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4.3 課時5 直線與平面垂直的性質
【學習目標】
1.掌握線面垂直的性質定理.(邏輯推理、直觀想象)
2.理解點到面、線到面的距離的概念,并會求簡單的點(線)到面的距離.(直觀想象、數學運算)
3.理解直線與平面所成的角的概念,并會求簡單的直線與平面所成的角.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
1.如果一條直線垂直于一個平面,那么這條直線和平面內的直線有怎樣的位置關系呢
【答案】　和平面內的任意直線都垂直.
2.垂直于同一個平面的兩條直線有什么位置關系
【答案】　這兩條直線互相平行.
3.如果一條直線與平面垂直,那么這條直線與平面所成的角是多少 若直線與平面不垂直,則如何找直線與平面所成的角
【答案】　90°,找直線與平面的投影所成的角.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線與平面所成的角為θ,則0°<θ≤90°. (　　)
(2)若直線l與平面α所成的角為60°,且m α,則直線l與m所成的角也是60°. (　　)
(3)若直線a∥平面α,直線b⊥平面α,則直線b⊥直線a. (　　)
(4)若直線a⊥平面α,直線a⊥直線b,則直線b∥平面α. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB1與平面ABCD所成的角等于　　　　;AB1與平面ADD1A1所成的角等于　　　　;AB1與平面DCC1D1所成的角等于　　　　.
【答案】　45°　45°　0°
【解析】　∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角,且∠B1AB=45°;∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角,且∠B1AA1=45°;AB1與平面DCC1D1平行,即所成的角為0°.
3.已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,則點C到平面BDD1B1的距離為(　　).
A.1 B. C.2 D.2
【答案】　B
【解析】　如圖,連接AC,與DB交于點O,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
∵DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,
∴AC⊥平面BDD1B1.
∴點C到平面BDD1B1的距離為CO的長度.
∵AB=2,∴AC=2,∴CO=AC=.
【合作探究】
探究1　直線與平面垂直的性質定理
問題1:觀察長方體模型中四條側棱與同一個底面的位置關系.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直線都垂直于平面ABCD,它們之間有什么位置關系
【答案】　平行.
問題2:已知直線a⊥α,直線b⊥α,那么直線a,b一定平行嗎 如何用語言敘述該結論
【答案】　一定平行.垂直于同一個平面的兩條直線平行.
問題3:你能發現線面垂直的其他性質嗎
【答案】　(1)如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面.
(2)過空間一點有且只有一條直線與已知平面垂直.
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.
(4)一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,那么這條直線也垂直于另一個平面.
(5)如果平面外的一條直線與該平面的垂線垂直,那么這條直線與此平面平行.
問題4:兩條異面直線能垂直于同一個平面嗎 為什么
【答案】　不能,因為垂直于同一個平面的兩條直線平行,如果兩條異面直線能垂直于同一個平面,則這兩條異面直線共面,這與它的定義矛盾.
新知生成
直線與平面垂直的性質定理
文字語言:垂直于同一個平面的兩條直線平行.
符號語言:若a⊥α,b⊥α,則a∥b.
新知運用
例1　如圖,在正方體A1B1C1D1-ABCD中,E是A1D上的點,F是AC上的點,且EF與異面直線AC,A1D都垂直相交.求證:EF∥BD1.
方法指導　要證明EF∥BD1,只需證明BD1⊥平面AB1C,且EF⊥平面AB1C,然后利用線面垂直的性質得出結論.
【解析】　如圖所示,連接AB1,B1C,BD,B1D1,
∵DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,BD∩DD1=D,
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.
同理可證BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC,AC∩B1C=C,
∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
【方法總結】　　證明線線平行的常用方法
(1)利用線線平行的定義,證共面且無公共點.
(2)利用三線平行公理,證兩線同時平行于第三條直線.
(3)利用線面平行的性質定理,把證線線平行轉化為證線面平行.
(4)利用線面垂直的性質定理,把證線線平行轉化為證線面垂直.
如圖,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分別為A,B,a α,a⊥AB.求證:a∥l.
【解析】　∵PA⊥α,l α,∴PA⊥l.同理PB⊥l.
∵PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α,a α,∴PA⊥a.
∵a⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
探究2　點到平面、直線到平面的距離
問題1:我們知道求點到直線的距離的方法是過該點作直線的垂線,那么如何求點到平面的距離呢
【答案】　也是過點作平面的垂線,點和垂足間的距離,即為點到平面的距離.
