具有如下特點(diǎn):①平面是平的;②平面是沒(méi)有厚度的;③平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的;④平面是由空間的點(diǎn)、線組成的無(wú)限集合;⑤平面圖形是空間圖形的重要組成部分.
下列說(shuō)法正確的是　　　　.
①平面的形狀是平行四邊形;
②任何一個(gè)平面圖形都可以表示平面;
③平面ABCD的面積為100 cm2;
④空間圖形中,后作的輔助線都是虛線.
【答案】　②
【解析】　①錯(cuò)誤,通常用平行四邊形表示平面,但平面的形狀不一定是平行四邊形;③錯(cuò)誤,平面不能度量;④錯(cuò)誤,看不到的線畫(huà)成虛線.
二、三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化
例2　用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫(huà)出圖形.
(1)平面α與β相交于直線l,直線a與平面α,β分別相交于點(diǎn)A,B;
(2)點(diǎn)A,B在平面α內(nèi),直線a與平面α交于點(diǎn)C,點(diǎn)C不在直線AB上.
【解析】　(1)用符號(hào)表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.如圖所示.
(2)用符號(hào)表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C AB.如圖所示.
【方法總結(jié)】　　三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法
(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語(yǔ)言表示,再用符號(hào)語(yǔ)言表示.
(2)要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“ ”,直線與平面的位置關(guān)系只能用“ ”或“ ”.
(3)由符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí),要注意被遮擋部分用虛線表示.
用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫(huà)出圖形.
(1)三個(gè)平面α,β,γ相交于點(diǎn)P,且平面α與平面β相交于PA,平面α與平面γ相交于PB,平面β與平面γ相交于PC;
(2)平面ABD與平面BDC相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.
【解析】　(1)用符號(hào)表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.如圖①所示.
(2)用符號(hào)表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.如圖②所示.
探究2　平面的基本事實(shí)
在日常生活中,我們經(jīng)常看到這樣的場(chǎng)景:自行車用一個(gè)腳架和兩個(gè)車輪就可以站穩(wěn),三腳架的三腳著地就可以支撐照相機(jī).
問(wèn)題1:上述是一種什么原理呢
【答案】　這實(shí)際上就是我們平常說(shuō)的三角形的穩(wěn)定性,其原理就是不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.
問(wèn)題2:若直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi)嗎 若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi)嗎
【答案】　若只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線不一定在平面內(nèi);若有兩個(gè)公共點(diǎn),則直線一定在平面內(nèi).
問(wèn)題3:把三角尺的一個(gè)角立在課桌面上,三角尺所在平面與課桌面只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎
【答案】　因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的,所以不可能只有一個(gè)公共點(diǎn),它們應(yīng)該有一條公共直線.
新知生成
1.平面的基本事實(shí)
基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)
基本事實(shí)1如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α
基本事實(shí)2過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面A,B,C三點(diǎn)不共線 存在唯一的平面α使A,B,C∈α
基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α,P∈β,α,β不重合 α∩β=l且P∈l,l唯一
2.推論
推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.
推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.
推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.
特別提示:
1.基本事實(shí)1的作用:(1)用直線檢驗(yàn)平面;(2)判斷直線是否在平面內(nèi).
2.基本事實(shí)2的作用:(1)確定平面;(2)判斷兩平面是否重合;(3)證明點(diǎn)、線共面.
3.基本事實(shí)3的作用:(1)判斷兩個(gè)平面是否相交,只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),就可以判斷這兩個(gè)平面必相交于過(guò)這點(diǎn)的一條直線;(2)判斷點(diǎn)在直線上,點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn),線是這兩個(gè)平面的交線,則這點(diǎn)在交線上,即 這是后面證明“點(diǎn)共線”和“線共點(diǎn)”的重要依據(jù).
新知運(yùn)用
一、線線共面問(wèn)題
例3　已知直線a,b,c,且b∥c,a與b,c都相交,求證:直線a,b,c共面.
【解析】　∵b∥c,∴設(shè)b,c共面于平面α.設(shè)a∩b=A,a∩c=B,∴A∈a,B∈a,A∈b,B∈c.又b α,∴A∈α,同理可得B∈α,即a α,∴直線a,b,c共面.
【方法總結(jié)】　　證明多線共面的兩種方法
(1)納入法:先由部分直線確定一個(gè)平面,再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).
(2)重合法:先證明一些元素在一個(gè)平面內(nèi),再證明另一些元素在另一個(gè)平面內(nèi),然后證明這兩個(gè)平面重合,即證得所有元素在同一個(gè)平面內(nèi).
已知AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C.求證:直線AB,BC,AC共面.
【解析】　因?yàn)锳C∩AB=A,所以直線AB,AC可確定一個(gè)平面α.
