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4.3 課時(shí)2 異面直線
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握異面直線的另一種判斷方法.(邏輯推理、直觀想象)
2.理解異面直線所成角的定義,會(huì)求兩異面直線所成的角.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.怎么判斷兩直線異面
2.異面直線所成的角的定義是什么
3.異面直線所成的角的范圍是什么
4.什么是異面直線垂直
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān),即O點(diǎn)位置不同時(shí),該角的大小也不同. (　　)
(2)如果兩條平行直線中的一條與第三條直線垂直,那么另一條直線也與第三條直線垂直. (　　)
(3)空間中兩條異面直線所成的角α的取值范圍是0°≤α≤90°. (　　)
2.空間中垂直于同一條直線的兩條直線(　　).
A.平行 B.相交
C.異面 D.以上均有可能
3.若∠AOB=120°,直線a∥OA,a與OB為異面直線,則a和OB所成的角的大小為(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
【合作探究】
探究1　判斷兩直線異面的方法
問題1:沒有公共點(diǎn)的兩條直線一定是異面直線嗎
問題2:直線a在平面α內(nèi),直線b在平面β內(nèi),請(qǐng)問直線a,b是異面直線嗎
新知生成
異面直線的判定定理
與平面相交的直線與該平面內(nèi)不過該交點(diǎn)的直線是異面直線.
新知運(yùn)用
例1　如圖所示,已知不共面的直線a,b,c相交于點(diǎn)O,M,P是直線a上的兩點(diǎn),N,Q分別是直線b,c上的點(diǎn).求證:MN與PQ是異面直線.
方法指導(dǎo)　直接應(yīng)用點(diǎn)和直線的位置關(guān)系,證明兩條直線MN與PQ沒有公共點(diǎn),也可證明MN與PQ是異面直線.
【方法總結(jié)】　　判定空間兩條直線是異面直線的方法:(1)利用定義;(2)證明兩直線既不平行也不相交;(3)判定定理:平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)B的直線是異面直線.
如圖,若P是△ABC所在平面外一點(diǎn),PA≠PB,PN⊥AB,N為垂足,M為AB的中點(diǎn).求證:PN與MC為異面直線.
探究2　異面直線所成的角
問題1:為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn),作圖時(shí),通常用什么襯托 你能用圖表示一下嗎
問題2:能否找到一個(gè)平面,使得上述的a,b兩條直線都在這個(gè)平面內(nèi)
問題3:在如圖所示的正方體中,直線A'C'與直線AB,直線A'D'與直線AB都是異面直線,但是它們的位置不同,如何描述這種差異呢
問題4:通過平移可以將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化成平面中兩直線所成的角.那么平移時(shí),所選的點(diǎn)O的位置對(duì)它們所成的角的大小有沒有影響,為什么
問題5:點(diǎn)O的位置選在哪里比較合適呢
新知生成
異面直線所成的角
(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間　任意　一點(diǎn)O作直線a'∥a,b'∥b,則異面直線a與b所成的角就是直線a'與b'所成的　銳角　(或　直角　).
(2)范圍:0°<θ≤90°.特別地,當(dāng)θ=90°時(shí),a與b互相垂直,記作　a⊥b　.
新知運(yùn)用
例2　如圖,在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),若EF=,求異面直線AD,BC所成角的大小.
【變式探究】將本例中的條件“AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),若EF=”改為“AB=CD且AB與CD所成的角為30°,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn)”,求EF與AB所成角的大小.
【方法總結(jié)】　　求兩條異面直線所成的角的一般步驟
(1)構(gòu)造角:根據(jù)異面直線的定義,通過作平行線或平移其中一條直線,作出異面直線所成的角.
(2)計(jì)算角:求角度,常利用三角形.
(3)確定角:若求出的角是銳角或是直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),求異面直線CB1與DE所成角的余弦值.
【隨堂檢測(cè)】
1.已知異面直線a,b,有a α,b β,且α∩β=c,則直線c與a,b的關(guān)系是(　　).
A.c與a,b都相交
B.c與a,b都不相交
C.c至多與a,b中的一條相交
D.c至少與a,b中的一條相交
2.若空間中的三條直線a,b,c滿足a⊥b,b∥c,則直線a與c(　　).
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是異面直線 D.一定相交
3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC與BC1所成角的大小是　　　　.
4.已知a,b是異面直線,直線c∥a且c不與b相交,求證:b,c是異面直線.
