資源簡介

4.3 課時3 直線與平面平行的判定與性質
【學習目標】
1.了解直線與平面的位置關系.(直觀想象)
2.理解直線與平面平行的判定和性質.(邏輯推理、直觀想象)
3.利用直線與平面平行的判定定理和性質定理證明空間平行問題.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.直線與平面有哪幾種位置關系
【答案】　直線與平面有3種位置關系:直線在平面內,直線和平面相交,直線和平面平行.
2.什么叫直線與平面平行
【答案】　直線與平面沒有公共點.
3.直線與平面平行的判定定理是怎樣的
【答案】　如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.
4.直線與平面平行的性質定理是什么
【答案】　一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線與平面不相交,則直線與平面平行. (　　)
(2)過一點有且只有一條直線與已知直線平行. (　　)
(3)若直線l上有無數個點在平面α外,則l∥α. (　　)
(4)過平面外一點有且只有一條直線與該平面平行. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.能保證直線a與平面α平行的條件是(　　).
A.b α,a∥b
B.b α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a α,b α,a∥b
【答案】　D
【解析】　由線面平行的判定定理可知,D正確.
3.如圖,在三棱錐S-ABC中,E,F分別是SB,SC上的點,且EF∥平面ABC,則(　　).
A.EF與BC相交
B.EF∥BC
C.EF與BC異面
D.以上均有可能
【答案】　B
【解析】　∵平面SBC∩平面ABC=BC,EF 平面SBC,又EF∥平面ABC,∴EF∥BC.故選B.
【合作探究】
探究1　空間中直線與平面的位置關系
如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,連接A1B.
問題1:A1B與長方體各面有幾種位置關系
【答案】　A1B與長方體各面的位置關系有三種:相交、平行、在平面內.
問題2:“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是一回事嗎
【答案】　不是.前者包括直線與平面平行及直線在平面內這兩種情況,而后者僅指直線與平面平行.
新知生成
直線與平面的位置關系
位置 關系 直線在 平面內 直線在平面外
直線與平面相交 直線與平面平行
公共點 個數 　無數個　 1個 0個
符號 表示 a α a∩α=A a∥α
圖形 表示
新知運用
例1　(1)若直線上有一點在平面外,則下列結論正確的是(　　).
A.直線上所有的點都在平面外
B.直線上有無數多個點在平面外
C.直線上有無數多個點在平面內
D.直線上至少有一個點在平面內
(2)下列四個命題中,真命題的個數是(　　).
①如果a,b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經過b的任何一個平面;
②如果直線a和平面α滿足a∥α,那么a與平面α內的任何一條直線平行;
③如果直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,b α,那么b∥α;
④如果a與平面α上的無數條直線平行,那么直線a必平行于平面α.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】　(1)B　(2)B
【解析】　(1)直線上有一點在平面外,則直線不在平面內,故
直線上有無數多個點在平面外.
(2)如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥BB',AA'在過BB'的平面ABB'A'內,故命題①不正確;AA'∥平面BCC'B',BC 平面BCC'B',但AA'不平行于BC,故命題②不正確;③中,假設b與α相交,因為a∥b,所以a與α相交,這與a∥α矛盾,故b∥α,即③正確;④顯然不正確.故選B.
【方法總結】　　在判斷直線與平面的位置關系時,三種位置關系都要考慮到,避免疏忽或遺漏,另外,我們可以借助空間幾何圖形,把要判斷關系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中,以便于正確作出判斷,避免憑空臆斷.
已知a,b表示直線,α表示平面.有以下命題:①若a∥b,b α,則a∥α;②若a∥α,b∥α,則a∥b;③若a∥b,b∥α,則a∥α;④若a∥α,b α,則a∥b.其中正確命題的個數是(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】　A
【解析】　如圖所示,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,
AB∥CD,AB 平面ABCD,但CD 平面ABCD,故①錯誤;A'B'∥平面ABCD,B'C'∥平面ABCD,但A'B'與B'C'相交,故②錯誤;AB∥A'B',A'B'∥平面ABCD,但AB 平面ABCD,故③錯誤;A'B'∥平面ABCD,BC 平面ABCD,但A'B'與BC異面,故④錯誤.
探究2　直線與平面平行的判定定理
門扇的豎直兩邊是平行的,當門扇繞著一邊轉動時只要不關門,不論轉動到什么位置,它能活動的豎直一邊所在直線都與門框存在不變的位置關系.
問題1:情境中存在著不變的位置關系是指什么
【答案】　平行.
問題2:若判斷直線與平面平行,由上述問題你能得出一種方法嗎
【答案】　可以,只需在平面內找一條直線與平面外的直線平行即可.
問題3:若一直線與平面內的直線平行,一定有直線與平面平行嗎
【答案】　不一定,要強調直線在平面外.
新知生成
直線與平面平行的判定定理
(1)文字語言:若　平面外　一條直線與　此平面內　的一條直線　平行　,則該直線與此平面平行.
