資源簡介

4.5 課時1 幾種簡單幾何體的表面積
【學習目標】
1.通過對柱體、錐體、臺體、球的研究,掌握柱體、錐體、臺體、球的表面積的求法.(直觀想象、數學運算)
2.了解柱體、錐體、臺體、球的表面積計算公式.(直觀想象、數學運算)
3.能運用柱體、錐體、臺體、球的表面積公式進行計算和解決有關實際問題.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
被譽為世界七大奇跡之首的胡夫金字塔一直是世界上最高的建筑物,呈正四棱錐形.在四千多年前生產工具很落后的中古時代,埃及人是怎樣采集、搬運數量如此之多,每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔的 這真是一個十分難解的謎.
1.如果已知金字塔的底面邊長和側棱長,如何計算胡夫金字塔的側面積
【答案】　胡夫金字塔的四個側面是等腰三角形,底邊和側棱長已知,可以求出側面等腰三角形的高,然后根據三角形的面積公式求解即可.
2.怎樣計算柱體、錐體、臺體的表面積
【答案】　柱體、錐體、臺體的表面積S表等于該幾何體的側面積S側與底面積S底的和,即S表=S側+S底.
3.球的表面積如何計算
【答案】　S球=4πR2.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖的面積就是它們的表面積. (　　)
(2)幾何體的平面展開方法可能不同,但其表面積唯一確定. (　　)
(3)把柱體、錐體、臺體的側面無論沿哪一條側棱或母線剪開,所得到的展開圖形狀都相同,面積都相等. (　　)
(4)空間幾何體的側面積即是表面積. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　 (4)×
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積之比為(　　).
A.1∶1 B.1∶
C.1∶ D.1∶2
【答案】　C
【解析】　設正方體的棱長為a,由題意知,三棱錐的各面都是正三角形,其表面積為4=4××(a)2=2a2,正方體的表面積為6a2,所以三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為2a2∶6a2=1∶.
3.已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形,側面是腰長為8的等腰梯形,則該四棱臺的表面積為　　　　.
【答案】　80+48
【解析】　如圖所示,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,過點B1作B1F⊥BC,垂足為F.
在Rt△B1FB中,BF=×(8-4)=2,B1B=8,
所以B1F==2,
所以=×(8+4)×2=12,
則四棱臺的側面積S側=4×12=48,
所以S表=48+4×4+8×8=80+48.
【合作探究】
探究1　棱柱的表面積
問題1:棱柱的側面展開圖是什么
【答案】　棱柱的側面展開圖是平行四邊形,一邊是棱柱的側棱,另一邊等于棱柱的底面周長,如圖所示.
問題2:如果是直棱柱,其側面展開圖是什么圖形
【答案】　側面展開圖是矩形.
問題3:你能求出直棱柱的表面積嗎
【答案】　直棱柱的表面積=直棱柱的側面面積+兩底面面積.
新知生成
1.直棱柱
S直棱柱側=Ch,其中C為直棱柱的底面周長,h為直棱柱的高.
2.表面積
一般地,表面積=側面積+底面積.
新知運用
例1　已知在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是邊長為2的等邊三角形,側棱長為2,其中一條側棱AA1與底面△ABC兩邊AB,AC所在直線的夾角為45°,則該斜三棱柱的側面積為　　　　.
方法指導　首先證得CC1⊥B1C1,然后分別求出三個側面的面積再相加即可得出結果.
【答案】　4+4
【解析】　過點B1作B1M⊥AA1于點M,連接C1M,如圖所示,因為∠C1A1M=∠B1A1M,所以△C1A1M≌△B1A1M,
所以∠C1MA1=∠B1MA1=90°,即C1M⊥AA1,
又因為C1M∩B1M=M,所以AA1⊥平面B1C1M,
又因為B1C1 平面B1C1M,所以AA1⊥B1C1,
又因為AA1∥CC1,所以CC1⊥B1C1,
故該斜三棱柱的側面積為2×2×+2×2=4+4.
【方法總結】　　求棱柱的表面積的方法:(1)對于直棱柱,可以直接利用公式求解;(2)對于斜棱柱,可將其展開,分別求出各個面的面積,再相加.
現有一個底面是菱形的直四棱柱,它的體對角線長分別為9和15,高是5,求該直四棱柱的表面積.