因?yàn)锽∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC α.
因此直線AB,BC,AC都在平面α內(nèi),
所以直線AB,BC,AC共面.
二、線線共點(diǎn)問(wèn)題
例4　如圖,已知平面α,β,且α∩β=l.設(shè)梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.求證:AB,CD,l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).
方法指導(dǎo)　梯形的兩腰→找交點(diǎn)→探求交點(diǎn)與平面α,β的位置關(guān)系→得結(jié)論.
【解析】　因?yàn)樘菪蜛BCD中,AD∥BC,
所以AB,CD是梯形ABCD的兩腰,
所以AB,CD必定相交于一點(diǎn).
設(shè)AB∩CD=M,
又因?yàn)锳B α,CD β,所以M∈α,M∈β,
所以M∈α∩β.
又因?yàn)棣痢搔?l,所以M∈l.
即AB,CD,l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).
【方法總結(jié)】　　證明三線共點(diǎn)的步驟
(1)首先說(shuō)明兩條直線共面且交于一點(diǎn);
(2)說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在另外兩個(gè)平面上,并且這兩個(gè)平面相交;
(3)得到交線也過(guò)此點(diǎn),從而得到三線共點(diǎn).
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1P=2PA1,C1Q=2QA1.求證:直線AA1,BP,CQ相交于一點(diǎn).
【解析】　如圖,連接PQ.
由B1P=2PA1,C1Q=2QA1,
得PQ∥B1C1,且PQ=B1C1.
又BC B1C1,∴PQ∥BC,
且PQ=BC,
∴四邊形BCQP為梯形,∴直線BP,CQ相交,設(shè)交點(diǎn)為R,則R∈BP,R∈CQ.
又BP 平面AA1B1B,CQ 平面AA1C1C,
∴R∈平面AA1B1B,且R∈平面AA1C1C,
∴R在平面AA1B1B與平面AA1C1C的交線上,即R∈AA1,
∴直線AA1,BP,CQ相交于一點(diǎn).
三、平面的交線問(wèn)題
例5　如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)C1重合).試說(shuō)明D1,A,E三點(diǎn)確定的平面與平面ABCD相交,并畫(huà)出這兩個(gè)平面的交線.
【解析】　因?yàn)锳∈平面D1AE,A∈平面ABCD,
所以平面D1AE與平面ABCD相交.
延長(zhǎng)D1E與DC,設(shè)它們相交于點(diǎn)F,連接AF,如圖所示,
因?yàn)镕∈直線D1E,F∈直線DC,直線D1E 平面D1AE,直線DC 平面ABCD,
所以F∈平面D1AE,F∈平面ABCD,
則AF為平面D1AE與平面ABCD的交線.
【方法總結(jié)】　　基本事實(shí)3告訴我們,如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們必定還有其他公共點(diǎn),只要找出這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn),就找到了它們的交線.因此找兩個(gè)平面的交線的突破口就是找這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn).
如圖,E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,AA1的中點(diǎn),試畫(huà)出平面BED1F與平面ABCD的交線.
【解析】　如圖,在平面AA1D1D內(nèi),D1F與DA不平行,分別延長(zhǎng)D1F與DA,則D1F與DA必相交,設(shè)交點(diǎn)為M.
因?yàn)镸∈D1F,M∈DA,D1F 平面BED1F,DA 平面ABCD,
所以M∈平面BED1F,M∈平面ABCD,
又B∈平面BED1F,B∈平面ABCD,
連接MB,則平面BED1F∩平面ABCD=MB.
故直線MB為所求兩平面的交線.
【隨堂檢測(cè)】
1.(多選題)下面四個(gè)條件中,能確定一個(gè)平面的是(　　).
A.空間中任意三點(diǎn) B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)
C.兩條相交的直線 D.兩條平行的直線
【答案】　CD
【解析】　空間中任意三點(diǎn),當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),不能確定一個(gè)平面,A不正確;
一條直線和一個(gè)點(diǎn),如果點(diǎn)在直線上,不能確定一個(gè)平面,B不正確;
由基本事實(shí)可知,兩條相交的直線,兩條平行的直線,都能確定一個(gè)平面,C,D正確.
2.若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面(　　).
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不對(duì)
【答案】　C
【解析】　若三個(gè)點(diǎn)在同一直線上,則兩平面可能相交;若這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上,則這兩個(gè)平面重合.
3.設(shè)平面α與平面β相交于直線l,直線a α,直線b β,a∩b=M,則M　　　　l.(用符號(hào)表示)
【答案】　∈
【解析】　因?yàn)閍∩b=M,直線a α,直線b β,所以M∈α,M∈β,又平面α與平面β相交于直線l,所以點(diǎn)M在直線l上,即M∈l.
