資源簡介

4.5 課時3 空間幾何體的表面積與體積
【學習目標】
1.進一步掌握空間幾何體的表面積、體積公式.(直觀想象、數學運算)
2.進一步掌握組合體的表面積、體積計算.(直觀想象、數學運算)
3.進一步掌握與球有關的表面積、體積的計算.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
1.若長方體相鄰三個面的面積分別為,,,則長方體的體積等于(　　).
A. B.6 C.6 D.36
【答案】　A
【解析】　設長方體的長、寬、高分別為 a,b,h,則不妨設 ab=,ah=,bh=,則體積 V=abh===.
2.一個圓柱內挖去一個圓錐,圓錐的頂點是圓柱底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的另一個底面,圓柱的母線長為6,底面半徑為2,則該組合體的表面積為(　　).
A.(32+4)π B.32π
C.28π D.(28+4)π
【答案】　D
【解析】　因為圓柱的母線長為6,底面半徑為2,所以圓錐的母線長為=2,
所以該組合體的表面積為π×22+2π×2×6+π×2×2=(28+4)π.
3.一平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到截面的距離為,則此球的體積為(　　).
A.π B.4π C.4π D.6π
【答案】　B
【解析】　如圖,設截面圓的圓心為O',M為截面圓上任一點,
則OO'=,O'M=1,
∴OM==,即球的半徑為,
∴V=π×()3=4π.
4.圓柱形容器的內壁底半徑是10 cm,有一個實心鐵球浸沒于容器的水中.若取出這個鐵球,測得容器的水面下降了 cm,則這個鐵球的表面積為　　　　 cm2.
【答案】　100π
【解析】　設實心鐵球的半徑為R,則R3=π×102×,得R=5,故這個鐵球的表面積S=4πR2=100π cm2.
【合作探究】
探究1　組合體的表面積與體積
例1　一個容器的蓋子由一個正四棱臺和一個球焊接而成,球在正四棱臺上底面的正中間,球的半徑為R,正四棱臺的上、下底面邊長分別為2.5R和3R,斜高為0.6R(π取3.14).
(1)求這個蓋子的表面積和體積(用R表示,焊接處對面積的影響忽略不計);
(2)若R=2 cm,給蓋子涂色時所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2,計算給100個這樣的蓋子涂色大約需要多少千克涂料.(內部不涂色,結果精確到0.1 kg)
方法指導　(1)根據給定條件,利用球和棱臺的表面積公式,以及它們的體積公式求解作答;(2)由(1)的結論,將R=2 cm代入計算出每個蓋子的表面積,進而求出100個蓋子的面積,即可求出需涂料的重量.
【解析】　(1)因為球的半徑為R,所以該球的表面積為4πR2,該球的體積V1=R3,
又正四棱臺的上、下底面邊長分別為2.5R和3R,所以該正四棱臺的上、下底面面積分別為6.25R2和9R2,
而正四棱臺的斜高為0.6R,則正四棱臺的側面積為4××(2.5R+3R)×0.6R=6.6R2,
所以該正四棱臺的表面積為6.25R2+9R2+6.6R2=21.85R2,
又正四棱臺的高為=R,
所以正四棱臺的體積V2=R2++9R2·R=R3,
所以容器蓋子的表面積S=(21.85+4π)R2,
則容器蓋子的體積V=V1+V2=R3+R3=R3.
(2)由(1)知,該容器蓋子的表面積S=(21.85+4π)R2,當R=2 cm時,S≈(21.85+4×3.14)×22=137.64(cm2).
所以100個這樣的蓋子大約需涂料×0.4≈0.6(kg).
【方法總結】　　求組合體的表面積和體積,首先要認清組合體是由哪些簡單幾何體構成的.組合體的表面積是可見的圍成組合體的所有面的面積之和,但不一定是組成組合體的幾個簡單幾何體的表面積之和,組合體的體積是構成組合體的幾個簡單組合體的體積之和(或差).
現需要設計一個倉庫,倉庫由上、下兩部分組成,如圖所示,上部分為正四棱錐P-A1B1C1D1,下部分為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.
(1)若AB=6 m,PO1=2 m,則倉庫(含上、下兩部分)的容積是多少
(2)若上部分正四棱錐的側棱長為6 m,則當PO1為多少時,下部分正四棱柱的側面積最大,最大側面積是多少
【解析】　(1)∵PO1=2 m,O1O=4PO1,∴O1O=8 m.
∴倉庫的容積V=×62×2+62×8=312 m3.