24.3 課時(shí)2 異面直線
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握異面直線的另一種判斷方法.(邏輯推理、直觀想象)
2.理解異面直線所成角的定義,會(huì)求兩異面直線所成的角.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.怎么判斷兩直線異面
【答案】　判斷兩直線異面的兩種方法:(1)兩條直線既不相交也不平行;(2)兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi).
2.異面直線所成的角的定義是什么
【答案】　對(duì)于兩條異面直線a和b,經(jīng)過空間中任一點(diǎn)P,作直線a'∥a,b'∥b,則把a(bǔ)'與b'所成的銳角(或直角)叫作異面直線所成的角.
3.異面直線所成的角的范圍是什么
【答案】　(0°,90°].
4.什么是異面直線垂直
【答案】　如果兩條異面直線所成的角為90°,則稱這兩條異面直線互相垂直.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān),即O點(diǎn)位置不同時(shí),該角的大小也不同. (　　)
(2)如果兩條平行直線中的一條與第三條直線垂直,那么另一條直線也與第三條直線垂直. (　　)
(3)空間中兩條異面直線所成的角α的取值范圍是0°≤α≤90°. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2.空間中垂直于同一條直線的兩條直線(　　).
A.平行 B.相交
C.異面 D.以上均有可能
【答案】　D
【解析】　如圖所示,DC⊥CC',BC⊥CC',BC,DC相交;
DA⊥CC',BC⊥CC',BC,DA平行;
A'C'⊥CC',BC⊥CC',BC,A'C'互為異面直線.故選D.
3.若∠AOB=120°,直線a∥OA,a與OB為異面直線,則a和OB所成的角的大小為(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
【答案】　B
【解析】　因?yàn)閍∥OA,又異面直線所成的角為銳角或直角,
所以直線a與OB所成的角為60°.
【合作探究】
探究1　判斷兩直線異面的方法
問題1:沒有公共點(diǎn)的兩條直線一定是異面直線嗎
【答案】　不一定,沒有公共點(diǎn)的兩條直線有可能是平行直線.
問題2:直線a在平面α內(nèi),直線b在平面β內(nèi),請(qǐng)問直線a,b是異面直線嗎
【答案】　不一定,也可能平行或相交.
新知生成
異面直線的判定定理
與平面相交的直線與該平面內(nèi)不過該交點(diǎn)的直線是異面直線.
新知運(yùn)用
例1　如圖所示,已知不共面的直線a,b,c相交于點(diǎn)O,M,P是直線a上的兩點(diǎn),N,Q分別是直線b,c上的點(diǎn).求證:MN與PQ是異面直線.
方法指導(dǎo)　直接應(yīng)用點(diǎn)和直線的位置關(guān)系,證明兩條直線MN與PQ沒有公共點(diǎn),也可證明MN與PQ是異面直線.
【解析】　∵a∩c=O,
∴由a,c確定一個(gè)平面,設(shè)為β.
∵P∈a,Q∈c,∴P∈β,Q∈β,
∴PQ β,且M∈β,M PQ.
又∵a,b,c不共面,N∈b,
∴N β,∴MN與PQ是異面直線.
【方法總結(jié)】　　判定空間兩條直線是異面直線的方法:(1)利用定義;(2)證明兩直線既不平行也不相交;(3)判定定理:平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)B的直線是異面直線.
如圖,若P是△ABC所在平面外一點(diǎn),PA≠PB,PN⊥AB,N為垂足,M為AB的中點(diǎn).求證:PN與MC為異面直線.
【解析】　∵PA≠PB,PN⊥AB,N為垂足,M是AB的中點(diǎn),
∴點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合.
∵N∈平面ABC,P 平面ABC,CM 平面ABC,N CM,
∴由異面直線的判定定理可知,直線PN與MC為異面直線.
探究2　異面直線所成的角
問題1:為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn),作圖時(shí),通常用什么襯托 你能用圖表示一下嗎
【答案】　通常用一個(gè)或兩個(gè)平面來襯托,如圖所示.
問題2:能否找到一個(gè)平面,使得上述的a,b兩條直線都在這個(gè)平面內(nèi)
【答案】　找不到一個(gè)平面使得直線a,b在同一平面內(nèi).
問題3:在如圖所示的正方體中,直線A'C'與直線AB,直線A'D'與直線AB都是異面直線,但是它們的位置不同,如何描述這種差異呢
【答案】　結(jié)合平面兩直線所成的角,可以通過定義異面直線所成的角刻畫它們的差異.
