資源簡介

4.4 課時3 平面與平面垂直的性質
【學習目標】
1.掌握空間中面面垂直的性質定理.(邏輯推理、直觀想象)
2.能夠運用面面垂直的性質定理證明一些簡單的問題.(邏輯推理、直觀想象)
3.理解面面垂直的判定定理和性質定理之間的相互聯系.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.如果α⊥β,那么α內的直線必垂直于β內的無數條直線,這句話正確嗎
【答案】　正確.
2.黑板所在平面與地面所在平面垂直,你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直
【答案】　能.容易發現墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直,因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線,則所畫直線必與地面垂直.
3.垂直于同一個平面的兩個平面平行嗎
【答案】　不一定.可能平行也可能相交.
4.兩個平面垂直,其中一個平面內的直線垂直于另一個平面嗎
【答案】　不一定.只有在其中一個平面內垂直于兩平面的交線的直線才垂直于另一個平面.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若平面α⊥平面β,則平面α內所有直線都垂直于平面β. (　　)
(2)若平面α⊥平面β,則平面α內一定存在直線平行于平面β. (　　)
(3)若平面α不垂直于平面β,則平面α內一定不存在直線垂直于平面β. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.已知平面α⊥平面β,直線l⊥平面α,則l與β的位置關系是(　　).
A.l⊥β B.l∥β
C.l β D.l∥β或l β
【答案】　D
【解析】　如圖,l∥β或l β.故選D.
3.平面α⊥平面β,α∩β=l,n β,n⊥l,直線m⊥α,則直線m與n的位置關系是　　　　.
【答案】　平行
【解析】　因為α⊥β,α∩β=l,n β,n⊥l,所以n⊥α.
又m⊥α,所以m∥n.
【合作探究】
探究1　平面與平面垂直的性質
教室內的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直.
問題1:在黑板上任意畫的一條線與地面垂直嗎
【答案】　不一定,也可能平行、相交(不垂直).
問題2:怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直
【答案】　只要保證所畫的線與兩面的交線垂直即可.
問題3:如果兩個平面垂直,那么一個平面內的直線(除交線外)與另一個平面有什么位置關系呢 如果該直線和它們的交線垂直,那么這條直線和另一個平面垂直嗎
【答案】　平行或相交;如果該直線和交線垂直,那么這條直線和另一個平面垂直.
新知生成
平面與平面垂直的性質定理
文字 語言 兩個平面垂直,若　一個平面內　有一條直線垂直于這兩個平面的　交線　,則這條直線與另一個平面　垂直　
符號 語言 a⊥β
圖形 語言
作用 ①面面垂直 　線面　垂直; ②作面的垂線
新知運用
一、面面垂直性質的應用
例1　如圖所示,P是四邊形ABCD所在平面外的一點,四邊形ABCD是∠DAB=60°的菱形,側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G為AD的中點,求證:BG⊥平面PAD.
(2)求證:AD⊥PB.
方法指導　(1)要證明BG⊥平面PAD,只需證明BG⊥AD,然后利用面面垂直的性質得出結論;(2)要證AD⊥PB,只需證明AD⊥平面PBG即可.
【解析】　(1)如圖,連接PG,BD,
∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB=60°,∴△ABD是正三角形.
∵G為AD的中點,∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG 平面ABCD,
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD,∵△PAD為正三角形,G為AD的中點,∴PG⊥AD.
又PG∩BG=G,∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
【方法總結】　　證明線面垂直,一種方法是利用線面垂直的判定定理,另一種方法是利用面面垂直的性質定理.本題已知面面垂直,故可考慮面面垂直的性質定理.
利用面面垂直的性質定理證明線面垂直的問題時,要注意以下三點:(1)兩個平面垂直;(2)直線必須在其中一個平面內;(3)直線必須垂直于兩個平面的交線.
如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求證:BC⊥AB.
【解析】　如圖,在平面PAB內,作AD⊥PB于點D.
∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,AD 平面PAB,
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
∴PA⊥BC.
又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB,∴BC⊥AB.
二、與面面垂直有關的計算
例2　如圖所示,平面α⊥平面β,在α與β的交線l上取線段AB=4 cm,AC,BD分別在平面α,平面β內,AC⊥l,BD⊥l,AC=3 cm,BD=12 cm,求線段CD的長.
方法指導　要求CD的長,由BD⊥l,α⊥β易知△BCD
為直角三角形,已知BD的長,只要知道BC的長即可.由AC⊥l知△ABC為直角三角形,從而可解.
【解析】　∵AC⊥l,AC=3 cm,AB=4 cm,
∴BC=5 cm.
∵BD⊥l,α∩β=l,α⊥β,BD β,
∴BD⊥α.
