資源簡介

4.5 課時2 幾種簡單幾何體的體積
【學習目標】
1.通過對柱體、錐體、臺體、球的研究,掌握柱體、錐體、臺體、球的體積的求法.(直觀想象、數學運算)
2.會求柱體、錐體、臺體、球的體積.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
1.什么是錐體的高
2.什么是臺體或柱體的高
3.柱體、錐體的體積分別是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)棱錐的體積等于底面面積與高之積. (　　)
(2)棱臺的體積可轉化為兩個錐體的體積之差. (　　)
(3)若兩個柱體的體積相等,則表面積相等. (　　)
(4)柱體、錐體、臺體這些簡單幾何體的體積只與該幾何體的底面積和高有關. (　　)
2.若長方體的長、寬、高分別為4 cm,3 cm,5 cm,則長方體的體積為(　　).
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
3.已知正四棱錐的底面邊長為2,高為3,則它的體積為(　　).
A.2 B.4 C.6 D.12
【合作探究】
探究1　柱體的體積
現有一張邊長為10 cm的正六邊形硬紙片,如圖所示,裁掉陰影部分,然后按虛線處折成底面邊長為6 cm的無蓋包裝盒.
問題1:該無蓋包裝盒是哪種幾何體
問題2:該包裝盒的體積是多少
新知生成
棱柱的體積:V棱柱=Sh(S為棱柱的底面積,h為棱柱的高).
圓柱:V圓柱=πr2h(r是圓柱的底面半徑,h是圓柱的母線長).
新知運用
例1　如圖1,一個正三棱柱形容器中盛有水,底面三角形ABC的邊長為2 cm,側棱AA1=4cm,若側面AA1B1B水平放置時(如圖2),水面恰好過AC,BC,A1C1,B1C1的中點.
(1)求容器中水的體積;
(2)當容器底面ABC水平放置時(如圖1),求容器內水面的高度.
方法指導　(1)在圖2中,根據四棱柱的體積公式計算可得;(2)設圖1中水的高度為h cm,根據水的體積相等得到方程,求解即可.
【方法總結】　　常見的求柱體體積的方法
(1)公式法:直接代入公式求解.
(2)分割法:將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積.
若在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長方體的體積為(　　).
A.8 B.6
C.8 D.10π
探究2　錐體的體積
對24小時內降水在平地上的積水厚度(單位:mm)進行如下定義:
0~10 10~25 25~50 50~100
小雨 中雨 大雨 暴雨
小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水.
問題1:接水的容器是哪種幾何體
問題2:如何計算容器內水的體積
問題3:這一天的雨水屬于哪個等級
新知生成
1.棱錐:V棱錐=Sh(S為棱錐的底面積,h為棱錐的高).
2.圓錐:V圓錐=πr2h(r是圓錐的底面半徑,h為圓錐的高).
新知運用
例2　如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形,AC交BD于點O,PO⊥平面ABC,E為AD的中點,點F在PA上,AP=3AF.
(1)證明:PC∥平面BEF.(2)若AB=2,∠ADB=∠BPD=60°,求三棱錐A-EFB的體積.
方法指導　(1)設AO交BE于點G,根據平行線分線段成比例可得=,即可根據==得到GF∥PC,再根據線面平行的判定定理即可證明;(2)由等積法可知VA-BEF=VF-ABE,即可解出.
【方法總結】　　求錐體體積的方法
(1)公式法:直接代入公式求解;(2)等體積法:因為四面體的任何一個面都可以作為底面,所以選用底面積和高都易求的形式即可.
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PD=AD=AB=2,∠DAB=60°,PD⊥底面ABCD,E為PC上一點,且PE=2EC.
(1)證明:AD⊥PB.
(2)求三棱錐P-EBD的體積.