(2)符號語言:　l∥a　,　a α　,　l α　 l∥α.
(3)圖形語言:
特別提醒:利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行,關鍵是尋找平面內與已知直線平行的直線.
新知運用
例2　如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,S是平面ABCD外一點,M,N分別是SA,BD上的點,且=.求證:MN∥平面SBC.
【解析】　連接AN并延長交BC于點P,連接SP.
因為AD∥BC,所以=.
又因為=,
所以=,所以MN∥SP.
又MN 平面SBC,SP 平面SBC,
所以MN∥平面SBC.
【方法總結】　　(1)判斷或證明線面平行的常用方法
①定義法:證明直線與平面無公共點(不易操作).②判定定理法(a α,b α,a∥b a∥α).③排除法:證明直線與平面不相交,直線也不在平面內.
(2)證明線線平行的常用方法
①利用三角形、梯形中位線的性質.②利用平行四邊形的性質.③利用平行線分線段成比例定理.
如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是BC,CC1,BB1的中點,求證:EF∥平面AD1G.
【解析】　如圖,連接BC1,
則由E,F分別是BC,CC1的中點,知EF∥BC1.
又AB∥A1B1∥D1C1,且AB=A1B1=D1C1,
所以四邊形ABC1D1是平行四邊形,
所以BC1∥AD1,所以EF∥AD1.
又EF 平面AD1G,AD1 平面AD1G,
所以EF∥平面AD1G.
探究3　直線與平面平行的性質定理
平面束屬于一種空間圖形,是一組有特殊位置關系的平面的集合,即有一條公共直線的所有平面的集合.
問題1:如圖,a與l的位置關系是什么
【答案】　l∥a.
問題2:如圖,直線l∥平面α,直線a 平面α,直線l與直線a一定平行嗎 為什么
【答案】　不一定,因為還可能是異面直線.
問題3:如圖,直線a∥平面α,直線a 平面β,平面α∩平面β=b,滿足以上條件的平面β有多少個 直線a,b有什么位置關系
【答案】　無數個.a∥b.
新知生成
直線與平面平行的性質定理
(1)文字語言:一條直線與一個平面　平行　,如果過該直線的平面與此平面　相交　,那么該直線與交線　平行　.
(2)符號語言:a∥α,　a β,α∩β=b　 a∥b.
(3)圖形語言:
新知運用
例3　如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E為棱PB上一點(不與P,B重合),平面ADE交棱PC于點F.求證:AD∥EF.
【解析】　因為四邊形ABCD為矩形,所以AD∥BC.
因為AD 平面PBC,BC 平面PBC,所以AD∥平面PBC.
因為AD 平面ADE,平面ADE∩平面PBC=EF,所以AD∥EF.
【方法總結】　　利用線面平行的性質定理解題的步驟
如圖,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體.求證:截面MNPQ是平行四邊形.
【解析】　因為AB∥平面MNPQ,
平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由線面平行的性質定理,知AB∥MN.
同理可得AB∥PQ.由基本事實4可得MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面四邊形MNPQ是平行四邊形.
【隨堂檢測】
1.給出以下結論:
(1)直線a∥平面α,直線b α,則a∥b;
(2)若a α,b α,則a,b無公共點;
(3)若a α,則a∥α或a與α相交;
(4)若a∩α=A,則a α.
正確結論的個數為(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　B
【解析】　結合直線與平面的位置關系可知,(1)(2)錯誤,(3)(4)正確.
2.過正方體ABCD-A1B1C1D1的三個頂點A1,C1,B的平面與底面ABCD所在的平面的交線為l,則l與A1C1的位置關系是　　　　.
【答案】　平行
【解析】　因為A1C1∥平面ABCD,A1C1 平面A1C1B,平面ABCD∩平面A1C1B=l,所以由線面平行的性質定理,得A1C1∥l.
3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上,若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度為　　　　.
【答案】　
【解析】　∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,∴AC=2.又E為AD的中點,EF∥平面AB1C,EF 平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,∴EF∥AC,∴F為DC的中點,
∴EF=AC=.
4.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中點.證明:BC1∥平面A1CD.
【解析】　連接AC1交A1C于點F,
則F為AC1的中點.
又D是AB的中點,連接DF,則BC1∥DF.
因為DF 平面A1CD,BC1 平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
24.3 課時3 直線與平面平行的判定與性質
【學習目標】
1.了解直線與平面的位置關系.(直觀想象)
2.理解直線與平面平行的判定和性質.(邏輯推理、直觀想象)
3.利用直線與平面平行的判定定理和性質定理證明空間平行問題.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.直線與平面有哪幾種位置關系
2.什么叫直線與平面平行
3.直線與平面平行的判定定理是怎樣的
4.直線與平面平行的性質定理是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線與平面不相交,則直線與平面平行. (　　)
(2)過一點有且只有一條直線與已知直線平行. (　　)
(3)若直線l上有無數個點在平面α外,則l∥α. (　　)
(4)過平面外一點有且只有一條直線與該平面平行. (　　)
2.能保證直線a與平面α平行的條件是(　　).