(2)若正四棱錐的側棱長為6 m,設PO1=x,
則O1O=4x,A1O1=,A1B1=·.
∴正四棱柱側面積S=4×4x··=16x·(0∴S≤16·=288,
當且僅當x2=36-x2,即x=3時,等號成立,Smax=288 m2.
∴當PO1=3 m時,正四棱柱的側面積最大,最大值為288 m2.
探究2　旋轉體的表面積與體積
例2　如圖所示,在直角梯形ABCD內挖去一個扇形,E恰好是梯形的下底邊的中點,將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈.
(1)請畫出所得幾何體并說明所得的幾何體的結構特征;
(2)求所得幾何體的表面積和體積.
方法指導　(1)直接由旋轉體的結構特征得出結論;(2)結合圖中數據計算該組合體的表面積和體積.
【解析】　(1)根據題意知,將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈后所得幾何體是上部分是圓錐,下部分是圓柱挖去一個半徑等于圓柱體高的半球的組合體.
(2)該幾何體的表面積S=S圓錐側+S圓柱側+S半球=π×2×2+2π×2×2+×4π×22=(4+16)π,
幾何體的體積V=V圓錐+V圓柱-V半球=×π×22×2+π×22×2-××π×23=.
【方法總結】　　解決旋轉體的表面積與體積問題時,要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖,借助于平面幾何知識,求得所需幾何要素,代入公式求解即可.
如圖,在等腰Rt△AOB中,OA=OB=2,C是OB的中點,△AOB繞BO所在的直線逆時針旋轉至△BOD,∠AOD=,求△AOB旋轉所得旋轉體的體積V和表面積S.
【解析】　由題意知旋轉體的體積是圓錐體積的,所以V=××π×22×2=;
該旋轉體的表面由兩個直角三角形、一個圓錐的底面圓和一個圓錐的側面組成,所以S=2××2×2+×π×22+×π×2×2=+4.
探究3　球的切接問題
一、定義法
例3　在矩形ABCD中,BC=4,M為BC的中點,將△ABM和△DCM分別沿AM,DM翻折,使點B與點C重合于點P,若∠APD=150°,則三棱錐M-PAD的外接球的表面積為(　　).
A.12π B.34π C.68π D.126π
【答案】　C
【解析】　如圖,由題意可知,MP⊥PA,MP⊥PD,且PA∩PD=P,PA 平面PAD,PD 平面PAD,所以MP⊥平面PAD.
設△ADP的外接圓的半徑為r,則由正弦定理可得=2r,即=2r,解得r=4.
設三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R,
則(2R)2=PM2+(2r)2,
即(2R)2=4R2=68,
所以外接球的表面積為4πR2=68π.
【方法總結】　　到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圓圓心,找其垂線,則球心一定在垂線上,再根據到其他頂點距離也是半徑,列關系式求解即可.
一個六棱柱的底面是正六邊形,其側棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為,底面周長為3,則這個球的體積為　　　　.
【答案】　
【解析】　設正六棱柱的底面邊長為x,高為h,
則有
解得
∴正六棱柱的底面外接圓的半徑r=,球心到底面的距離d=.
∴外接球的半徑R==1,∴V球=.
二、補形法
例4　在四面體ABCD中,若AB=CD=,AC=BD=2,AD=BC=,則四面體ABCD的外接球的表面積為(　　).
A.2π B.4π C.6π D.8π
【答案】　C
【解析】　由題意,可采用補形法,考慮到四面體ABCD的對棱相等,所以將四面體放入一個長,寬,高分別為x,y,z的長方體中,且x2+y2=3,x2+z2=5,y2+z2=4,則有(2R)2=x2+y2+z2=6(R為外接球的半徑),得2R2=3,所以外接球的表面積S=4πR2=6π.
【方法總結】　　(1)補形法的解題策略:
①側面為直角三角形或正四面體或對棱均相等的模型,可以還原到正方體或長方體中去求解;
②有一條側棱垂直于底面的三棱錐可補成三棱柱求解.
(2)正方體與球的切接問題常用結論:
正方體的棱長為a,球的半徑為R,
①若球為正方體的外接球,則2R=a;
②若球為正方體的內切球,則2R=a;
③若球與正方體的各棱相切,則2R=a.
(3)若長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=.
已知在三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為(　　).