探究3　臺體的體積
問題1:我們知道臺體是由錐體用平行于底面的平面所截得到的,那臺體可以由原棱錐的體積減去截得的小棱錐的體積得到嗎
問題2:棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間有什么關系嗎
新知生成
1.棱臺:V棱臺=(S'++S)h(S',S分別為棱臺的上、下底面面積,h為棱臺的高).
當S'=S時,棱臺變為棱柱,棱臺的體積公式也就是棱柱的體積公式;當S'=0時,棱臺變為棱錐,棱臺的體積公式也就是棱錐的體積公式.
2.圓臺:V圓臺=πh(r2+rr'+r'2)(其中r',r分別是圓臺的上、下底面的半徑,h為圓臺的高).
3.棱柱、棱錐、棱臺體積之間的關系
新知運用
例3　(2022年新高考全國Ⅰ卷)南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知當該水庫水位為海拔148.5 m時,相應水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時,相應水面的面積為180.0 km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時,增加的水量約為(　　).(≈2.65)
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
【方法總結】　　求柱體、錐體、臺體的體積時需注意的問題:柱體、錐體、臺體的體積的計算,一般要找出相應的底面和高,要充分利用截面、軸截面,求出所需要的量,最后代入公式計算.
正三棱臺上、下底面的棱長分別為3和6,側棱長為2,則正三棱臺的體積為　　　　.
探究4　球的體積
從生活經驗中我們知道,不能將橘子皮展開成平面,因為橘子皮近似于球面,這種曲面不能展開成平面圖形.那么,人們又是怎樣計算球面的面積的呢 古人在計算圓周率時,一般采用割圓術,即用圓的內接或外切正多邊形來逼近圓的周長.理論上,只要取得圓內接正多邊形的邊數越多,圓周率越精確,直到無窮.這種思想就是樸素的極限思想.
問題1:運用上述思想能否計算球的表面積和體積
問題2:球有底面嗎 球面能展開成平面圖形嗎
問題3:類比利用圓周長求圓面積的方法,我們可以利用球的表面積求球的體積嗎
問題4:求球的體積需要什么條件
新知生成
設球的半徑為R,則球的體積V=πR3.
新知運用
例4　(1)已知球的表面積為64π,求它的體積;
(2)已知球的體積為π,求它的表面積.
【方法總結】　　要求球的體積或表面積,必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R,然后代入體積或表面積公式求解.
已知一個球的半徑為R,其體積V球和表面積S球數值上滿足關系V球=2S球,則半徑R=　　　　.
【隨堂檢測】
1.若長方體過一個頂點的三條棱長的比是1∶2∶3,體對角線長為2,則這個長方體的體積是(　　).
A.6 B.2 C.24 D.48
2.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E為線段B1C上的一點,則三棱錐A-DED1的體積為　　　　.
3.如果一個球的表面積擴大為原來的3倍,那么該球的體積擴大為原來的　　　　倍.
4.已知圓柱內有一個內接長方體ABCD-A1B1C1D1,長方體的體對角線長為10 cm,圓柱的側面展開圖為矩形,此矩形面積為100π cm2.求圓柱的體積.
24.5 課時2 幾種簡單幾何體的體積
【學習目標】
1.通過對柱體、錐體、臺體、球的研究,掌握柱體、錐體、臺體、球的體積的求法.(直觀想象、數學運算)
2.會求柱體、錐體、臺體、球的體積.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
1.什么是錐體的高
【答案】　把錐體(棱錐、圓錐)的頂點到底面的距離稱為錐體的高.
2.什么是臺體或柱體的高
【答案】　臺體或柱體兩底面之間的距離稱為臺體或柱體的高.
3.柱體、錐體的體積分別是什么
【答案】　柱體、錐體的體積分別是V柱體=Sh,V錐體=Sh.(S是底面積,h是高)
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)棱錐的體積等于底面面積與高之積. (　　)
(2)棱臺的體積可轉化為兩個錐體的體積之差. (　　)
(3)若兩個柱體的體積相等,則表面積相等. (　　)
(4)柱體、錐體、臺體這些簡單幾何體的體積只與該幾何體的底面積和高有關. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.若長方體的長、寬、高分別為4 cm,3 cm,5 cm,則長方體的體積為(　　).