又BC α,∴BD⊥BC.
在Rt△BDC中,DC==13 cm.
【方法總結】　　與面面垂直有關的計算問題解決方法:所給條件中的面面垂直首先轉化為線面垂直,然后轉化為線線垂直,往往把計算問題歸結為一個直角三角形中的計算問題.
如圖所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,直線AB與平面α,β所成的角分別為45°,30°,過點A,B分別作兩平面交線的垂線,垂足為A',B',且AB=12,求A'B'的長.
【解析】　連接A'B,AB'(圖略).
在△AA'B中,∠AA'B=90°,∠ABA'=30°,AB=12,所以A'B=6.
在△ABB'中,∠BB'A=90°,∠BAB'=45°,AB=12,所以BB'=6.
在△A'B'B中,∠A'B'B=90°,A'B=6,BB'=6,所以A'B'=6.
探究2　線線、線面、面面垂直的綜合應用
例3　如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點.求證:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【解析】　(1)因為平面PAD⊥底面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因為AB∥CD,CD=2AB,E為CD的中點,
所以AB∥DE,且AB=DE,
所以四邊形ABED為平行四邊形,所以BE∥AD.
又因為BE 平面PAD,AD 平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因為AB⊥AD,且四邊形ABED為平行四邊形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD.
又AD∩PA=A,AD,PA 平面PAD,所以CD⊥平面PAD.又PD 平面PAD,所以CD⊥PD.
因為E和F分別是CD和PC的中點,所以PD∥EF,
所以CD⊥EF.又EF∩BE=E,EF,BE 平面BEF,所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
【方法總結】　　空間中的垂直關系有線線垂直、線面垂直、面面垂直,這三種關系不是孤立的,而是相互關聯的.它們之間的轉化關系如下:
線線垂直線面垂直面面垂直
如圖,在三棱錐P-ABC中,△PBC為等邊三角形,O為BC的中點,AC⊥PB,平面PBC⊥平面ABC.
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC.
(2)已知E為PO的中點,F是AB上的點,AF=λAB.若EF∥平面PAC,求λ的值.
【解析】　(1)∵△PBC為等邊三角形,O為BC的中點,
∴PO⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABC,平面PBC∩平面ABC=BC,
∴PO⊥平面ABC.
∵AC 平面ABC,∴PO⊥AC.
∵AC⊥PB,PO∩PB=P,PO,PB 平面PBC,
∴AC⊥平面PBC.
∵AC 平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBC.
(2)如圖,取CO中點G,連接EG,FG.
∵E為PO的中點,∴EG∥PC.
∵PC 平面PAC,EG 平面PAC,
∴EG∥平面PAC.
∵F是AB上的點,AF=λAB,EF∥平面PAC,又EG∩EF=E,且EG,EF 平面EFG,
∴平面EFG∥平面PAC,
又平面EFG∩平面ABC=FG,平面PAC∩平面ABC=AC,
∴FG∥AC,∴λ===.
【隨堂檢測】
1.若α⊥β,α∩β=l,點P∈α,點P l,則下列說法中正確的為(　　).
①過點P且垂直于l的平面垂直于β;
②過點P且垂直于l的直線垂直于β;
③過點P且垂直于α的直線平行于β;
④過點P且垂直于β的直線在α內.
A.①③ B.②④
C.①②④ D.①③④
【答案】　D
【解析】　當過點P垂直于l的直線不在α內時,l與β不垂直,故②不正確;①③④正確.
2.已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n α,要使n⊥β,則應增加的條件是　　　　.
【答案】　n⊥m
【解析】　根據平面與平面垂直的性質定理,應增加條件n⊥m,才能使n⊥β.
3.若構成教室墻角的三個墻面記為α,β,γ,交線記為BA,BC,BD,教室內一點P到三墻面α,β,γ的距離分別為3 m,4 m,1 m,則點P與墻角B的距離為　　　　m.
【答案】　
【解析】　過點P向各個面作垂線,構成以BP為體對角線的長方體,則BP==(m).
4.如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,側面SDC⊥底面ABCD,求證:平面SCD⊥平面SBC.
【解析】　因為底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD,
平面SDC∩平面ABCD=CD,BC 平面ABCD,
所以BC⊥平面SCD.
又因為BC 平面SBC,
所以平面SCD⊥平面SBC.