問題2:如果直線與平面相交,那么直線到平面的距離是多少
【答案】　0.
問題3:已知直線與平面平行,如何求直線到平面的距離
【答案】　若直線與平面平行,則直線上任意一點到平面的距離都相等.
新知生成
1.點到平面的距離
過一點S向平面ABC作垂線,垂足為A,則稱垂線段SA的長度為點S到平面ABC的距離.
2.直線與平面的距離
一條直線和一個平面平行,這條直線上任意一點到這個平面的距離,叫作這條直線與這個平面的距離.
新知運用
例2　如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=AC=BC=2,PC=1.
(1)求證:PC⊥AB.
(2)求點P到平面ABC的距離.
方法指導　(1)取AB的中點D,連接PD和CD,證得AB⊥PD,AB⊥CD,根據線面垂直的判定,證得AB⊥平面PCD,進而得到PC⊥AB.
(2)過點P作PK⊥CD,垂足為K,證得PK⊥平面ABC,得到PK即為點P到平面ABC的距離,在△PDC中,得到PK=PDsin∠PDC,即可求解.
【解析】　(1)取AB的中點D,連接PD和CD,如圖,
因為PA=PB=AB=AC=BC=2,所以AB⊥PD,AB⊥CD,
又因為PD∩CD=D,所以AB⊥平面PCD,
又PC 平面PCD,所以PC⊥AB.
(2)過點P作PK⊥CD,垂足為K,
由(1)可知AB⊥平面PCD,所以AB⊥PK,
所以PK⊥平面ABC,所以PK為點P到平面ABC的距離,
在△PDC中,cos∠PDC===,
所以PK=PDsin∠PDC=×=,
即點P到平面ABC的距離為.
【方法總結】　　求點到平面的距離,關鍵是找到該點到平面的垂線段,然后轉化到三角形中,通過解三角形求解.
如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,E是AA1的中點.若EF∥平面A1BC,求EF到平面A1BC的距離.
【解析】　∵EF∥平面A1BC,
∴EF到平面A1BC的距離可轉化為點E到平面A1BC的距離.
∵E是AA1的中點,∴所求距離為點A到平面A1BC的距離的一半.
過點A作A1B的垂線,交A1B于點K(圖略),
∵BC⊥平面ABB1A1,且AK 平面ABB1A1,∴AK⊥BC,
∵AK⊥A1B,A1B∩BC=B,∴AK⊥平面A1BC.
∵AK·A1B=A1A·AB,
∴AK===,
∴點E到平面A1BC的距離為AK=,
即EF到平面A1BC的距離為.
探究3　直線與平面所成的角
問題1:直線與平面垂直是直線與平面相交時的一種特殊情況,當它們不垂直時,可以發現不同的直線與平面相交的情況也是不同的,如何刻畫這種不同呢
【答案】　利用直線和平面所成的角來刻畫.
問題2:如何作直線與平面所成的角
【答案】　過斜線上斜足以外的一點P向平面作垂線,過垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線在這個平面上的投影.平面的一條斜線與它在該平面上的投影所成的銳角,叫作這條直線與這個平面所成的角.
問題3:直線與平面所成的角的范圍是多少
【答案】　根據直線與平面所成的角的定義可知,范圍是[0,90°].
新知生成
1.直線與平面所成的角
平面的一條斜線與它在該平面上的投影所成的銳角,叫作這條直線與這個平面所成的角.
2.直線與平面所成角的范圍
當直線與平面平行或在平面內時,直線與平面所成的角為0°,當直線與平面垂直時,直線與平面所成的角為90°,故直線與平面所成角的范圍是[0°,90°].
新知運用
例3　如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC.
(1)求證:BC⊥平面PAB.
(2)若PA=AC=2AB,D是PC的中點,求直線AD與平面PBC所成角的正弦值.
方法指導　(1)利用線面垂直的判定定理來證明;(2)過點A作AF⊥PB,證明AF⊥平面PBC,即可得到直線AD與平面PBC所成角,再求其正弦值.
【解析】　(1)∵PA⊥平面ABC,且BC 平面ABC,
∴PA⊥BC.
又AB⊥BC,且PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.
(2)如圖,過點A作AF⊥PB,連接DF,
∵BC⊥平面PAB,AF 平面PAB,∴BC⊥AF.
