資源簡介

4.4 課時2 平面與平面垂直的判定
【學習目標】
1.理解二面角的有關概念,會作二面角的平面角,能求簡單二面角平面角的大小.(邏輯推理、直觀想象)
2.了解面面垂直的定義,掌握面面垂直的判定定理,初步學會用定理證明垂直關系.(邏輯推理、直觀想象)
3.熟悉線線垂直、線面垂直的轉化.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.二面角是怎樣定義的 如何表示二面角
【答案】　從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角.可用二面角的平面角表示.
2.面面垂直是怎樣定義的
【答案】　兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.
3.面面垂直的判定定理的內容是什么
【答案】　如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面互相垂直.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系. (　　)
(2)組成二面角的平面角的兩邊所在直線確定的平面與二面角的棱垂直. (　　)
(3)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的任意一條直線,則α⊥β. (　　)
(4)若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則該直線也垂直于另一平面. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.在長方體ABCD-A1B1C1D1的六個面中,與平面ABCD垂直的面有(　　).
A.1個 B.3個 C.4個 D.5個
【答案】　C
【解析】　與平面ABCD垂直的平面有平面ABB1A1,平面BCC1B1,平面CDD1C1,平面DAA1D1,共4個.
3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是　　　　.
【答案】　45°
【解析】　∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥AD,AB⊥AD1,
∴∠D1AD為二面角D1-AB-D的平面角.易知∠D1AD=45°.
【合作探究】
探究1　二面角的概念
隨手打開一本書,發現每兩頁書之間所在的平面都形成一個角度;修水壩時,為了使水壩堅固耐用,必須使水壩面與水平面成適當的角度.
問題1:根據上述問題,你發現兩平面形成的角有何特點
【答案】　可以是銳角、鈍角、直角、平角.
問題2:兩平面所成角θ的范圍是什么
【答案】　0°≤θ≤180°.
問題3:二面角的平面角的大小,是否與角的頂點在棱上的位置有關
【答案】　無關.如圖,根據等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關,只與二面角的大小有關.
新知生成
1.二面角的定義:從一條直線出發的　兩個半平面　所組成的圖形.
2.相關概念:①這條直線叫作二面角的　棱　;②兩個半平面叫作二面角的　面　.
3.二面角的畫法:
4.二面角的記法:二面角　α-l-β　或　α-AB-β　或　P-l-Q　或P-AB-Q.
5.二面角的平面角:若O　∈　l,OA　 　α,OB　 　β,OA　⊥　l,OB　⊥　l,則二面角α-l-β的平面角是　∠AOB　.
特別提醒:(1)二面角是一個空間圖形,而二面角的平面角是平面圖形,二面角的大小通過其平面角的大小表示,體現了由空間圖形向平面圖形轉化的思想;(2)二面角的平面角的定義是兩條“射線”的夾角,不是兩條直線的夾角,因此,二面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.
新知運用
例1　如圖,已知三棱錐A-BCD的各棱長均為2,求二面角A-CD-B的余弦值.
方法指導　先根據二面角的定義找出二面角的平面角,然后解三角形,求二面角的余弦值.
【解析】　如圖,取CD的中點M,連接AM,BM,則AM⊥CD,BM⊥CD.
由二面角的定義可知∠AMB為二面角A-CD-B的平面角.
設H是△BCD的重心,
則AH⊥平面BCD,且點H在BM上.
在Rt△AMH中,AM=×2=,HM=×2×=,則cos∠AMB==,
即二面角A-CD-B的余弦值為.
【方法總結】　　求二面角的大小關鍵是作出平面角,求二面角大小的步驟:(1)找出這個平面角;(2)證明這個角是二面角的平面角;(3)作出這個角所在的三角形,解這個三角形,求出角的大小.
如圖,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面ABD與平面BCD所成二面角的大小.
【解析】　因為AC⊥平面BCD,BD 平面BCD,
所以BD⊥AC.
又因為BD⊥CD,AC∩CD=C,
所以BD⊥平面ACD.