24.4 課時3 平面與平面垂直的性質
【學習目標】
1.掌握空間中面面垂直的性質定理.(邏輯推理、直觀想象)
2.能夠運用面面垂直的性質定理證明一些簡單的問題.(邏輯推理、直觀想象)
3.理解面面垂直的判定定理和性質定理之間的相互聯系.(邏輯推理、直觀想象)
【自主預習】
1.如果α⊥β,那么α內的直線必垂直于β內的無數條直線,這句話正確嗎
2.黑板所在平面與地面所在平面垂直,你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直
3.垂直于同一個平面的兩個平面平行嗎
4.兩個平面垂直,其中一個平面內的直線垂直于另一個平面嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若平面α⊥平面β,則平面α內所有直線都垂直于平面β. (　　)
(2)若平面α⊥平面β,則平面α內一定存在直線平行于平面β. (　　)
(3)若平面α不垂直于平面β,則平面α內一定不存在直線垂直于平面β. (　　)
2.已知平面α⊥平面β,直線l⊥平面α,則l與β的位置關系是(　　).
A.l⊥β B.l∥β
C.l β D.l∥β或l β
3.平面α⊥平面β,α∩β=l,n β,n⊥l,直線m⊥α,則直線m與n的位置關系是　　　　.
【合作探究】
探究1　平面與平面垂直的性質
教室內的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直.
問題1:在黑板上任意畫的一條線與地面垂直嗎
問題2:怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直
問題3:如果兩個平面垂直,那么一個平面內的直線(除交線外)與另一個平面有什么位置關系呢 如果該直線和它們的交線垂直,那么這條直線和另一個平面垂直嗎
新知生成
平面與平面垂直的性質定理
文字 語言 兩個平面垂直,若　一個平面內　有一條直線垂直于這兩個平面的　交線　,則這條直線與另一個平面　垂直　
符號 語言 a⊥β
圖形 語言
作用 ①面面垂直 　線面　垂直; ②作面的垂線
新知運用
一、面面垂直性質的應用
例1　如圖所示,P是四邊形ABCD所在平面外的一點,四邊形ABCD是∠DAB=60°的菱形,側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G為AD的中點,求證:BG⊥平面PAD.
(2)求證:AD⊥PB.
方法指導　(1)要證明BG⊥平面PAD,只需證明BG⊥AD,然后利用面面垂直的性質得出結論;(2)要證AD⊥PB,只需證明AD⊥平面PBG即可.
【方法總結】　　證明線面垂直,一種方法是利用線面垂直的判定定理,另一種方法是利用面面垂直的性質定理.本題已知面面垂直,故可考慮面面垂直的性質定理.
利用面面垂直的性質定理證明線面垂直的問題時,要注意以下三點:(1)兩個平面垂直;(2)直線必須在其中一個平面內;(3)直線必須垂直于兩個平面的交線.
如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求證:BC⊥AB.
二、與面面垂直有關的計算
例2　如圖所示,平面α⊥平面β,在α與β的交線l上取線段AB=4 cm,AC,BD分別在平面α,平面β內,AC⊥l,BD⊥l,AC=3 cm,BD=12 cm,求線段CD的長.
方法指導　要求CD的長,由BD⊥l,α⊥β易知△BCD
為直角三角形,已知BD的長,只要知道BC的長即可.由AC⊥l知△ABC為直角三角形,從而可解.
【方法總結】　　與面面垂直有關的計算問題解決方法:所給條件中的面面垂直首先轉化為線面垂直,然后轉化為線線垂直,往往把計算問題歸結為一個直角三角形中的計算問題.
如圖所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,直線AB與平面α,β所成的角分別為45°,30°,過點A,B分別作兩平面交線的垂線,垂足為A',B',且AB=12,求A'B'的長.
探究2　線線、線面、面面垂直的綜合應用
例3　如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點.求證:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【方法總結】　　空間中的垂直關系有線線垂直、線面垂直、面面垂直,這三種關系不是孤立的,而是相互關聯的.它們之間的轉化關系如下:
線線垂直線面垂直面面垂直
如圖,在三棱錐P-ABC中,△PBC為等邊三角形,O為BC的中點,AC⊥PB,平面PBC⊥平面ABC.
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC.
(2)已知E為PO的中點,F是AB上的點,AF=λAB.若EF∥平面PAC,求λ的值.
【隨堂檢測】
1.若α⊥β,α∩β=l,點P∈α,點P l,則下列說法中正確的為(　　).
①過點P且垂直于l的平面垂直于β;
②過點P且垂直于l的直線垂直于β;
③過點P且垂直于α的直線平行于β;
④過點P且垂直于β的直線在α內.
A.①③ B.②④
C.①②④ D.①③④
2.已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n α,要使n⊥β,則應增加的條件是　　　　.
3.若構成教室墻角的三個墻面記為α,β,γ,交線記為BA,BC,BD,教室內一點P到三墻面α,β,γ的距離分別為3 m,4 m,1 m,則點P與墻角B的距離為　　　　m.
4.如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,側面SDC⊥底面ABCD,求證:平面SCD⊥平面SBC.
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