4.如圖,已知△ABC與△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.求證:AA1,BB1,CC1交于一點(diǎn).
【解析】　如圖所示,∵B1C1∥BC,
∴B1C1與BC確定一個(gè)平面,記為平面β.
同理,將C1A1與CA所確定的平面記為平面γ.
∵△ABC與△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,
∴AA1與BB1相交.
設(shè)交點(diǎn)為P,則P∈AA1,P∈BB1.
而AA1 γ,BB1 β,∴P∈γ,且P∈β,
∴P在平面β與平面γ的交線上.
又β∩γ=C1C,∴P∈C1C,
∴AA1,BB1,CC1交于一點(diǎn).
24.2 平面
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面的表示法,點(diǎn)、直線與平面的位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
2.掌握關(guān)于平面的三個(gè)基本事實(shí)及推論.(邏輯推理、直觀想象)
3.會(huì)用符號(hào)表示圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.平面的表示方法有哪些
2.平面是由點(diǎn)組成的,直線也是由點(diǎn)組成的,聯(lián)想集合的觀點(diǎn),若點(diǎn)A在直線l上,l在平面α內(nèi),則點(diǎn)A和直線l、平面α的位置關(guān)系如何表示 直線l和平面α呢
3.兩個(gè)不重合的平面可能存在有限個(gè)公共點(diǎn)嗎
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分. (　　)
(2)兩個(gè)平面α,β有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說(shuō)α,β相交于點(diǎn)A,記作α∩β=A. (　　)
(3)空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面. (　　)
(4)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面. (　　)
2.如圖,平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(　　).
A.平面MN
B.平面MP
C.平面α
D.平面MNPQ
3.若點(diǎn)A在直線a上,直線a在平面α內(nèi),點(diǎn)B在平面α內(nèi),則可以表示為(　　).
A.A a,a α,B∈α
B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α
D.A∈a,a∈α,B∈α
【合作探究】
探究1　平面
照片中是平靜的湖面、餐桌、教室的課桌.
問(wèn)題1:湖面、餐桌、教室的課桌給人以怎樣的印象
問(wèn)題2:在初中,我們已經(jīng)對(duì)點(diǎn)和直線有了一定的認(rèn)識(shí),知道它們都是由現(xiàn)實(shí)事物抽象而來(lái)的,那么現(xiàn)在的平面又是怎么來(lái)的呢 它有什么特點(diǎn)呢
問(wèn)題3:一個(gè)平面能否把空間分成兩部分
新知生成
1.平面的概念
幾何里所說(shuō)的“平面”是從桌面、黑板面、平靜的湖面等這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.幾何里的平面是　向四周無(wú)限延展　的,是沒(méi)有寬度和厚度的.
2.平面的畫(huà)法:(1)常用矩形的直觀圖,即平行四邊形表示平面.當(dāng)平面水平放置時(shí),常把平行四邊形的一邊畫(huà)成橫向;當(dāng)平面豎直放置時(shí),常把平行四邊形的一邊畫(huà)成豎向.如圖①.
(2)在畫(huà)兩個(gè)相交平面時(shí),如果其中一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面擋住,通常把被擋住的部分畫(huà)成虛線或不畫(huà),這樣可使畫(huà)出的圖形立體感更強(qiáng)一些.如圖②.
3.表示法:可以用小寫(xiě)希臘字母α,β,γ等來(lái)表示;用　兩個(gè)大寫(xiě)的英文字母　(表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn))來(lái)表示;用四個(gè)大寫(xiě)的英文字母(表示平面的平行四邊形的　四個(gè)頂點(diǎn)　)來(lái)表示.
新知運(yùn)用
一、平面的概念
例1　(1)有下列命題:①書(shū)桌面是平面;②8個(gè)平面重疊起來(lái)要比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚;③有一個(gè)平面的長(zhǎng)為50 m,寬為20 m;④平面是絕對(duì)平的、無(wú)厚度、可以無(wú)限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.其中真命題的個(gè)數(shù)為　　　　.
(2)下圖中的兩個(gè)平面相交,其中畫(huà)法正確的是　　　　.
【方法總結(jié)】　　平面具有如下特點(diǎn):①平面是平的;②平面是沒(méi)有厚度的;③平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的;④平面是由空間的點(diǎn)、線組成的無(wú)限集合;⑤平面圖形是空間圖形的重要組成部分.
下列說(shuō)法正確的是　　　　.
①平面的形狀是平行四邊形;
②任何一個(gè)平面圖形都可以表示平面;
③平面ABCD的面積為100 cm2;
④空間圖形中,后作的輔助線都是虛線.
例2　用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫(huà)出圖形.
