資源簡介

4.3 課時1 空間中直線與直線的位置關系
【學習目標】
1.會判斷空間兩直線的位置關系.(直觀想象)
2.理解異面直線的定義.(直觀想象)
3.能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關問題.(直觀想象、邏輯推理)
【自主預習】
1.什么是異面直線
2.空間中兩直線的位置關系有哪幾種
3.平面內平行線具有傳遞性,空間內平行線具有傳遞性嗎
4.空間等角定理的內容是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果兩條直線都平行于第三條直線,那么這兩條直線互相平行. (　　)
(2)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等. (　　)
(3)如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等. (　　)
2.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',則∠B'A'C'=(　　).
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小無法確定
3.已知在棱長為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中,M,N分別為CD,AD的中點,則直線MN與A'C'的位置關系是　　　　.
【合作探究】
探究1　空間中直線與直線的位置關系
問題1:我們知道,火車的鐵軌是互相平行的,永遠沒有交點,空中架設的高壓線有時互相穿過但不相交,把它們想象成一條條直線,從中你能找出直線與直線的位置關系嗎
問題2:分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線嗎
新知生成
1.異面直線
把不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線.
2.空間中兩直線的位置關系
(1)相交——在同一個平面內,兩條直線有且只有一個公共點;
(2)平行——在同一個平面內,兩條直線沒有公共點;
(3)異面——兩條直線不同在任何一個平面內,沒有公共點.
新知運用
例1　(1)已知正方體表面的一種展開圖如圖所示,
則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的對數為(　　).
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)以下選項中,點P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上,且是所在棱的中點,則直線PQ與RS是異面直線的是(　　).
　 A　　　　　　　 B　　　　　　 C　　　　　　 D
【方法總結】　　判斷空間中兩條直線位置關系的訣竅
(1)建立空間觀念,全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關系.特別關注異面直線.
(2)重視正方體等常見幾何體模型的應用,會舉例說明兩條直線的位置關系.
若一條直線與兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條直線的位置關系是(　　).
A.平行或異面 B.相交或異面
C.異面 D.相交
探究2　平行直線
問題:觀察臺階,每個臺階的邊沿所在的直線有什么關系
新知生成
基本事實4
(1)文字語言:平行于同一條直線的兩條直線平行.
(2)符號語言:若a,b,c為空間中三條不重合的直線,且a∥b,b∥c,則a∥c.
新知運用
例2　如圖所示,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分別是AB,BC,A'B',B'C'的中點.求證:EE'∥FF'.
方法指導　根據平行線的傳遞性證明.
【方法總結】　　證明空間中兩條直線平行的方法
(1)利用平面幾何的知識(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理等)來證明.
(2)利用基本事實4,即找到一條直線c,使得a∥c,同時b∥c,由基本事實4得到a∥b.
如圖,在三棱錐P-ABC中,G,H分別為PB,PC的中點,M,N分別為△PAB,△PAC的重心,求證:GH∥MN.
探究3　等角定理
觀察下圖中的∠AOB與∠A'O'B'.
問題1:同一平面內,如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.空間中是否有類似規律
問題2:這兩個角對應的兩條邊之間有什么樣的位置關系
問題3:測量一下,這兩個角的大小關系如何
新知生成
等角定理
(1)文字語言:如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.
(2)符號語言:對于∠ABC和∠A'B'C',AB∥A'B',BC∥B'C' ∠ABC=∠A'B'C'或∠ABC+∠A'B'C'=180°.
新知運用
例3　如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別為棱AD,AB,B1C1,C1D1的中點.
求證:∠EA1F=∠E1CF1.
方法指導　要證明∠EA1F=∠E1CF1,可證明A1F∥CF1,A1E∥CE1且射線A1E與CE1,射線A1F與CF1的方向分別相反.
【方法總結】　　(1)空間等角定理實質上是由以下兩個結論組成的:①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行且方向都相同或相反,那么這兩個角相等;②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,有一組對邊方向相同,另一組對邊方向相反,那么這兩個角互補.
(2)證明角相等,一般采用三種途徑:①利用等角定理及推論;②利用三角形相似;③利用三角形全等.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別為棱CC1,BB1,DD1的中點,試證明:∠BGC=∠FD1E.
【隨堂檢測】
1.已知空間中的兩個角α,β的兩邊分別對應平行,且α=60°,則β為(　　).
