資源簡介

4.4 課時1 平面與平面平行的判定與性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理的含義.(邏輯推理、直觀想象)
2.會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理,并知道其地位和作用.(邏輯推理、直觀想象)
3.能運(yùn)用平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理證明一些空間面面關(guān)系的簡單問題.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.應(yīng)用面面平行的判定定理時應(yīng)具備哪些條件
2.如果兩個平面平行,那么這兩個平面內(nèi)的所有直線都相互平行嗎
3.如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的直線和另一個平面有什么位置關(guān)系
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個平面平行. (　　)
(2)兩個平面同時與第三個平面相交,若兩交線平行,則這兩個平面平行. (　　)
(3)夾在兩平行平面間的平行線段相等. (　　)
(4)若平面α∥平面β,l 平面β,m 平面α,則l∥m. (　　)
2.已知長方體ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A'B'C'D'=E'F',則EF與E'F'的位置關(guān)系是(　　).
A.平行 B.相交 C.異面 D.不確定
3.如圖,若過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點B1,D1與棱AB的中點P的平面與底面ABCD的交線記為l,則l與B1D1的位置關(guān)系為　　　　.
【合作探究】
探究1　平面與平面的位置關(guān)系
觀察如圖所示的二層樓房直觀示意圖,回答下列問題:
問題1:平面α和平面β所在平面是否有交點
問題2:平面γ和平面δ是否相交 若相交,交線是什么
問題3:(不討論兩平面重合情況)除了這兩種情況外,是否還有其他情況
新知生成
兩個平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 平行 相交
圖示
表示法 α∥β α∩β=a
公共點個數(shù) 　0　個 　無數(shù)　個
新知運(yùn)用
例1　如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么兩個平面的位置關(guān)系是　　　　.
【變式探究】
1.若本例將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”,則兩平面的位置關(guān)系如何
2.若將條件改為平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行,那么α與β的關(guān)系是什么
【方法總結(jié)】　　1.平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法
(1)平面與平面相交的判斷,主要是以基本事實為依據(jù)找出一個交點.
(2)平面與平面平行的判斷,主要是證明兩個平面沒有公共點.
2.常見的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上、下底面平行.
(2)長方體、正方體的六個面中,三組相對面平行.
如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F分別為B'C',A'D'的中點,判斷平面ABB'A'與平面CDFE的位置關(guān)系,并說明理由.
探究2　平面與平面平行的判定
如何判斷桌子的桌面是否水平 工人師傅將水平儀在桌子上交叉放置兩次,如果水平儀的氣泡兩次都在中央,就能判斷桌面是水平的,否則桌面就不是水平的,這是為什么呢 (注:當(dāng)水平儀的氣泡居中時,水平儀所在的直線就是水平線)
問題1:情境中給出的判斷兩平面平行的方法是什么
問題2:若一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行嗎
問題3:若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行嗎
問題4:平面平行有傳遞性嗎
新知生成
平面與平面平行的判定定理
文字 語言 若一個平面內(nèi)的　兩條相交直線　與另一個平面平行,則這兩個平面平行
符號 語言 a∥β,b∥β,a∩b=P,a α,b α α∥β
圖形 語言
特別提醒:判定兩個平面平行與判定線面平行一樣,應(yīng)遵循“先找后作”的原則,即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線,若找不到再作輔助線.
新知運(yùn)用
例2　如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是平行四邊形,G,H分別是CE,CF的中點.
求證:平面BDGH∥平面AEF.
【方法總結(jié)】　　平面與平面平行的判定方法
(1)定義法:證明兩個平面沒有公共點.(2)判定定理法:證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面.(3)轉(zhuǎn)化為線線平行:平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行,則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性:若α∥β,β∥γ,則α∥γ.
如圖,在四棱錐P-ABCD中,E為PA的中點,F為BC的中點,底面ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD交于點O.求證:平面EFO∥平面PCD.
探究3　平面與平面平行的性質(zhì)
觀察長方體ABCD-A1B1C1D1的兩個面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.
問題1:平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎
問題2:若m 平面ABCD,n 平面A1B1C1D1,則m∥n嗎
問題3:過B1C的平面交平面A1B1C1D1于B1C1,交平面ABCD于BC,則B1C1與BC是什么關(guān)系
新知生成
平面與平面平行的性質(zhì)定理
(1)文字語言:兩個平面平行,如果一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線　平行　.