(1)平面α與β相交于直線l,直線a與平面α,β分別相交于點(diǎn)A,B;
(2)點(diǎn)A,B在平面α內(nèi),直線a與平面α交于點(diǎn)C,點(diǎn)C不在直線AB上.
【方法總結(jié)】　　三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法
(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語(yǔ)言表示,再用符號(hào)語(yǔ)言表示.
(2)要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“ ”,直線與平面的位置關(guān)系只能用“ ”或“ ”.
(3)由符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí),要注意被遮擋部分用虛線表示.
用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫(huà)出圖形.
(1)三個(gè)平面α,β,γ相交于點(diǎn)P,且平面α與平面β相交于PA,平面α與平面γ相交于PB,平面β與平面γ相交于PC;
(2)平面ABD與平面BDC相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.
探究2　平面的基本事實(shí)
在日常生活中,我們經(jīng)常看到這樣的場(chǎng)景:自行車用一個(gè)腳架和兩個(gè)車輪就可以站穩(wěn),三腳架的三腳著地就可以支撐照相機(jī).
問(wèn)題1:上述是一種什么原理呢
問(wèn)題2:若直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi)嗎 若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi)嗎
問(wèn)題3:把三角尺的一個(gè)角立在課桌面上,三角尺所在平面與課桌面只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎
新知生成
1.平面的基本事實(shí)
基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)
基本事實(shí)1如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α
基本事實(shí)2過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面A,B,C三點(diǎn)不共線 存在唯一的平面α使A,B,C∈α
基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α,P∈β,α,β不重合 α∩β=l且P∈l,l唯一
2.推論
推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.
推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.
推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.
特別提示:
1.基本事實(shí)1的作用:(1)用直線檢驗(yàn)平面;(2)判斷直線是否在平面內(nèi).
2.基本事實(shí)2的作用:(1)確定平面;(2)判斷兩平面是否重合;(3)證明點(diǎn)、線共面.
3.基本事實(shí)3的作用:(1)判斷兩個(gè)平面是否相交,只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),就可以判斷這兩個(gè)平面必相交于過(guò)這點(diǎn)的一條直線;(2)判斷點(diǎn)在直線上,點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn),線是這兩個(gè)平面的交線,則這點(diǎn)在交線上,即 這是后面證明“點(diǎn)共線”和“線共點(diǎn)”的重要依據(jù).
新知運(yùn)用
一、線線共面問(wèn)題
例3　已知直線a,b,c,且b∥c,a與b,c都相交,求證:直線a,b,c共面.
【方法總結(jié)】　　證明多線共面的兩種方法
(1)納入法:先由部分直線確定一個(gè)平面,再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).
(2)重合法:先證明一些元素在一個(gè)平面內(nèi),再證明另一些元素在另一個(gè)平面內(nèi),然后證明這兩個(gè)平面重合,即證得所有元素在同一個(gè)平面內(nèi).
已知AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C.求證:直線AB,BC,AC共面.
二、線線共點(diǎn)問(wèn)題
例4　如圖,已知平面α,β,且α∩β=l.設(shè)梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.求證:AB,CD,l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).
方法指導(dǎo)　梯形的兩腰→找交點(diǎn)→探求交點(diǎn)與平面α,β的位置關(guān)系→得結(jié)論.
【方法總結(jié)】　　證明三線共點(diǎn)的步驟
(1)首先說(shuō)明兩條直線共面且交于一點(diǎn);
(2)說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在另外兩個(gè)平面上,并且這兩個(gè)平面相交;
(3)得到交線也過(guò)此點(diǎn),從而得到三線共點(diǎn).
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1P=2PA1,C1Q=2QA1.求證:直線AA1,BP,CQ相交于一點(diǎn).
三、平面的交線問(wèn)題
例5　如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)C1重合).試說(shuō)明D1,A,E三點(diǎn)確定的平面與平面ABCD相交,并畫(huà)出這兩個(gè)平面的交線.
【方法總結(jié)】　　基本事實(shí)3告訴我們,如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們必定還有其他公共點(diǎn),只要找出這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn),就找到了它們的交線.因此找兩個(gè)平面的交線的突破口就是找這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn).
如圖,E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,AA1的中點(diǎn),試畫(huà)出平面BED1F與平面ABCD的交線.
【隨堂檢測(cè)】
1.(多選題)下面四個(gè)條件中,能確定一個(gè)平面的是(　　).
A.空間中任意三點(diǎn) B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)
C.兩條相交的直線 D.兩條平行的直線
2.若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面(　　).
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不對(duì)
3.設(shè)平面α與平面β相交于直線l,直線a α,直線b β,a∩b=M,則M　　　　l.(用符號(hào)表示)
4.如圖,已知△ABC與△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.求證:AA1,BB1,CC1交于一點(diǎn).
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