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
2.已知a,b,c是空間中的三條直線,a∥b,且a與c的夾角為θ,則b與c的夾角為　　　　.
3.已知在空間四邊形ABCD中,各邊的中點分別為M,N,P,Q,AC⊥BD,則四邊形MNPQ是　　　　.
4.如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,若M,N分別是A'D',C'D'的中點,求證:四邊形ACNM是梯形.
24.3 課時1 空間中直線與直線的位置關系
【學習目標】
1.會判斷空間兩直線的位置關系.(直觀想象)
2.理解異面直線的定義.(直觀想象)
3.能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關問題.(直觀想象、邏輯推理)
【自主預習】
1.什么是異面直線
【答案】　不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線.
2.空間中兩直線的位置關系有哪幾種
【答案】　有三種,相交、平行和異面.
3.平面內平行線具有傳遞性,空間內平行線具有傳遞性嗎
【答案】　也具有傳遞性.
4.空間等角定理的內容是什么
【答案】　空間中,如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果兩條直線都平行于第三條直線,那么這兩條直線互相平行. (　　)
(2)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等. (　　)
(3)如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
2.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',則∠B'A'C'=(　　).
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小無法確定
【答案】　C
【解析】　當∠B'A'C'與∠BAC的兩組對邊方向相同時,∠B'A'C'=30°,當一組對邊方向相同,另一組對邊方向相反時,∠B'A'C'=150°.故選C.
3.已知在棱長為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中,M,N分別為CD,AD的中點,則直線MN與A'C'的位置關系是　　　　.
【答案】　平行
【解析】　如圖所示,∵M,N分別為CD,AD的中點,
∴MN∥AC,且MN=AC.
由正方體的性質可得AC A'C',
∴MN∥A'C',且MN=A'C',
即MN與A'C'平行.
【合作探究】
探究1　空間中直線與直線的位置關系
問題1:我們知道,火車的鐵軌是互相平行的,永遠沒有交點,空中架設的高壓線有時互相穿過但不相交,把它們想象成一條條直線,從中你能找出直線與直線的位置關系嗎
【答案】　直線與直線的位置關系有平行、異面和相交.
問題2:分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線嗎
【答案】　不一定.可能平行、相交或異面.
新知生成
1.異面直線
把不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線.
2.空間中兩直線的位置關系
(1)相交——在同一個平面內,兩條直線有且只有一個公共點;
(2)平行——在同一個平面內,兩條直線沒有公共點;
(3)異面——兩條直線不同在任何一個平面內,沒有公共點.
新知運用
例1　(1)已知正方體表面的一種展開圖如圖所示,
則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的對數為(　　).
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)以下選項中,點P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上,且是所在棱的中點,則直線PQ與RS是異面直線的是(　　).
　 A　　　　　　　 B　　　　　　 C　　　　　　 D
【答案】　(1)C　(2)C
【解析】　(1)還原的正方體如圖所示,是異面直線的共三對,分別為AB與CD,AB與GH,EF與GH,故選C.
(2)選項A,B中,PQ∥RS,選項D中,PQ和RS相交.故選C.
【方法總結】　　判斷空間中兩條直線位置關系的訣竅
(1)建立空間觀念,全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關系.特別關注異面直線.
(2)重視正方體等常見幾何體模型的應用,會舉例說明兩條直線的位置關系.
若一條直線與兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條直線的位置關系是(　　).
A.平行或異面 B.相交或異面
C.異面 D.相交
【答案】　B
【解析】　假設a與b是異面直線,而c∥a,則c顯然與b不平行(否則c∥b,則有a∥b,矛盾),因此c與b可能相交或異面.
探究2　平行直線
問題:觀察臺階,每個臺階的邊沿所在的直線有什么關系
【答案】　平行.
新知生成
基本事實4
(1)文字語言:平行于同一條直線的兩條直線平行.
(2)符號語言:若a,b,c為空間中三條不重合的直線,且a∥b,b∥c,則a∥c.
新知運用
例2　如圖所示,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分別是AB,BC,A'B',B'C'的中點.求證:EE'∥FF'.
方法指導　根據平行線的傳遞性證明.
【解析】　因為E,E'分別是AB,A'B'的中點,
所以BE∥B'E',且BE=B'E'.
所以四邊形EBB'E'是平行四邊形.
所以EE'∥BB',同理可證FF'∥BB'.
所以EE'∥FF'.
【方法總結】　　證明空間中兩條直線平行的方法
(1)利用平面幾何的知識(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理等)來證明.
