資源簡介

4.3 課時4 直線與平面垂直的判定
【學習目標】
1.了解線面垂直的定義,掌握線面垂直的判定定理,初步學會用定理證明線面垂直關系.(邏輯推理、直觀想象)
2.熟悉線線垂直、線面垂直的轉化.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.什么叫直線與平面垂直
【答案】　如果直線l與平面α相交,并且垂直于這個平面內的所有直線,那么就稱直線l與平面α垂直.
2.怎樣判定直線與平面垂直
【答案】　利用直線與平面垂直的判定定理.
3.我們知道,如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.若把定理中的“兩條相交直線”改為“兩條直線”,直線與平面一定垂直嗎
【答案】　當這兩條直線平行時,直線可能與平面平行或相交或在平面內,所以不一定垂直.
1.直線l與平面α內的無數條直線垂直,則直線l與平面α的關系是(　　).
A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直
C.l在平面α內 D.不能確定
【答案】　D
【解析】　如圖所示,直線l和平面α相互平行或相互垂直或直線l在平面α內.故選D.
2.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于(　　).
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
【答案】　C
【解析】　由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故選C.
3.若直線l⊥平面α,直線m α,則l與m不可能(　　).
A.平行 B.相交
C.異面 D.垂直
【答案】　A
【解析】　由直線與平面垂直的定義可知,l與m可能相交、垂直或異面,但不可能平行.
【合作探究】
探究1　直線與平面垂直的定義
魯班是我國古代一位出色的發明家,他在做木匠活時,常常遇到有關直角的問題.雖然他手頭有畫直角的矩,但用起來很費事.于是,魯班對矩進行改進,做成一把叫作曲尺的“L”形木尺.現在木工要檢查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次,如圖,如果兩次檢查時,曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合,便可以判定木棒與板面垂直.
問題1:用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎
【答案】　不能.
問題2:問題1說明了直線與平面垂直的條件是什么
【答案】　直線垂直于平面內的兩條相交直線.
問題3:若直線垂直于平面內的無數條直線,直線與平面垂直嗎
【答案】　不一定.
新知生成
1.線面垂直的定義
如果一條直線l與一個平面α相交,并且垂直于這個平面內的　所有直線　,那么就稱這條直線l與這個平面α垂直.直線l叫作平面α的　垂線　,平面α叫作直線l的　垂面　,它們的交點叫作　垂足　.記作l⊥α.
2.過一點有且只有一條直線和一個平面垂直,過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.
新知運用
例1　下列說法中正確的個數是(　　).
①若直線l與平面α內的無數條直線垂直,則l⊥α;
②若直線l與平面α內的一條直線垂直,則l⊥α;
③若直線l不垂直于平面α,則α內沒有與l垂直的直線;
④若直線l不垂直于平面α,則α內也可以有無數條直線與l垂直.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】　B
【解析】　當l與α內的無數條直線垂直時,若這無數條直線為平行直線,則l與α不一定垂直,故①錯誤;當l與α內的一條直線垂直時,不能保證l與α垂直,故②錯誤;當l與α不垂直時,l可能與α內的無數條直線垂直,故③錯誤,④正確.故選B.
【方法總結】　　對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內的所有直線”與“直線垂直于平面內無數條直線”不是一回事,后者說法是不正確的,它可能的情況有直線與平面斜交、平行或直線在平面內.
給出下列說法:
①若直線l垂直于平面α,則l與平面α內的直線可能相交,可能異面,也可能平行;
②若a∥b,a α,l⊥α,則l⊥b;
③若a⊥b,b⊥α,則a∥α.
其中正確的是　　　　.(填序號)
【答案】　②
【解析】　當l⊥α時,直線l與平面α內的直線相交或異面,但不會平行,故①錯誤;②顯然是正確的;直線a可能在平面α內,故③錯誤.
探究2　直線與平面垂直的判定定理
將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸).如圖,觀察折痕AD與桌面的位置關系.
問題1:折痕AD與桌面一定垂直嗎
【答案】　不一定.
問題2:當折痕AD滿足什么條件時,AD與桌面垂直
【答案】　當AD⊥BD且AD⊥CD時,折痕AD與桌面垂直.
問題3:由問題2,你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎
【答案】　如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么該直線與該平面垂直.
問題4:若把兩條相交直線改為兩條直線,直線與平面一定垂直嗎
【答案】　當這兩條直線平行時,直線可能與平面相交,但不一定垂直.
新知生成
直線與平面垂直的判定定理
(1)文字語言:若一條直線與一個平面內的　兩條相交直線　都垂直,則該直線與此平面垂直.
(2)符號語言:l⊥a,l⊥b,a α,b α,　a∩b=P　 l⊥α.
(3)圖形語言:
新知運用
例2　如圖所示,S為Rt△ABC所在平面外的一點,且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點.求證:直線SD⊥平面ABC.