(2)符號語言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b 　a∥b　.
(3)圖形語言:
使用平面與平面平行的性質(zhì)定理時,下列三個條件缺一不可:
①兩個平面平行,即α∥β;
②第一個平面與第三個平面相交,即α∩γ=a;
③第二個平面與第三個平面也相交,即β∩γ=b.
新知運(yùn)用
例3　如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為梯形,AD∥BC,平面A1DCE與B1B交于點E.求證:EC∥A1D.
【方法總結(jié)】　　運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理時,應(yīng)先確定面面平行,再尋找過已知直線的平面與平面相交的交線,然后確定線線平行.在證明過程中應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)悟線線平行與面面平行的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.
如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB=AD=,CD=CB=1,AC=2,平面EAC⊥平面ABCD,平面ABE∩平面CDE=l.若M為線段AE的中點,求證:BM∥l.
【隨堂檢測】
1.若a∥α,b∥β,α∥β,則a與b位置關(guān)系是(　　).
A.平行
B.異面
C.相交
D.平行或異面或相交
2.已知α,β是兩個不重合的平面,下列選項中,一定能得出平面α與平面β平行的是(　　).
A.平面α內(nèi)有一條直線與平面β平行
B.平面α內(nèi)有兩條直線與平面β平行
C.平面α內(nèi)有一條直線與平面β內(nèi)的一條直線平行
D.平面α與平面β不相交
3.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中點為P,過點A1作與截面PBC1平行的截面,則該截面的面積為　　　　.
4.如圖,在四面體ABCD中,E,F分別為棱AB,AC上的點,G為棱AD的中點,且平面EFG∥平面BCD.求證:BC=2EF.
24.4 課時1 平面與平面平行的判定與性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理的含義.(邏輯推理、直觀想象)
2.會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理,并知道其地位和作用.(邏輯推理、直觀想象)
3.能運(yùn)用平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理證明一些空間面面關(guān)系的簡單問題.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.應(yīng)用面面平行的判定定理時應(yīng)具備哪些條件
【答案】　①平面α內(nèi)兩條相交直線a,b,即a α,b α,a∩b=P;②兩條相交直線a,b都與β平行,即a∥β,b∥β.
2.如果兩個平面平行,那么這兩個平面內(nèi)的所有直線都相互平行嗎
【答案】　不是.
3.如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的直線和另一個平面有什么位置關(guān)系
【答案】　平行.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個平面平行. (　　)
(2)兩個平面同時與第三個平面相交,若兩交線平行,則這兩個平面平行. (　　)
(3)夾在兩平行平面間的平行線段相等. (　　)
(4)若平面α∥平面β,l 平面β,m 平面α,則l∥m. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.已知長方體ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A'B'C'D'=E'F',則EF與E'F'的位置關(guān)系是(　　).
A.平行 B.相交 C.異面 D.不確定
【答案】　A
【解析】　因為平面ABCD∥平面A'B'C'D',所以EF∥E'F'.故選A.
3.如圖,若過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點B1,D1與棱AB的中點P的平面與底面ABCD的交線記為l,則l與B1D1的位置關(guān)系為　　　　.
【答案】　平行
【解析】　如圖所示,連接D1P,B1P,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,平面B1D1P∩平面ABCD=l,所以l∥B1D1.
【合作探究】
探究1　平面與平面的位置關(guān)系
觀察如圖所示的二層樓房直觀示意圖,回答下列問題:
問題1:平面α和平面β所在平面是否有交點
【答案】　沒有.
問題2:平面γ和平面δ是否相交 若相交,交線是什么
【答案】　相交,交線是AB.
問題3:(不討論兩平面重合情況)除了這兩種情況外,是否還有其他情況
【答案】　沒有.
新知生成
兩個平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 平行 相交
圖示
表示法 α∥β α∩β=a
公共點個數(shù) 　0　個 　無數(shù)　個
新知運(yùn)用
例1　如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么兩個平面的位置關(guān)系是　　　　.
【答案】　平行或相交
【解析】　如圖所示,a α,b β,a∥b.
由圖形可知,這兩個平面可能相交,也可能平行.
【變式探究】
1.若本例將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”,則兩平面的位置關(guān)系如何
【解析】　如圖①②,a α,b β,a,b異面.