A.b α,a∥b
B.b α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a α,b α,a∥b
3.如圖,在三棱錐S-ABC中,E,F分別是SB,SC上的點,且EF∥平面ABC,則(　　).
A.EF與BC相交
B.EF∥BC
C.EF與BC異面
D.以上均有可能
【合作探究】
探究1　空間中直線與平面的位置關系
如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,連接A1B.
問題1:A1B與長方體各面有幾種位置關系
問題2:“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是一回事嗎
新知生成
直線與平面的位置關系
位置 關系 直線在 平面內 直線在平面外
直線與平面相交 直線與平面平行
公共點 個數 　無數個　 1個 0個
符號 表示 a α a∩α=A a∥α
圖形 表示
新知運用
例1　(1)若直線上有一點在平面外,則下列結論正確的是(　　).
A.直線上所有的點都在平面外
B.直線上有無數多個點在平面外
C.直線上有無數多個點在平面內
D.直線上至少有一個點在平面內
(2)下列四個命題中,真命題的個數是(　　).
①如果a,b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經過b的任何一個平面;
②如果直線a和平面α滿足a∥α,那么a與平面α內的任何一條直線平行;
③如果直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,b α,那么b∥α;
④如果a與平面α上的無數條直線平行,那么直線a必平行于平面α.
A.0 B.1 C.2 D.3
【方法總結】　　在判斷直線與平面的位置關系時,三種位置關系都要考慮到,避免疏忽或遺漏,另外,我們可以借助空間幾何圖形,把要判斷關系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中,以便于正確作出判斷,避免憑空臆斷.
已知a,b表示直線,α表示平面.有以下命題:①若a∥b,b α,則a∥α;②若a∥α,b∥α,則a∥b;③若a∥b,b∥α,則a∥α;④若a∥α,b α,則a∥b.其中正確命題的個數是(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
探究2　直線與平面平行的判定定理
門扇的豎直兩邊是平行的,當門扇繞著一邊轉動時只要不關門,不論轉動到什么位置,它能活動的豎直一邊所在直線都與門框存在不變的位置關系.
問題1:情境中存在著不變的位置關系是指什么
問題2:若判斷直線與平面平行,由上述問題你能得出一種方法嗎
問題3:若一直線與平面內的直線平行,一定有直線與平面平行嗎
新知生成
直線與平面平行的判定定理
(1)文字語言:若　平面外　一條直線與　此平面內　的一條直線　平行　,則該直線與此平面平行.
(2)符號語言:　l∥a　,　a α　,　l α　 l∥α.
(3)圖形語言:
特別提醒:利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行,關鍵是尋找平面內與已知直線平行的直線.
新知運用
例2　如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,S是平面ABCD外一點,M,N分別是SA,BD上的點,且=.求證:MN∥平面SBC.
【方法總結】　　(1)判斷或證明線面平行的常用方法
①定義法:證明直線與平面無公共點(不易操作).②判定定理法(a α,b α,a∥b a∥α).③排除法:證明直線與平面不相交,直線也不在平面內.
(2)證明線線平行的常用方法
①利用三角形、梯形中位線的性質.②利用平行四邊形的性質.③利用平行線分線段成比例定理.
如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是BC,CC1,BB1的中點,求證:EF∥平面AD1G.
探究3　直線與平面平行的性質定理
平面束屬于一種空間圖形,是一組有特殊位置關系的平面的集合,即有一條公共直線的所有平面的集合.
問題1:如圖,a與l的位置關系是什么
問題2:如圖,直線l∥平面α,直線a 平面α,直線l與直線a一定平行嗎 為什么
問題3:如圖,直線a∥平面α,直線a 平面β,平面α∩平面β=b,滿足以上條件的平面β有多少個 直線a,b有什么位置關系
新知生成
直線與平面平行的性質定理
(1)文字語言:一條直線與一個平面　平行　,如果過該直線的平面與此平面　相交　,那么該直線與交線　平行　.
(2)符號語言:a∥α,　a β,α∩β=b　 a∥b.
(3)圖形語言:
新知運用
例3　如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E為棱PB上一點(不與P,B重合),平面ADE交棱PC于點F.求證:AD∥EF.
【方法總結】　　利用線面平行的性質定理解題的步驟
如圖,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體.求證:截面MNPQ是平行四邊形.
【隨堂檢測】
1.給出以下結論:
(1)直線a∥平面α,直線b α,則a∥b;
(2)若a α,b α,則a,b無公共點;
(3)若a α,則a∥α或a與α相交;
(4)若a∩α=A,則a α.
正確結論的個數為(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.過正方體ABCD-A1B1C1D1的三個頂點A1,C1,B的平面與底面ABCD所在的平面的交線為l,則l與A1C1的位置關系是　　　　.
3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上,若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度為　　　　.
4.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中點.證明:BC1∥平面A1CD.
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