∵AF⊥PB,PB∩BC=B,∴AF⊥平面PBC,
∴∠ADF是直線AD與平面PBC所成的角,且sin∠ADF=,
設PA=AC=2AB=2a,則根據等面積法可知PA·AB=PB·AF,∴AF===a,AD=PA=a,
∴sin∠ADF==,
∴直線AD與平面PBC所成角的正弦值為.
【方法總結】　　求直線與平面所成角的步驟:(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線;(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的投影,斜線與其投影所成的銳角即為所求;(3)把該角歸結在某個三角形中,通過解三角形,求出該角.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求直線A1C與平面ABCD所成角的正切值;
(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角.
【解析】　(1)∵直線A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角.
設A1A=1,則AC=,∴tan∠A1CA=.
故直線A1C與平面ABCD所成角的正切值為.
(2)如圖,連接A1C1交B1D1于點O,
在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1 平面A1B1C1D1,
∴BB1⊥A1C1.
又∵BB1∩B1D1=B1,
∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足為O,連接BO,
∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角.
在Rt△A1BO中,A1O=A1C1=A1B,∴∠A1BO=30°.故直線A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.
【隨堂檢測】
1.已知△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,則直線l,m的位置關系是(　　).
A.相交 B.異面
C.平行 D.不確定
【答案】　C
【解析】　因為l⊥AB,l⊥AC,AB α,AC α且AB∩AC=A,所以l⊥α,同理可證m⊥α,所以l∥m.
2.如圖,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,則EF=　　　　.
【答案】　6
【解析】　∵AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,∴AF∥DE.
∵AF=DE,
∴四邊形ADEF是平行四邊形.
∴EF=AD=6.
3.如圖,已知正四棱錐P-ABCD的側棱與底面所成的角為60°,M為PA的中點,連接DM,則DM與平面PAC所成角的大小是.
【答案】　45°
【解析】　如圖,連接AC,BD交于點O,連接PO,MO,
則可得PO⊥BD,AC⊥BD,PO∩AC=O,PO,AC 平面PAC,∴BD⊥平面PAC,
則∠DMO為DM與平面PAC所成的角,
設側棱長為a,
∵側棱與底面所成的角為60°,即∠PAC=60°,
∴BD=AC=a,DO=,
∵M,O分別為PA,AC的中點,∴MO=PC=,
則可得△DMO為等腰直角三角形,∴∠DMO=45°,
∴DM與平面PAC所成角的大小為45°.
4.如圖所示,已知平面α∩平面β=EF,A為α,β外一點,AB⊥α于點B,AC⊥β于點C,CD⊥α于點D.求證:BD⊥EF.
【解析】　∵AB⊥α,CD⊥α,∴AB∥CD,∴A,B,C,D四點共面.
∵AB⊥α,AC⊥β,α∩β=EF,∴AB⊥EF,AC⊥EF.
又AB∩AC=A,∴EF⊥平面ABDC,
∵BD 平面ABDC,∴EF⊥BD.
24.3 課時5 直線與平面垂直的性質
【學習目標】
1.掌握線面垂直的性質定理.(邏輯推理、直觀想象)
2.理解點到面、線到面的距離的概念,并會求簡單的點(線)到面的距離.(直觀想象、數學運算)
3.理解直線與平面所成的角的概念,并會求簡單的直線與平面所成的角.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
1.如果一條直線垂直于一個平面,那么這條直線和平面內的直線有怎樣的位置關系呢
2.垂直于同一個平面的兩條直線有什么位置關系
3.如果一條直線與平面垂直,那么這條直線與平面所成的角是多少 若直線與平面不垂直,則如何找直線與平面所成的角
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線與平面所成的角為θ,則0°<θ≤90°. (　　)
(2)若直線l與平面α所成的角為60°,且m α,則直線l與m所成的角也是60°. (　　)
(3)若直線a∥平面α,直線b⊥平面α,則直線b⊥直線a. (　　)
(4)若直線a⊥平面α,直線a⊥直線b,則直線b∥平面α. (　　)
2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB1與平面ABCD所成的角等于　　　　;AB1與平面ADD1A1所成的角等于　　　　;AB1與平面DCC1D1所成的角等于　　　　.
3.已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,則點C到平面BDD1B1的距離為(　　).
A.1 B. C.2 D.2
【合作探究】
探究1　直線與平面垂直的性質定理
問題1:觀察長方體模型中四條側棱與同一個底面的位置關系.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直線都垂直于平面ABCD,它們之間有什么位置關系
.