【解析】　如圖,設底面對角線AC=a,BD=b,交點為O,體對角線A1C=15,B1D=9,
∴a2+52=152,b2+52=92,
解得a=10,b=2,
∵該直四棱柱的底面是菱形,
∴該直四棱柱的底面積為×10×2=20,
又AB2=+===64,
∴AB=8,
∴該直四棱柱的側面積S=4×8×5=160,
故該直四棱柱的表面積為160+40.
探究2　棱錐的表面積
問題1:三棱錐的展開圖是什么
【答案】　三棱錐的展開圖是四個三角形,如圖所示.
問題2:已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為6,點P到底面ABC的距離為3,如何求該三棱錐的表面積
【答案】　由題意可知底面三角形的中心到底面三角形的邊的距離為××6=,
所以正三棱錐側面等腰三角形的高為=2,
所以這個正三棱錐的側面積為3××6×2=18,正三棱錐的底面積為×62×=9,
所以正三棱錐的表面積為18+9=27.
問題3:已知如圖所示的正棱錐,如何求它的側面積
【答案】　S正棱錐側=Ch',其中C為正棱錐的底面周長,h'為側面等腰三角形的高.
新知生成
S正棱錐側=Ch',其中C為正棱錐的底面周長,h'為側面等腰三角形的高.
新知運用
例2　法國盧浮宮玻璃金字塔外表呈正四棱錐形狀(如圖所示),已知塔高21 m,底寬34 m,則塔身的表面積(精確到1 m2)約是(　　).(參考數據:≈27,342=1156)
A.3674 m2 B.2993 m2
C.1836 m2 D.1682 m2
方法指導　由題意可得正四棱錐的底面邊長與高,代入棱錐的表面積公式求解.
【答案】　C
【解析】　如圖,在正四棱錐P-ABCD中,PO⊥底面ABCD,PO=21 m,AB=34 m,
則AO=AB=17 m,所以AP== (m),
作PE⊥AB,則PE== (m),
所以該塔身的表面積S=4×AB×PE=68≈1836 (m2),故選C.
【方法總結】　　正棱錐的側面是等腰三角形,只要弄清楚相對應的元素,求解就會很簡單.
若一個正四棱錐的底面邊長為2,高為,則該正四棱錐的表面積為(　　).
A.8 B.12
C.16 D.20
【答案】　B【解析】　如圖所示,在正四棱錐P-ABCD中,設點P在底面ABCD的射影為點O,則O為AC的中點,且四棱錐P-ABCD的高PO=,
所以AO=AB=,PB=PA==,
取AB的中點E,連接PE,則PE⊥AB,且PE==2,
所以S△PAB=AB·PE=2,
故正四棱錐P-ABCD的表面積S=4×2+22=12.
探究3　棱臺的表面積
“李白斗酒詩百篇,長安市上酒家眠”,本詩句中的“斗”的本義是指盛酒的器具,后又作為計量糧食的工具.某數學興趣小組利用相關材料制作了一個如圖所示的正四棱臺來模擬“斗”,用它研究“斗”的相關幾何性質.
問題1:你能畫出這個“斗”的展開圖嗎
【答案】　這個“斗”是一個正四棱臺,其展開圖如圖所示.
問題2:棱臺的側面展開圖是由什么構成的 如何計算它的表面積
【答案】　棱臺的側面展開圖是由若干個梯形組成的;表面積是上、下底面面積與側面展開圖的面積的和.
問題3:若該四棱臺的上、下底面的邊長分別是2,4,高為1,你能求出該四棱臺的表面積嗎
【答案】　根據題意可知,該四棱臺的側面都是上底邊長為2,下底邊長為4的等腰梯形,
所以側面等腰梯形的高為h'==,則一個等腰梯形的面積為(2+4)××=3,上、下底面面積分別為2×2=4,4×4=16,所以該四棱臺的表面積為4+16+3×4=20+12.
新知生成
S正棱臺側=(C+C')h',其中C,C'分別為棱臺的上、下底面周長,h'為棱臺側面的高.
新知運用
例3　木升子是一種民間稱量或盛裝糧食的工具(如圖所示),呈正棱臺形,一般由四塊梯形木和一塊正方形木組成,其上口是一個正方形,底面是一個封口較小的正方形.現有一木升子(厚度忽略不計),其上口周長為52 cm,底面周長為40 cm,側面等腰梯形的腰長為8 cm,則該木升子的側面積約為(　　).(結果精確到0.1 cm2,參考數據:≈15.72)
A.90.4 cm2
B.180.8 cm2
C.361.6 cm2
D.368.0 cm2
方法指導　先求側面梯形的高,即可求出該木升子的側面積.