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
【答案】　B
【解析】　V長方體=3×4×5=60(cm3).
3.已知正四棱錐的底面邊長為2,高為3,則它的體積為(　　).
A.2 B.4 C.6 D.12
【答案】　B
【解析】　正四棱錐的底面積為2×2=4,則其體積為×4×3=4.
【合作探究】
探究1　柱體的體積
現有一張邊長為10 cm的正六邊形硬紙片,如圖所示,裁掉陰影部分,然后按虛線處折成底面邊長為6 cm的無蓋包裝盒.
問題1:該無蓋包裝盒是哪種幾何體
【答案】　正六棱柱.
問題2:該包裝盒的體積是多少
【答案】　如圖,正六邊形的每個內角為,
按虛線處折成底面邊長為6 cm的正六棱柱,即AB=6 cm,
所以BE==2(cm),BF=BEtan 60°=2(cm),即正六棱柱的高為2cm,
所以正六棱柱的體積V=6××6×6××2=324(cm3).
新知生成
棱柱的體積:V棱柱=Sh(S為棱柱的底面積,h為棱柱的高).
圓柱:V圓柱=πr2h(r是圓柱的底面半徑,h是圓柱的母線長).
新知運用
例1　如圖1,一個正三棱柱形容器中盛有水,底面三角形ABC的邊長為2 cm,側棱AA1=4cm,若側面AA1B1B水平放置時(如圖2),水面恰好過AC,BC,A1C1,B1C1的中點.
(1)求容器中水的體積;
(2)當容器底面ABC水平放置時(如圖1),求容器內水面的高度.
方法指導　(1)在圖2中,根據四棱柱的體積公式計算可得;(2)設圖1中水的高度為h cm,根據水的體積相等得到方程,求解即可.
【解析】　(1)在圖2中,水所占部分為四棱柱,該四棱柱的底面積S=×22×sin 60°-×12×sin 60°=(cm2),又高為4 cm,
所以水的體積V=×4=3(cm3).
(2)設圖1中水的高度為h cm,則V=×22×sin 60°×h=3,解得h=3.
所以當容器底面ABC水平放置時,容器內水面的高度為3 cm.
【方法總結】　　常見的求柱體體積的方法
(1)公式法:直接代入公式求解.
(2)分割法:將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積.
若在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長方體的體積為(　　).
A.8 B.6
C.8 D.10π
【答案】　C
【解析】　因為AB⊥平面BB1C1C,所以∠AC1B為AC1與平面BB1C1C所成的角,即∠AC1B=30°,由AB=2可得BC1=2,從而CC1==2.
所以該長方體的體積V=2×2×2=8.
探究2　錐體的體積
對24小時內降水在平地上的積水厚度(單位:mm)進行如下定義:
0~10 10~25 25~50 50~100
小雨 中雨 大雨 暴雨
小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水.
問題1:接水的容器是哪種幾何體
【答案】　是圓錐.
問題2:如何計算容器內水的體積
【答案】　容器內的水是圓錐形狀,利用圓錐的體積公式V圓錐=Sh計算即可.
問題3:這一天的雨水屬于哪個等級
【答案】　由題可知,設圓錐形容器中積水的水面半徑為r,所以=,解得r=50,所以積水厚度為=12.5∈(10,25),因此這一天的雨水屬于中雨.
新知生成
1.棱錐:V棱錐=Sh(S為棱錐的底面積,h為棱錐的高).
2.圓錐:V圓錐=πr2h(r是圓錐的底面半徑,h為圓錐的高).
新知運用
例2　如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形,AC交BD于點O,PO⊥平面ABC,E為AD的中點,點F在PA上,AP=3AF.