問題2:已知直線a⊥α,直線b⊥α,那么直線a,b一定平行嗎 如何用語言敘述該結論
問題3:你能發現線面垂直的其他性質嗎
問題4:兩條異面直線能垂直于同一個平面嗎 為什么
新知生成
直線與平面垂直的性質定理
文字語言:垂直于同一個平面的兩條直線平行.
符號語言:若a⊥α,b⊥α,則a∥b.
新知運用
例1　如圖,在正方體A1B1C1D1-ABCD中,E是A1D上的點,F是AC上的點,且EF與異面直線AC,A1D都垂直相交.求證:EF∥BD1.
方法指導　要證明EF∥BD1,只需證明BD1⊥平面AB1C,且EF⊥平面AB1C,然后利用線面垂直的性質得出結論.
【方法總結】　　證明線線平行的常用方法
(1)利用線線平行的定義,證共面且無公共點.
(2)利用三線平行公理,證兩線同時平行于第三條直線.
(3)利用線面平行的性質定理,把證線線平行轉化為證線面平行.
(4)利用線面垂直的性質定理,把證線線平行轉化為證線面垂直.
如圖,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分別為A,B,a α,a⊥AB.求證:a∥l.
探究2　點到平面、直線到平面的距離
問題1:我們知道求點到直線的距離的方法是過該點作直線的垂線,那么如何求點到平面的距離呢
問題2:如果直線與平面相交,那么直線到平面的距離是多少
問題3:已知直線與平面平行,如何求直線到平面的距離
新知生成
1.點到平面的距離
過一點S向平面ABC作垂線,垂足為A,則稱垂線段SA的長度為點S到平面ABC的距離.
2.直線與平面的距離
一條直線和一個平面平行,這條直線上任意一點到這個平面的距離,叫作這條直線與這個平面的距離.
新知運用
例2　如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=AC=BC=2,PC=1.
(1)求證:PC⊥AB.
(2)求點P到平面ABC的距離.
方法指導　(1)取AB的中點D,連接PD和CD,證得AB⊥PD,AB⊥CD,根據線面垂直的判定,證得AB⊥平面PCD,進而得到PC⊥AB.
(2)過點P作PK⊥CD,垂足為K,證得PK⊥平面ABC,得到PK即為點P到平面ABC的距離,在△PDC中,得到PK=PDsin∠PDC,即可求解.
【方法總結】　　求點到平面的距離,關鍵是找到該點到平面的垂線段,然后轉化到三角形中,通過解三角形求解.
如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,E是AA1的中點.若EF∥平面A1BC,求EF到平面A1BC的距離.
探究3　直線與平面所成的角
問題1:直線與平面垂直是直線與平面相交時的一種特殊情況,當它們不垂直時,可以發現不同的直線與平面相交的情況也是不同的,如何刻畫這種不同呢
問題2:如何作直線與平面所成的角
問題3:直線與平面所成的角的范圍是多少
新知生成
1.直線與平面所成的角
平面的一條斜線與它在該平面上的投影所成的銳角,叫作這條直線與這個平面所成的角.
2.直線與平面所成角的范圍
當直線與平面平行或在平面內時,直線與平面所成的角為0°,當直線與平面垂直時,直線與平面所成的角為90°,故直線與平面所成角的范圍是[0°,90°].
新知運用
例3　如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC.
(1)求證:BC⊥平面PAB.
(2)若PA=AC=2AB,D是PC的中點,求直線AD與平面PBC所成角的正弦值.
方法指導　(1)利用線面垂直的判定定理來證明;(2)過點A作AF⊥PB,證明AF⊥平面PBC,即可得到直線AD與平面PBC所成角,再求其正弦值.
【方法總結】　　求直線與平面所成角的步驟:(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線;(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的投影,斜線與其投影所成的銳角即為所求;(3)把該角歸結在某個三角形中,通過解三角形,求出該角.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求直線A1C與平面ABCD所成角的正切值;
(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角.
【隨堂檢測】
1.已知△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,則直線l,m的位置關系是(　　).
A.相交 B.異面
C.平行 D.不確定
2.如圖,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,則EF=　　　　.
3.如圖,已知正四棱錐P-ABCD的側棱與底面所成的角為60°,M為PA的中點,連接DM,則DM與平面PAC所成角的大小是.
4.如圖所示,已知平面α∩平面β=EF,A為α,β外一點,AB⊥α于點B,AC⊥β于點C,CD⊥α于點D.求證:BD⊥EF.
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