【答案】　C
【解析】　由題意可得該木升子上口邊長為13 cm,底面邊長為10 cm,故側面等腰梯形的高h==(cm),所以該木升子的側面積S=4×≈361.6(cm2),故選C.
【方法總結】　　正棱臺的側面是等腰梯形,因而對正棱臺,需要構造直角梯形或等腰梯形來求解.
某校高一年級學生進行創客活動,利用3D打印技術制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱臺ABCD-EFGH后所得的幾何體,其中AB=2EF=2BF,AB=BC=6cm,AA1=4 cm,為增強其觀賞性和耐用性,現在該模型表面鍍上一層金屬膜,每平方厘米需要金屬2 mg,不考慮損耗,所需金屬膜的質量為　　　　mg.
【答案】　282+54
【解析】　由題意知,該幾何體側面4個面的面積和為4×4×6=96(cm2),底面積為6×6=36(cm2),正方形EFGH的面積為3×3=9(cm2).
因為梯形ABFE的高為=(cm),
所以正四棱臺ABCD-EFGH的側面積為4××(3+6)×=27(cm2),
故該模型表面積為96+36+9+27=141+27(cm2).
故所需金屬膜的質量為2×(141+27)=282+54(mg).
探究4　球的表面積
問題1:球的表面積是由什么確定的
【答案】　球的表面積由球的半徑R確定.
問題2:正方體的外接球與內切球的表面積之比是多少
【答案】　設正方體的外接球的半徑為R,內切球的半徑為r,正方體的棱長為1,
則正方體的外接球的直徑為正方體的對角線長,即2R=,所以R=,
正方體內切球的直徑為正方體的棱長,即2r=1,即r=,所以=,
故正方體的外接球與內切球的表面積之比為==3.
新知生成
設球的半徑為R,則球的表面積S球=4πR2,即球的表面積等于它的大圓面積的　4　倍.
新知運用 例4　蹴鞠(如圖所示),又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等,蹴有用腳蹴、踢的含義,鞠最早系外包皮革、內實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動,類似今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠已作為非物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家非物質文化遺產名錄.已知某蹴鞠(近似看作球體)的表面上有四個點S,A,B,C,滿足S-ABC為正三棱錐,M是SC的中點,且AM⊥SB,側棱SA=1,則該蹴鞠的表面積為(　　).
A.3π B.6π
C.12π D.16π
方法指導　若∠ASB=θ,N為BC的中點,則AM⊥MN,再應用余弦定理、勾股定理求得θ=,即S-ABC為直三棱錐,即可求外接球的半徑,進而求表面積.
【答案】　A
【解析】　如圖,若N為BC的中點,則MN∥SB,
又AM⊥SB,∴AM⊥MN,
又S-ABC為正三棱錐且側棱SA=1,
∴MN=,AN=AB,
若∠ASB=θ(0<θ<π),則AM2=-cos θ,AB2=2-2cos θ,
在Rt△AMN中,由AM2+MN2=AN2,即-cos θ=(2-2cos θ),得cos θ=0,又0<θ<π,∴θ=,
即正三棱錐S-ABC三條側棱兩兩互相垂直,易得外接球的半徑R=,
∴該蹴鞠的表面積為4πR2=3π,故選A.
【方法總結】　　求球的表面積,關鍵是求球的半徑,同時要注意球的表面積是關于半徑平方的函數.
《九章算術——商功》中有這樣一段話:“斜解立方,得兩塹堵(qiàn dǔ),斜解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑(biē nào).”這里所謂的“鱉臑”,就是在對長方體進行分割時所產生的四個面都為直角三角形的三棱錐.已知三棱錐A-BCD是一個“鱉臑”,AB⊥平面BCD,AC⊥CD,且AB=,BC=CD=1,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為(　　).
A.3π B.4π
C.7π D.9π
【答案】　B
【解析】　如圖所示,將三棱錐A-BCD補全為一個長、寬、高分別為1,1,的長方體,則三棱錐A-BCD的外接球為長方體的外接球.
設外接球的半徑為R,則(2R)2=1+1+2=4,所以R2=1,
所以三棱錐A-BCD的外接球的表面積S=4πR2=4π.
【隨堂檢測】
1.已知各面均為等邊三角形的四面體的棱長為2,則它的表面積是(　　).
A.2　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.6
【答案】　B
【解析】　S表=4××22=4.故選B.
2.棱長都是1的三棱錐的側面積為(　　).