由圖①②知,這兩個平面可能平行,也可能相交.
2.若將條件改為平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行,那么α與β的關(guān)系是什么
【解析】　如圖①②,α內(nèi)都有無數(shù)條直線與平面β平行,
由圖①②知,平面α與平面β平行或相交.
【方法總結(jié)】　　1.平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法
(1)平面與平面相交的判斷,主要是以基本事實為依據(jù)找出一個交點.
(2)平面與平面平行的判斷,主要是證明兩個平面沒有公共點.
2.常見的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上、下底面平行.
(2)長方體、正方體的六個面中,三組相對面平行.
如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F分別為B'C',A'D'的中點,判斷平面ABB'A'與平面CDFE的位置關(guān)系,并說明理由.
【解析】　相交.理由如下:
在正方體ABCD-A'B'C'D'中,E為B'C'的中點,
所以B'E=BC,B'E∥BC,所以四邊形B'ECB為梯形,
所以EC與B'B不平行,所以延長CE與BB'必交于一點,設(shè)為交點H,
所以H∈EC,且H∈B'B,又B'B 平面ABB'A',CE 平面CDFE,
所以H∈平面ABB'A',H∈平面CDFE,所以H為平面ABB'A'與平面CDFE的公共點,
所以平面ABB'A'與平面CDFE相交.
探究2　平面與平面平行的判定
如何判斷桌子的桌面是否水平 工人師傅將水平儀在桌子上交叉放置兩次,如果水平儀的氣泡兩次都在中央,就能判斷桌面是水平的,否則桌面就不是水平的,這是為什么呢 (注:當(dāng)水平儀的氣泡居中時,水平儀所在的直線就是水平線)
問題1:情境中給出的判斷兩平面平行的方法是什么
【答案】　在一個平面內(nèi)找兩條相交直線分別平行于另一個平面即可.
問題2:若一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行嗎
【答案】　不一定,也可能相交.
問題3:若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行嗎
【答案】　不一定,也可能相交.
問題4:平面平行有傳遞性嗎
【答案】　有.若α,β,γ為三個不重合的平面,則α∥β,β∥γ α∥γ.
新知生成
平面與平面平行的判定定理
文字 語言 若一個平面內(nèi)的　兩條相交直線　與另一個平面平行,則這兩個平面平行
符號 語言 a∥β,b∥β,a∩b=P,a α,b α α∥β
圖形 語言
特別提醒:判定兩個平面平行與判定線面平行一樣,應(yīng)遵循“先找后作”的原則,即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線,若找不到再作輔助線.
新知運(yùn)用
例2　如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是平行四邊形,G,H分別是CE,CF的中點.
求證:平面BDGH∥平面AEF.
【解析】　在△CEF中,因為G,H分別是CE,CF的中點,
所以GH∥EF,
又因為GH 平面AEF,EF 平面AEF,所以GH∥平面AEF.
設(shè)AC∩BD=O,連接OH,在△ACF中,因為OA=OC,CH=HF,所以O(shè)H∥AF,
又因為OH 平面AEF,AF 平面AEF,
所以O(shè)H∥平面AEF.
因為OH∩GH=H,OH,GH 平面BDGH,
所以平面BDGH∥平面AEF.
【方法總結(jié)】　　平面與平面平行的判定方法
(1)定義法:證明兩個平面沒有公共點.(2)判定定理法:證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面.(3)轉(zhuǎn)化為線線平行:平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行,則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性:若α∥β,β∥γ,則α∥γ.
如圖,在四棱錐P-ABCD中,E為PA的中點,F為BC的中點,底面ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD交于點O.求證:平面EFO∥平面PCD.
【解析】　因為四邊形ABCD是平行四邊形,AC∩BD=O,
所以O(shè)為BD的中點.
又因為F為BC的中點,所以O(shè)F∥CD.
又OF 平面PCD,CD 平面PCD,
所以O(shè)F∥平面PCD.
因為O,E分別是AC,PA的中點,所以O(shè)E∥PC.
又OE 平面PCD,PC 平面PCD,
所以O(shè)E∥平面PCD.
因為OE 平面EFO,OF 平面EFO,且OE∩OF=O,
所以平面EFO∥平面PCD.
探究3　平面與平面平行的性質(zhì)
觀察長方體ABCD-A1B1C1D1的兩個面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.