(2)利用基本事實4,即找到一條直線c,使得a∥c,同時b∥c,由基本事實4得到a∥b.
如圖,在三棱錐P-ABC中,G,H分別為PB,PC的中點,M,N分別為△PAB,△PAC的重心,求證:GH∥MN.
【解析】　如圖,取PA的中點Q,連接BQ,CQ,則M,N分別在BQ,CQ上.
∵M,N分別為△PAB,△PAC的重心,
∴==,
∴MN∥BC.
又G,H分別為PB,PC的中點,
∴GH∥BC,
∴GH∥MN.
探究3　等角定理
觀察下圖中的∠AOB與∠A'O'B'.
問題1:同一平面內,如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.空間中是否有類似規律
【答案】　有.
問題2:這兩個角對應的兩條邊之間有什么樣的位置關系
【答案】　分別對應平行.
問題3:測量一下,這兩個角的大小關系如何
【答案】　相等.
新知生成
等角定理
(1)文字語言:如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.
(2)符號語言:對于∠ABC和∠A'B'C',AB∥A'B',BC∥B'C' ∠ABC=∠A'B'C'或∠ABC+∠A'B'C'=180°.
新知運用
例3　如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別為棱AD,AB,B1C1,C1D1的中點.
求證:∠EA1F=∠E1CF1.
方法指導　要證明∠EA1F=∠E1CF1,可證明A1F∥CF1,A1E∥CE1且射線A1E與CE1,射線A1F與CF1的方向分別相反.
【解析】　如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中點M,連接BM,F1M,則BF=A1M.
又∵BF∥A1M,∴四邊形A1FBM為平行四邊形,∴A1F∥BM.
而F1,M分別為C1D1,A1B1的中點,則F1M C1B1.
而C1B1 BC,∴F1M BC,∴四邊形F1MBC為平行四邊形.
∴BM∥CF1.又BM∥A1F,∴A1F∥CF1.
同理,取A1D1的中點N,連接DN,E1N,則有A1E∥CE1.
∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對應平行,且方向都相反,
∴∠EA1F=∠E1CF1.
【方法總結】　　(1)空間等角定理實質上是由以下兩個結論組成的:①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行且方向都相同或相反,那么這兩個角相等;②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,有一組對邊方向相同,另一組對邊方向相反,那么這兩個角互補.
(2)證明角相等,一般采用三種途徑:①利用等角定理及推論;②利用三角形相似;③利用三角形全等.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別為棱CC1,BB1,DD1的中點,試證明:∠BGC=∠FD1E.
【解析】　因為F為BB1的中點,所以BF=BB1.
因為G為DD1的中點,所以D1G=DD1.
又BB1 DD1,所以BF D1G.
所以四邊形D1GBF為平行四邊形.
所以D1F∥GB,同理D1E∥GC.
所以∠BGC與∠FD1E的對應邊平行且方向相同,
所以∠BGC=∠FD1E.
【隨堂檢測】
1.已知空間中的兩個角α,β的兩邊分別對應平行,且α=60°,則β為(　　).
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
【答案】　D
【解析】　∵空間中的兩個角α,β的兩邊對應平行,
∴這兩個角相等或互補,
∵α=60°,∴β=60°或β=120°.
故選D.
2.已知a,b,c是空間中的三條直線,a∥b,且a與c的夾角為θ,則b與c的夾角為　　　　.
【答案】　θ
【解析】　因為a∥b,所以a,b與c的夾角相等.
3.已知在空間四邊形ABCD中,各邊的中點分別為M,N,P,Q,AC⊥BD,則四邊形MNPQ是　　　　.
【答案】　矩形
【解析】　如圖,∵M,N,P,Q分別是四條邊的中點,
∴MN∥AC且MN=AC,
PQ∥AC且PQ=AC,
∴MN∥PQ且MN=PQ,
∴四邊形MNPQ是平行四邊形.
又∵BD∥MQ,AC⊥BD,
∴MN⊥MQ,
∴平行四邊形MNPQ是矩形.
4.如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,若M,N分別是A'D',C'D'的中點,求證:四邊形ACNM是梯形.
【解析】　如圖,連接A'C',因為M,N分別是A'D',C'D'的中點,所以MN∥A'C',且MN=A'C',
因為在正方體中,A'C'∥AC,且A'C'=AC,
所以MN∥AC,且MN=AC.
故四邊形ACNM是梯形.
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