A. B.2 C.3 D.4
【答案】　A
【解析】　因為側面是全等的正三角形,所以S=3×=.
3.已知一個正四棱錐的底面邊長為2,高為,則該正四棱錐的表面積為　　　　.
【答案】　12
【解析】　如圖,四棱錐P-ABCD為正四棱錐,高OP=,底面邊長AB=2.
過點O作OG⊥BC,垂足為點G,連接PG,則側面等腰三角形的高PG==2.
故正四棱錐的表面積S=2×2+4××2×2=12.
4.已知OA為球O的半徑,過OA的中點M且垂直OA的平面截球得到圓M,若圓M的面積為9π,則球O的表面積為　　　　.
【答案】　48π
【解析】　設平面截球O所得圓M的半徑為r,球O的半徑為R,因為圓M的面積為9π,所以平面截球得到圓M的半徑r==3,
由題意知R2=R2+r2,可得R2=12,則S球=4πR2=4π×12=48π.
5.已知一個正四棱臺的上、下底面均為正方形,邊長分別為8 cm和18 cm,側棱長為13 cm,求其表面積.
【解析】　由已知可得正四棱臺側面梯形的高h==12(cm),
所以S側=4××(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),故表面積S=624+64+324=1012(cm2).
24.5 課時1 幾種簡單幾何體的表面積
【學習目標】
1.通過對柱體、錐體、臺體、球的研究,掌握柱體、錐體、臺體、球的表面積的求法.(直觀想象、數學運算)
2.了解柱體、錐體、臺體、球的表面積計算公式.(直觀想象、數學運算)
3.能運用柱體、錐體、臺體、球的表面積公式進行計算和解決有關實際問題.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
被譽為世界七大奇跡之首的胡夫金字塔一直是世界上最高的建筑物,呈正四棱錐形.在四千多年前生產工具很落后的中古時代,埃及人是怎樣采集、搬運數量如此之多,每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔的 這真是一個十分難解的謎.
1.如果已知金字塔的底面邊長和側棱長,如何計算胡夫金字塔的側面積
2.怎樣計算柱體、錐體、臺體的表面積
3.球的表面積如何計算
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖的面積就是它們的表面積. (　　)
(2)幾何體的平面展開方法可能不同,但其表面積唯一確定. (　　)
(3)把柱體、錐體、臺體的側面無論沿哪一條側棱或母線剪開,所得到的展開圖形狀都相同,面積都相等. (　　)
(4)空間幾何體的側面積即是表面積. (　　)
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積之比為(　　).
A.1∶1 B.1∶
C.1∶ D.1∶2
3.已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形,側面是腰長為8的等腰梯形,則該四棱臺的表面積為　　　　.
【合作探究】
探究1　棱柱的表面積
問題1:棱柱的側面展開圖是什么
問題2:如果是直棱柱,其側面展開圖是什么圖形
問題3:你能求出直棱柱的表面積嗎
新知生成
1.直棱柱
S直棱柱側=Ch,其中C為直棱柱的底面周長,h為直棱柱的高.
2.表面積
一般地,表面積=側面積+底面積.
新知運用
例1　已知在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是邊長為2的等邊三角形,側棱長為2,其中一條側棱AA1與底面△ABC兩邊AB,AC所在直線的夾角為45°,則該斜三棱柱的側面積為　　　　.
方法指導　首先證得CC1⊥B1C1,然后分別求出三個側面的面積再相加即可得出結果.
【方法總結】　　求棱柱的表面積的方法:(1)對于直棱柱,可以直接利用公式求解;(2)對于斜棱柱,可將其展開,分別求出各個面的面積,再相加.
現有一個底面是菱形的直四棱柱,它的體對角線長分別為9和15,高是5,求該直四棱柱的表面積.
探究2　棱錐的表面積
問題1:三棱錐的展開圖是什么
問題2:已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為6,點P到底面ABC的距離為3,如何求該三棱錐的表面積
問題3:已知如圖所示的正棱錐,如何求它的側面積
新知生成
S正棱錐側=Ch',其中C為正棱錐的底面周長,h'為側面等腰三角形的高.
新知運用
例2　法國盧浮宮玻璃金字塔外表呈正四棱錐形狀(如圖所示),已知塔高21 m,底寬34 m,則塔身的表面積(精確到1 m2)約是(　　).(參考數據:≈27,342=1156)
A.3674 m2 B.2993 m2
C.1836 m2 D.1682 m2
方法指導　由題意可得正四棱錐的底面邊長與高,代入棱錐的表面積公式求解.