問題4:通過平移可以將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化成平面中兩直線所成的角.那么平移時(shí),所選的點(diǎn)O的位置對(duì)它們所成的角的大小有沒有影響,為什么
【答案】　點(diǎn)O的位置是任意的,對(duì)異面直線所成的角的大小沒有影響.
問題5:點(diǎn)O的位置選在哪里比較合適呢
【答案】　一般情況下,我們會(huì)將點(diǎn)O選在兩條直線中的一條上.
新知生成
異面直線所成的角
(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間　任意　一點(diǎn)O作直線a'∥a,b'∥b,則異面直線a與b所成的角就是直線a'與b'所成的　銳角　(或　直角　).
(2)范圍:0°<θ≤90°.特別地,當(dāng)θ=90°時(shí),a與b互相垂直,記作　a⊥b　.
新知運(yùn)用
例2　如圖,在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),若EF=,求異面直線AD,BC所成角的大小.
【解析】　如圖,取BD的中點(diǎn)M,連接EM,FM.因?yàn)镋,F,M分別是AB,CD,BD的中點(diǎn),所以EM AD,FM BC,
則∠EMF或其補(bǔ)角就是異面直線AD,BC所成的角.
因?yàn)锳D=BC=2,所以EM=MF=1,
所以△MEF是等腰三角形,過點(diǎn)M作MH⊥EF于點(diǎn)H,
在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=,
所以sin∠EMH=且∠EMH∈(0,90°),則∠EMH=60°.
所以∠EMF=2∠EMH=120°,
所以異面直線AD,BC所成的角為∠EMF的補(bǔ)角,
即異面直線AD,BC所成的角為60°.
【變式探究】將本例中的條件“AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),若EF=”改為“AB=CD且AB與CD所成的角為30°,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn)”,求EF與AB所成角的大小.
【解析】　取AC的中點(diǎn)G,連接EG,FG,
則EG AB,GF CD,
∴直線GE,EF所成的銳角即為AB與EF所成的角,即直線GE,GF所成的銳角即為AB與CD所成的角.
∵AB與CD所成的角為30°,
∴∠EGF=30°或∠EGF=150°.
由AB=CD,得EG=FG,
∴△EFG為等腰三角形.
當(dāng)∠EGF=30°時(shí),∠GEF=75°;
當(dāng)∠EGF=150°時(shí),∠GEF=15°.
故EF與AB所成的角為15°或75°.
【方法總結(jié)】　　求兩條異面直線所成的角的一般步驟
(1)構(gòu)造角:根據(jù)異面直線的定義,通過作平行線或平移其中一條直線,作出異面直線所成的角.
(2)計(jì)算角:求角度,常利用三角形.
(3)確定角:若求出的角是銳角或是直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),求異面直線CB1與DE所成角的余弦值.
【解析】　如圖所示,取B1B的中點(diǎn)F,連接EF,DF,DE,BD,則B1C∥EF,
所以異面直線CB1與DE所成角就是直線EF與DE所成的角.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,
則EF=B1C=,DE===,DF===3,
由余弦定理得cos∠DEF===-,
所以異面直線CB1與DE所成角的余弦值為.
【隨堂檢測(cè)】
1.已知異面直線a,b,有a α,b β,且α∩β=c,則直線c與a,b的關(guān)系是(　　).
A.c與a,b都相交
B.c與a,b都不相交
C.c至多與a,b中的一條相交
D.c至少與a,b中的一條相交
【答案】　D
【解析】　假設(shè)c與a,b都不相交,∵c與a在α內(nèi),∴a∥c.
又c與b都在β內(nèi),∴b∥c.
由基本事實(shí)4,可知a∥b,與已知條件矛盾.
如圖,只有以下三種情況.
2.若空間中的三條直線a,b,c滿足a⊥b,b∥c,則直線a與c(　　).
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是異面直線 D.一定相交
【答案】　B
【解析】　∵a⊥b,b∥c,∴a⊥c.
3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC與BC1所成角的大小是　　　　.
【答案】　60°
【解析】　如圖,連接AD1,則AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其補(bǔ)角)就是AC與BC1所成的角,連接CD1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC=AD1=CD1,∴∠CAD1=60°,即AC與BC1所成的角為60°.
4.已知a,b是異面直線,直線c∥a且c不與b相交,求證:b,c是異面直線.
【解析】　(反證法)假設(shè)b,c不是異面直線,即b,c共面,
因?yàn)閏不與b相交,
所以b∥c,而c∥a,則有b∥a,顯然與a,b是異面直線矛盾.
故b,c是異面直線,得證.
2

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