問題1:平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎
【答案】　是的.
問題2:若m 平面ABCD,n 平面A1B1C1D1,則m∥n嗎
【答案】　不一定,也可能異面.
問題3:過B1C的平面交平面A1B1C1D1于B1C1,交平面ABCD于BC,則B1C1與BC是什么關(guān)系
【答案】　平行.
新知生成
平面與平面平行的性質(zhì)定理
(1)文字語言:兩個平面平行,如果一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線　平行　.
(2)符號語言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b 　a∥b　.
(3)圖形語言:
使用平面與平面平行的性質(zhì)定理時,下列三個條件缺一不可:
①兩個平面平行,即α∥β;
②第一個平面與第三個平面相交,即α∩γ=a;
③第二個平面與第三個平面也相交,即β∩γ=b.
新知運(yùn)用
例3　如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為梯形,AD∥BC,平面A1DCE與B1B交于點E.求證:EC∥A1D.
【解析】　因為BE∥AA1,AA1 平面AA1D,BE 平面AA1D,
所以BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD,AD 平面AA1D,BC 平面AA1D,
所以BC∥平面AA1D.
因為BE∩BC=B,BE 平面BCE,BC 平面BCE,
所以平面BCE∥平面AA1D.
又因為平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,所以EC∥A1D.
【方法總結(jié)】　　運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理時,應(yīng)先確定面面平行,再尋找過已知直線的平面與平面相交的交線,然后確定線線平行.在證明過程中應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)悟線線平行與面面平行的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.
如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB=AD=,CD=CB=1,AC=2,平面EAC⊥平面ABCD,平面ABE∩平面CDE=l.若M為線段AE的中點,求證:BM∥l.
【解析】　如圖,取AC的中點F,連接MF,BF,由AB=AD=,CD=CB=1,AC=2,
可得△ABC≌△ADC且AC2=AB2+BC2=AD2+DC2,所以AB⊥BC,AD⊥DC,所以∠ACB=∠ACD=60°,因為F為AC的中點,所以△BFC為正三角形,則∠BFC=∠ACD=60°,所以BF∥CD,又因為BF 平面CDE,CD 平面CDE,所以BF∥平面CDE,
在△ACE中,因為M,F分別為AE,AC的中點,所以MF∥EC,又因為MF 平面CDE,EC 平面CDE,所以MF∥平面CDE,又BF∩MF=F,BF,MF 平面BMF,所以平面BMF∥平面CDE,
又因為BM 平面BMF,所以BM∥平面CDE,又平面ABE∩平面CDE=l,且BM 平面ABE,所以BM∥l.
【隨堂檢測】
1.若a∥α,b∥β,α∥β,則a與b位置關(guān)系是(　　).
A.平行
B.異面
C.相交
D.平行或異面或相交
【答案】　D
【解析】　如圖①②③所示,a與b的關(guān)系分別是平行、異面、相交.
2.已知α,β是兩個不重合的平面,下列選項中,一定能得出平面α與平面β平行的是(　　).
A.平面α內(nèi)有一條直線與平面β平行
B.平面α內(nèi)有兩條直線與平面β平行
C.平面α內(nèi)有一條直線與平面β內(nèi)的一條直線平行
D.平面α與平面β不相交
【答案】　D
【解析】　選項A,C不正確,因為兩個平面可能相交;選項B不正確,因為平面α內(nèi)的這兩條直線必須相交才能得到平面α與平面β平行;選項D正確,因為兩個平面的位置關(guān)系只有相交與平行兩種.故選D.
3.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中點為P,過點A1作與截面PBC1平行的截面,則該截面的面積為　　　　.
【答案】　2
【解析】　過點A1與截面PBC1平行的截面為菱形A1MCN,如圖所示,其中M為AB的中點,N為D1C1的中點.
又∵M(jìn)N=2,A1C=2,
∴菱形A1MCN的面積S=×2×2=2.
4.如圖,在四面體ABCD中,E,F分別為棱AB,AC上的點,G為棱AD的中點,且平面EFG∥平面BCD.求證:BC=2EF.
【解析】　因為平面EFG∥平面BCD,
平面ABD∩平面EFG=EG,
平面ABD∩平面BCD=BD,
所以EG∥BD,
又G為AD的中點,所以E為AB的中點,
同理可得,F為AC的中點,
所以BC=2EF.
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