【解析】　∵SA=SC,D為斜邊AC的中點,
∴SD⊥AC.
如圖,連接BD,在Rt△ABC中,有AD=DC=BD,
∴△ADS≌△BDS,
∴∠ADS=∠BDS,
∴SD⊥BD.又AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.
【變式探究】在本例中,若AB=BC,其他條件不變,則BD與平面SAC的位置關系是什么
【解析】　∵AB=BC,D為斜邊AC的中點,
∴BD⊥AC.又由例題知SD⊥BD,
∴BD垂直于平面SAC內的兩條相交直線,
故BD⊥平面SAC.
【方法總結】　　應用線面垂直判定定理的注意事項
(1)要判定一條直線和一個平面是否垂直,取決于在這個平面內能否找到兩條相交直線和已知直線垂直,至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點,這是無關緊要的.
(2)在應用判定定理時,切記要抓住“相交”二字,它把線面垂直轉化為線線垂直,即“l⊥a,l⊥b,a α,b α,a∩b=A l⊥α.”
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E是PB的中點.求證:
(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥PC.
【解析】　(1)∵底面ABCD為矩形,∴BC⊥AB.
∵PA⊥底面ABCD,BC 底面ABCD,∴PA⊥BC.
又∵AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB,∴BC⊥平面PAB.
(2)∵AE 平面PAB,BC⊥平面PAB,∴BC⊥AE.
∵PA=AB,E是PB的中點,∴AE⊥PB.
又∵PB∩BC=B,PB,BC 平面PBC,∴AE⊥平面PBC.
∵PC 平面PBC,∴AE⊥PC.
探究3　直線與平面平行、垂直的綜合
例3　已知在三棱柱ABC-DEF中,四邊形BCFE為矩形.
(1)記平面BCD與平面DEF的交線為l,求證:l∥平面BCFE.
(2)若CD⊥DE,求證:AC⊥BD.
【解析】　(1)由棱柱的性質得BC∥EF,
∵BC 平面DEF,EF 平面DEF,∴BC∥平面DEF.
∵BC 平面BCD,平面BCD與平面DEF的交線為l,
∴BC∥l.
∵l 平面BCFE,BC 平面BCFE,∴l∥平面BCFE.
(2)作點D在△ABC所在平面的投影于點O,分別延長AO,BO,CO,交邊BC,AC,AB于點G,R,H,
∵CD⊥DE,DE∥AB,
∴CD⊥AB.
∵AB⊥OD,CD∩OD=D,CD,OD 平面OCD,∴AB⊥平面OCD.
∵OC 平面OCD,∴AB⊥OC.
由條件可知,CF⊥BC,CF∥AD,∴BC⊥AD,
∴BC⊥平面AOD,∴BC⊥AO,∴O為△ABC的垂心,
∴AC⊥OB.
∵AC⊥DO,OB∩DO=O,OB,DO 平面BDO,∴AC⊥平面BDO.
又BD 平面BDO,∴AC⊥BD.
【方法總結】　　(1)證明線面垂直的方法:①線面垂直的定義;②線面垂直的判定定理;③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直于這個平面.
(2)證明線面平行常用線面平行的判定定理.
如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,D是AB的中點.
(1)求證:AC⊥B1C.
(2)求證:AC1∥平面CDB1.
【解析】　(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,∴CC1⊥AC,
由AC=9,BC=12,AB=15,得AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.
又CC1∩BC=C,∴AC⊥平面BCC1B1,∴AC⊥B1C.
(2)設CB1與C1B的交點為E,連接DE,如圖,
∵D是AB的中點,E是C1B的中點,∴DE∥AC1.
∵DE 平面CDB1,AC1 平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.
【隨堂檢測】
1.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關系是(　　).
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不確定
【答案】　A
【解析】　因為梯形兩腰所在的直線為兩條相交直線,所以由線面垂直的判定定理知,直線與平面垂直.故選A.
2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與AD1垂直的平面是(　　).
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB
【答案】　B
【解析】　∵AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,A1D,A1B1 平面A1DB1,∴AD1⊥平面A1DB1.
3.若空間中直線l和三角形的兩邊AC,BC同時垂直,則直線l和三角形的第三邊AB的位置關系是　　　　.
【答案】　垂直
【解析】　因為l⊥AC,l⊥BC,且AC∩BC=C,
所以l⊥平面ABC.
又AB 平面ABC,所以l⊥AB.
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:A1C⊥平面BC1D.
【解析】　如圖,連接AC,
顯然AC⊥BD.
又∵BD⊥A1A,AC∩AA1=A,AC,A1A 平面A1AC,
∴BD⊥平面A1AC.
∵A1C 平面A1AC,∴BD⊥A1C.
同理可得BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1=B,BD,BC1 平面BC1D,
∴A1C⊥平面BC1D.