(1)證明:PC∥平面BEF.(2)若AB=2,∠ADB=∠BPD=60°,求三棱錐A-EFB的體積.
方法指導　(1)設AO交BE于點G,根據平行線分線段成比例可得=,即可根據==得到GF∥PC,再根據線面平行的判定定理即可證明;(2)由等積法可知VA-BEF=VF-ABE,即可解出.
【解析】　(1)設AO交BE于點G,連接FG.
因為E是AD的中點,AE∥CB,BD=2,所以△AEG∽△CBG,
所以==,即=.
又因為AP=3AF,所以==,所以GF∥PC,
又因為GF 平面BEF,PC 平面BEF,所以PC∥平面BEF.
(2)在菱形ABCD中,因為AB=2,∠ADB=60°,所以△ABD是邊長為2的等邊三角形,故S△ABE=S△ABD=.
又因為∠BPD=60°,PO⊥平面ABC,BD=2,所以PO=,故點F到平面ABC的距離為PO=,
所以VA-EFB=VF-ABE=××=,即三棱錐A-EFB的體積為.
【方法總結】　　求錐體體積的方法
(1)公式法:直接代入公式求解;(2)等體積法:因為四面體的任何一個面都可以作為底面,所以選用底面積和高都易求的形式即可.
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PD=AD=AB=2,∠DAB=60°,PD⊥底面ABCD,E為PC上一點,且PE=2EC.
(1)證明:AD⊥PB.
(2)求三棱錐P-EBD的體積.
【解析】　(1)∵PD⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,∴PD⊥AD.
∵AD=AB=2,∠DAB=60°,
由余弦定理得BD===2,
∴AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD,
又PD∩BD=D,AD 平面PDB,
∴AD⊥平面PDB,
∵PB 平面PDB,
∴AD⊥PB.
(2)設點E到底面ABCD的距離為h,則h=PD=,∵S△BCD=S△ABD=×4×2×sin 60°=2,
∴VP-EBD=VP-BCD-VE-BCD=×2×2-×2×=.
探究3　臺體的體積
問題1:我們知道臺體是由錐體用平行于底面的平面所截得到的,那臺體可以由原棱錐的體積減去截得的小棱錐的體積得到嗎
【答案】　可以.
問題2:棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間有什么關系嗎
【答案】　
其中S上,S下分別為棱臺的上、下底面面積,h為高,S為棱柱或棱錐的底面面積.
新知生成
1.棱臺:V棱臺=(S'++S)h(S',S分別為棱臺的上、下底面面積,h為棱臺的高).
當S'=S時,棱臺變為棱柱,棱臺的體積公式也就是棱柱的體積公式;當S'=0時,棱臺變為棱錐,棱臺的體積公式也就是棱錐的體積公式.
2.圓臺:V圓臺=πh(r2+rr'+r'2)(其中r',r分別是圓臺的上、下底面的半徑,h為圓臺的高).
3.棱柱、棱錐、棱臺體積之間的關系
新知運用
例3　(2022年新高考全國Ⅰ卷)南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知當該水庫水位為海拔148.5 m時,相應水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時,相應水面的面積為180.0 km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時,增加的水量約為(　　).(≈2.65)
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
【答案】　C
【解析】　臺體體積公式為V=h(S1+S2+),題目中h=157.5-148.5=9(m),S1=140×10002=1.4×108(m2),S2=180×10002=1.8×108(m2),代入公式計算得V=3×108×3.2+≈1.4×109(m3).故選C.
【方法總結】　　求柱體、錐體、臺體的體積時需注意的問題:柱體、錐體、臺體的體積的計算,一般要找出相應的底面和高,要充分利用截面、軸截面,求出所需要的量,最后代入公式計算.
正三棱臺上、下底面的棱長分別為3和6,側棱長為2,則正三棱臺的體積為　　　　.