因為AD 平面ACD,所以AD⊥BD,
所以∠ADC為平面ABD與平面BCD所成二面角的平面角.
在Rt△ACD中,因為AC=AD,所以∠ADC=30°.
探究2　平面與平面垂直的判定
建筑工地上,泥水匠砌墻時,為了保證墻面與地面垂直,泥水匠常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線,再沿著該線砌墻,如圖,這樣就能保證墻面與地面垂直.
問題1:由上述可知,當直線與平面垂直時,過此直線可作無數個平面,那么這些平面與已知平面有何關系
【答案】　垂直.
問題2:若要判斷兩個平面是否垂直,根據上述問題能否得出一個方法
【答案】　可以,只需在一個平面內找一條直線垂直于另一個平面即可.
新知生成
平面與平面垂直的判定定理
(1)文字語言:若一個平面過另一個平面的　垂線　,則這兩個平面垂直.
(2)符號語言:a α,　a⊥β　 α⊥β.
(3)圖形語言:
特別提醒:平面與平面垂直的判定定理告訴我們,證明兩個平面垂直的問題可以轉化為證明直線與平面垂直的問題,進而轉化為證明線線垂直的問題.通常我們將其記為“若線面垂直,則面面垂直”.
新知運用
例2　如圖,四邊形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,G,F分別為PB,PC的中點,點E在MB上.求證:平面EFG⊥平面PDC.
方法指導　要證平面EFG⊥平面PDC,只需證明GF⊥平面PDC,又GF∥BC,所以只需證明BC⊥平面PDC即可.
【解析】　∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA,
∴PD⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD,∴PD⊥BC.
∵四邊形ABCD為正方形,∴BC⊥DC.
又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.
在△PBC中,G,F分別為PB,PC的中點,
∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.
又GF 平面EFG,
∴平面EFG⊥平面PDC.
【方法總結】　　證明面面垂直的方法
(1)定義法:證明兩個半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法:在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直,即把問題轉化為“線面垂直”.
(3)性質法:兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面,則另一個也垂直于此平面.
如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,點E在棱PB上.求證:平面AEC⊥平面PDB.
【解析】　∵四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
∴AC⊥BD,AC⊥PD.
又∵PD,BD 平面PDB,PD∩BD=D,
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC 平面AEC,
∴平面AEC⊥平面PDB.
【隨堂檢測】
1.給出下列命題:
①兩個相交平面組成的圖形叫作二面角;
②異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補;
③二面角的平面角是從棱上一點出發,分別在兩個平面內作射線所成的角;
④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系.
其中正確的是(　　).
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
【答案】　B
【解析】　由二面角的定義知,①錯誤;a,b分別垂直于兩個平面,則a,b都垂直于二面角的棱,故②正確;③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱,故③錯誤;由定義知④正確.故選B.
2.在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD為矩形,則下列結論中錯誤的是(　　).
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
【答案】　C
【解析】　由面面垂直的判定定理知,平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,故ABD正確.
3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小為　　　　.
【答案】　45°
【解析】　∵AB⊥BC,AB⊥BC1,∴∠C1BC為二面角C1-AB-C的平面角,大小為45°.
4.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.證明:平面AB1C⊥平面A1BC1.
【解析】　因為四邊形BCC1B1是菱形,
所以B1C⊥BC1,
又B1C⊥A1B,且BC1∩A1B=B,
所以B1C⊥平面A1BC1,
又因為B1C 平面AB1C,所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
24.4 課時2 平面與平面垂直的判定
【學習目標】
1.理解二面角的有關概念,會作二面角的平面角,能求簡單二面角平面角的大小.(邏輯推理、直觀想象)
2.了解面面垂直的定義,掌握面面垂直的判定定理,初步學會用定理證明垂直關系.(邏輯推理、直觀想象)
3.熟悉線線垂直、線面垂直的轉化.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.二面角是怎樣定義的 如何表示二面角
2.面面垂直是怎樣定義的
3.面面垂直的判定定理的內容是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系. (　　)
(2)組成二面角的平面角的兩邊所在直線確定的平面與二面角的棱垂直. (　　)
(3)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的任意一條直線,則α⊥β. (　　)
(4)若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則該直線也垂直于另一平面. (　　)
2.在長方體ABCD-A1B1C1D1的六個面中,與平面ABCD垂直的面有(　　).