24.3 課時4 直線與平面垂直的判定
【學習目標】
1.了解線面垂直的定義,掌握線面垂直的判定定理,初步學會用定理證明線面垂直關系.(邏輯推理、直觀想象)
2.熟悉線線垂直、線面垂直的轉化.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.什么叫直線與平面垂直
2.怎樣判定直線與平面垂直
3.我們知道,如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.若把定理中的“兩條相交直線”改為“兩條直線”,直線與平面一定垂直嗎
1.直線l與平面α內的無數條直線垂直,則直線l與平面α的關系是(　　).
A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直
C.l在平面α內 D.不能確定
2.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于(　　).
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
3.若直線l⊥平面α,直線m α,則l與m不可能(　　).
A.平行 B.相交
C.異面 D.垂直
【合作探究】
探究1　直線與平面垂直的定義
魯班是我國古代一位出色的發明家,他在做木匠活時,常常遇到有關直角的問題.雖然他手頭有畫直角的矩,但用起來很費事.于是,魯班對矩進行改進,做成一把叫作曲尺的“L”形木尺.現在木工要檢查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次,如圖,如果兩次檢查時,曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合,便可以判定木棒與板面垂直.
問題1:用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎
問題2:問題1說明了直線與平面垂直的條件是什么
問題3:若直線垂直于平面內的無數條直線,直線與平面垂直嗎
新知生成
1.線面垂直的定義
如果一條直線l與一個平面α相交,并且垂直于這個平面內的　所有直線　,那么就稱這條直線l與這個平面α垂直.直線l叫作平面α的　垂線　,平面α叫作直線l的　垂面　,它們的交點叫作　垂足　.記作l⊥α.
2.過一點有且只有一條直線和一個平面垂直,過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.
新知運用
例1　下列說法中正確的個數是(　　).
①若直線l與平面α內的無數條直線垂直,則l⊥α;
②若直線l與平面α內的一條直線垂直,則l⊥α;
③若直線l不垂直于平面α,則α內沒有與l垂直的直線;
④若直線l不垂直于平面α,則α內也可以有無數條直線與l垂直.
A.0 B.1 C.2 D.3
【方法總結】　　對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內的所有直線”與“直線垂直于平面內無數條直線”不是一回事,后者說法是不正確的,它可能的情況有直線與平面斜交、平行或直線在平面內.
給出下列說法:
①若直線l垂直于平面α,則l與平面α內的直線可能相交,可能異面,也可能平行;
②若a∥b,a α,l⊥α,則l⊥b;
③若a⊥b,b⊥α,則a∥α.
其中正確的是　　　　.(填序號)
探究2　直線與平面垂直的判定定理
將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸).如圖,觀察折痕AD與桌面的位置關系.
問題1:折痕AD與桌面一定垂直嗎
問題2:當折痕AD滿足什么條件時,AD與桌面垂直
問題3:由問題2,你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎
問題4:若把兩條相交直線改為兩條直線,直線與平面一定垂直嗎
新知生成
直線與平面垂直的判定定理
(1)文字語言:若一條直線與一個平面內的　兩條相交直線　都垂直,則該直線與此平面垂直.
(2)符號語言:l⊥a,l⊥b,a α,b α,　a∩b=P　 l⊥α.
(3)圖形語言:
新知運用
例2　如圖所示,S為Rt△ABC所在平面外的一點,且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點.求證:直線SD⊥平面ABC.
【變式探究】在本例中,若AB=BC,其他條件不變,則BD與平面SAC的位置關系是什么
【方法總結】　　應用線面垂直判定定理的注意事項
(1)要判定一條直線和一個平面是否垂直,取決于在這個平面內能否找到兩條相交直線和已知直線垂直,至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點,這是無關緊要的.
(2)在應用判定定理時,切記要抓住“相交”二字,它把線面垂直轉化為線線垂直,即“l⊥a,l⊥b,a α,b α,a∩b=A l⊥α.”
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E是PB的中點.求證:
(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥PC.
探究3　直線與平面平行、垂直的綜合
例3　已知在三棱柱ABC-DEF中,四邊形BCFE為矩形.
(1)記平面BCD與平面DEF的交線為l,求證:l∥平面BCFE.
(2)若CD⊥DE,求證:AC⊥BD.
【方法總結】　　(1)證明線面垂直的方法:①線面垂直的定義;②線面垂直的判定定理;③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直于這個平面.
(2)證明線面平行常用線面平行的判定定理.
如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,D是AB的中點.
(1)求證:AC⊥B1C.
(2)求證:AC1∥平面CDB1.
【隨堂檢測】
1.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關系是(　　).
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不確定
2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與AD1垂直的平面是(　　).
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB
3.若空間中直線l和三角形的兩邊AC,BC同時垂直,則直線l和三角形的第三邊AB的位置關系是　　　　.
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:A1C⊥平面BC1D.
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