【答案】　
【解析】　如圖,正三棱臺ABC-A'B'C',將其補全為三棱錐P-A'B'C',PO為其高,
∴正三棱臺的體積V=VP-A'B'C'-VP-ABC,由題意易知PC'=4,A'D=3,PD=,
∴設PO=x,則+=3,解得x=2,
即三棱錐P-A'B'C'的高PO=2,故三棱錐P-ABC的高為1,
∴V=×2××6×6×sin 60°-×1××3×3×sin 60°=.
探究4　球的體積
從生活經驗中我們知道,不能將橘子皮展開成平面,因為橘子皮近似于球面,這種曲面不能展開成平面圖形.那么,人們又是怎樣計算球面的面積的呢 古人在計算圓周率時,一般采用割圓術,即用圓的內接或外切正多邊形來逼近圓的周長.理論上,只要取得圓內接正多邊形的邊數越多,圓周率越精確,直到無窮.這種思想就是樸素的極限思想.
問題1:運用上述思想能否計算球的表面積和體積
【答案】　可以.
問題2:球有底面嗎 球面能展開成平面圖形嗎
【答案】　球沒有底面,球的表面不能展開成平面圖形.
問題3:類比利用圓周長求圓面積的方法,我們可以利用球的表面積求球的體積嗎
【答案】　如圖,把球O的表面分成n個小網格,連接球心O和每個小網格的頂點,整個球體就被分割成n個“小錐體”.
當n越大,每個小網格越小時,每個“小錐體”的底面就越平,“小錐體”就越近似于棱錐,其高越近似于球半徑R.設O-ABCD是其中一個“小錐體”,它的體積VO-ABCD≈S四邊形ABCDR.
由于球的體積就是這n個“小錐體”的體積之和,而這n個“小錐體”的底面積之和就是球的表面積.因此,球的體積V球=S球R=×4πR2·R=πR3.
由此,我們得到球的體積公式為V球=πR3.
問題4:求球的體積需要什么條件
【答案】　已知球的半徑即可.
新知生成
設球的半徑為R,則球的體積V=πR3.
新知運用
例4　(1)已知球的表面積為64π,求它的體積;
(2)已知球的體積為π,求它的表面積.
【解析】　(1)設球的半徑為r,則由已知得4πr2=64π,解得r=4.
所以球的體積V=πr3=π.
(2)設球的半徑為R,由已知得πR3=π,所以R=5,
所以球的表面積S=4πR2=4π×52=100π.
【方法總結】　　要求球的體積或表面積,必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R,然后代入體積或表面積公式求解.
已知一個球的半徑為R,其體積V球和表面積S球數值上滿足關系V球=2S球,則半徑R=　　　　.
【答案】　6
【解析】　因為V球=2S球,所以πR3=2×4πR2,解得R=6.
【隨堂檢測】
1.若長方體過一個頂點的三條棱長的比是1∶2∶3,體對角線長為2,則這個長方體的體積是(　　).
A.6 B.2 C.24 D.48
【答案】　D
【解析】　設長方體的三條棱長分別為x,2x,3x,則x2+4x2+9x2=(2)2,解得x=2,∴三條棱長分別為2,4,6,故該長方體的體積V=2×4×6=48.
2.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E為線段B1C上的一點,則三棱錐A-DED1的體積為　　　　.
【答案】　
【解析】　==××1×1×1=.
3.如果一個球的表面積擴大為原來的3倍,那么該球的體積擴大為原來的　　　　倍.
【答案】　3
【解析】　球的表面積擴大為原來的3倍,則球的半徑擴大為原來的倍,所以球的體積擴大為原來的()3=3倍.
4.已知圓柱內有一個內接長方體ABCD-A1B1C1D1,長方體的體對角線長為10 cm,圓柱的側面展開圖為矩形,此矩形面積為100π cm2.求圓柱的體積.
【解析】　設圓柱底面半徑為r cm,高為h cm,如圖,
則圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內接長方體的體對角線長,
則解得∴V圓柱=Sh=πr2h=π×52×10=250π(cm3).
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