A.1個 B.3個 C.4個 D.5個
3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是　　　　.
【合作探究】
探究1　二面角的概念
隨手打開一本書,發現每兩頁書之間所在的平面都形成一個角度;修水壩時,為了使水壩堅固耐用,必須使水壩面與水平面成適當的角度.
問題1:根據上述問題,你發現兩平面形成的角有何特點
問題2:兩平面所成角θ的范圍是什么
問題3:二面角的平面角的大小,是否與角的頂點在棱上的位置有關
新知生成
1.二面角的定義:從一條直線出發的　兩個半平面　所組成的圖形.
2.相關概念:①這條直線叫作二面角的　棱　;②兩個半平面叫作二面角的　面　.
3.二面角的畫法:
4.二面角的記法:二面角　α-l-β　或　α-AB-β　或　P-l-Q　或P-AB-Q.
5.二面角的平面角:若O　∈　l,OA　 　α,OB　 　β,OA　⊥　l,OB　⊥　l,則二面角α-l-β的平面角是　∠AOB　.
特別提醒:(1)二面角是一個空間圖形,而二面角的平面角是平面圖形,二面角的大小通過其平面角的大小表示,體現了由空間圖形向平面圖形轉化的思想;(2)二面角的平面角的定義是兩條“射線”的夾角,不是兩條直線的夾角,因此,二面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.
新知運用
例1　如圖,已知三棱錐A-BCD的各棱長均為2,求二面角A-CD-B的余弦值.
方法指導　先根據二面角的定義找出二面角的平面角,然后解三角形,求二面角的余弦值.
【方法總結】　　求二面角的大小關鍵是作出平面角,求二面角大小的步驟:(1)找出這個平面角;(2)證明這個角是二面角的平面角;(3)作出這個角所在的三角形,解這個三角形,求出角的大小.
如圖,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面ABD與平面BCD所成二面角的大小.
探究2　平面與平面垂直的判定
建筑工地上,泥水匠砌墻時,為了保證墻面與地面垂直,泥水匠常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線,再沿著該線砌墻,如圖,這樣就能保證墻面與地面垂直.
問題1:由上述可知,當直線與平面垂直時,過此直線可作無數個平面,那么這些平面與已知平面有何關系
問題2:若要判斷兩個平面是否垂直,根據上述問題能否得出一個方法
新知生成
平面與平面垂直的判定定理
(1)文字語言:若一個平面過另一個平面的　垂線　,則這兩個平面垂直.
(2)符號語言:a α,　a⊥β　 α⊥β.
(3)圖形語言:
特別提醒:平面與平面垂直的判定定理告訴我們,證明兩個平面垂直的問題可以轉化為證明直線與平面垂直的問題,進而轉化為證明線線垂直的問題.通常我們將其記為“若線面垂直,則面面垂直”.
新知運用
例2　如圖,四邊形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,G,F分別為PB,PC的中點,點E在MB上.求證:平面EFG⊥平面PDC.
方法指導　要證平面EFG⊥平面PDC,只需證明GF⊥平面PDC,又GF∥BC,所以只需證明BC⊥平面PDC即可.
【方法總結】　　證明面面垂直的方法
(1)定義法:證明兩個半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法:在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直,即把問題轉化為“線面垂直”.
(3)性質法:兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面,則另一個也垂直于此平面.
如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,點E在棱PB上.求證:平面AEC⊥平面PDB.
【隨堂檢測】
1.給出下列命題:
①兩個相交平面組成的圖形叫作二面角;
②異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補;
③二面角的平面角是從棱上一點出發,分別在兩個平面內作射線所成的角;
④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系.
其中正確的是(　　).
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
2.在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD為矩形,則下列結論中錯誤的是(　　).
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小為　　　　.
4.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.證明:平面AB1C⊥平面A1BC1.
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