【方法總結】　　正棱錐的側面是等腰三角形,只要弄清楚相對應的元素,求解就會很簡單.
若一個正四棱錐的底面邊長為2,高為,則該正四棱錐的表面積為(　　).
A.8 B.12
C.16 D.20
探究3　棱臺的表面積
“李白斗酒詩百篇,長安市上酒家眠”,本詩句中的“斗”的本義是指盛酒的器具,后又作為計量糧食的工具.某數學興趣小組利用相關材料制作了一個如圖所示的正四棱臺來模擬“斗”,用它研究“斗”的相關幾何性質.
問題1:你能畫出這個“斗”的展開圖嗎
問題2:棱臺的側面展開圖是由什么構成的 如何計算它的表面積
問題3:若該四棱臺的上、下底面的邊長分別是2,4,高為1,你能求出該四棱臺的表面積嗎
新知生成
S正棱臺側=(C+C')h',其中C,C'分別為棱臺的上、下底面周長,h'為棱臺側面的高.
新知運用
例3　木升子是一種民間稱量或盛裝糧食的工具(如圖所示),呈正棱臺形,一般由四塊梯形木和一塊正方形木組成,其上口是一個正方形,底面是一個封口較小的正方形.現有一木升子(厚度忽略不計),其上口周長為52 cm,底面周長為40 cm,側面等腰梯形的腰長為8 cm,則該木升子的側面積約為(　　).(結果精確到0.1 cm2,參考數據:≈15.72)
A.90.4 cm2
B.180.8 cm2
C.361.6 cm2
D.368.0 cm2
方法指導　先求側面梯形的高,即可求出該木升子的側面積.
【方法總結】　　正棱臺的側面是等腰梯形,因而對正棱臺,需要構造直角梯形或等腰梯形來求解.
某校高一年級學生進行創客活動,利用3D打印技術制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱臺ABCD-EFGH后所得的幾何體,其中AB=2EF=2BF,AB=BC=6cm,AA1=4 cm,為增強其觀賞性和耐用性,現在該模型表面鍍上一層金屬膜,每平方厘米需要金屬2 mg,不考慮損耗,所需金屬膜的質量為　　　　mg.
探究4　球的表面積
問題1:球的表面積是由什么確定的
問題2:正方體的外接球與內切球的表面積之比是多少
新知生成
設球的半徑為R,則球的表面積S球=4πR2,即球的表面積等于它的大圓面積的　4　倍.
新知運用 例4　蹴鞠(如圖所示),又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等,蹴有用腳蹴、踢的含義,鞠最早系外包皮革、內實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動,類似今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠已作為非物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家非物質文化遺產名錄.已知某蹴鞠(近似看作球體)的表面上有四個點S,A,B,C,滿足S-ABC為正三棱錐,M是SC的中點,且AM⊥SB,側棱SA=1,則該蹴鞠的表面積為(　　).
A.3π B.6π
C.12π D.16π
方法指導　若∠ASB=θ,N為BC的中點,則AM⊥MN,再應用余弦定理、勾股定理求得θ=,即S-ABC為直三棱錐,即可求外接球的半徑,進而求表面積.
【方法總結】　　求球的表面積,關鍵是求球的半徑,同時要注意球的表面積是關于半徑平方的函數.
《九章算術——商功》中有這樣一段話:“斜解立方,得兩塹堵(qiàn dǔ),斜解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑(biē nào).”這里所謂的“鱉臑”,就是在對長方體進行分割時所產生的四個面都為直角三角形的三棱錐.已知三棱錐A-BCD是一個“鱉臑”,AB⊥平面BCD,AC⊥CD,且AB=,BC=CD=1,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為(　　).
A.3π B.4π
C.7π D.9π
【隨堂檢測】
1.已知各面均為等邊三角形的四面體的棱長為2,則它的表面積是(　　).
A.2　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.6
2.棱長都是1的三棱錐的側面積為(　　).
A. B.2 C.3 D.4
3.已知一個正四棱錐的底面邊長為2,高為,則該正四棱錐的表面積為　　　　.
4.已知OA為球O的半徑,過OA的中點M且垂直OA的平面截球得到圓M,若圓M的面積為9π,則球O的表面積為　　　　.
5.已知一個正四棱臺的上、下底面均為正方形,邊長分別為8 cm和18 cm,側棱長為13 cm,求其表面積.
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