A. B.14π
C.56π D.π
【答案】　B
【解析】　如圖,長方體PAB'B-CA'P'C'與三棱錐P-ABC有相同的外接球,其外接球的直徑為長方體的體對角線PP',設外接球的半徑為R,
則(2R)2=PP'2=PA2+PB2+PC2=12+22+32=14,
則所求表面積S=4πR2=π·(2R)2=14π.
三、截面法
例5　已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個點,且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC 的體積為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　如圖所示,因為AC⊥BC,所以AB為截面圓O1的直徑,且AB=.連接OO1,
則OO1⊥平面ABC,OO1===,
所以三棱錐O-ABC的體積V=S△ABC·OO1=××1×1×=.
【方法總結】　　(1)與球截面有關的問題的解題策略
①定球心:如果是內切球,那么球心到切點的距離相等且為半徑;如果是外接球,那么球心到接點的距離相等且為半徑.
②作截面:選準最佳角度作出截面,達到空間問題平面化的目的.
(2)正四面體的外接球的半徑R=a,內切球的半徑r=a,R∶r=3∶1.(a為該正四面體的棱長)
在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是　　　　.
【答案】　
【解析】　易知AC=10.設△ABC的內切圓的半徑為r,
則×6×8=×(6+8+10)·r,所以r=2.
因為2r=4>3,所以最大球的直徑2R=3,
即R=,此時球的體積V=πR3=.
【隨堂檢測】
1.若正方體的表面積增大為原來的2倍,則它的體積增大為原來的(　　).
A.2倍 B.4倍 C.倍 D.2倍
【答案】　D
【解析】　S表=6a2,S'表=6a'2=2S表,∴a'=a.
V=a3,V'=a'3=2a3=2V.
2.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為2和2,繞該三角形的斜邊旋轉一周,得到的幾何體的表面積為(　　).
A.(6+2)π B.(6-2)π
C.2π D.6π
【答案】　A
【解析】　若在Rt△ABC中,AC=2,BC=2,可得AB==4,將Rt△ABC繞邊AB所在直線旋轉一周,得到的幾何體如圖,
可得OC==,即圓O的半徑r=,
所以該旋轉體的表面積S=πr·AC+πr·BC=π××2+π××2=(6+2)π.
3.《九章算術》是我國古代數學名著,它在幾何學中的研究比西方早一千多年,書中將底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵.已知一個塹堵的底面積為6,體積為
的球與其各面均相切,則該塹堵的表面積為(　　).
A.18 B.24 C.36 D.48
【答案】　C
【解析】　一個塹堵的底面積為6,體積為的球與其各面均相切,畫出球在底面的俯視圖,如圖.設球的半徑為r,則r3=,解得r=1,
設該三棱柱的底面周長為C,則有C·r=6,解得C=12,則三棱柱的側面積為12×2=24,所以三棱柱的表面積為6+24+6=36.
4.在如圖所示的幾何體中,上面是圓柱,其底面直徑為6 cm,高為3 cm,下面是正六棱柱,其底面邊長為4 cm,高為2 cm.現從中間挖去一個直徑為2 cm的圓柱(挖去的圓柱貫穿幾何體),求此幾何體的體積.
【解析】　V六棱柱=×42×6×2=48(cm3),
V圓柱=π×32×3=27π(cm3),
V挖去圓柱=π×12×(3+2)=5π(cm3),
∴此幾何體的體積V=V六棱柱+V圓柱-V挖去圓柱=48+22π(cm3).
24.5 課時3 空間幾何體的表面積與體積
【學習目標】
1.進一步掌握空間幾何體的表面積、體積公式.(直觀想象、數學運算)
2.進一步掌握組合體的表面積、體積計算.(直觀想象、數學運算)
3.進一步掌握與球有關的表面積、體積的計算.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
1.若長方體相鄰三個面的面積分別為,,,則長方體的體積等于(　　).
A. B.6 C.6 D.36
2.一個圓柱內挖去一個圓錐,圓錐的頂點是圓柱底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的另一個底面,圓柱的母線長為6,底面半徑為2,則該組合體的表面積為(　　).
A.(32+4)π B.32π
C.28π D.(28+4)π
3.一平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到截面的距離為,則此球的體積為(　　).
A.π B.4π C.4π D.6π
4.圓柱形容器的內壁底半徑是10 cm,有一個實心鐵球浸沒于容器的水中.若取出這個鐵球,測得容器的水面下降了 cm,則這個鐵球的表面積為　　　　 cm2.
【合作探究】
探究1　組合體的表面積與體積
例1　一個容器的蓋子由一個正四棱臺和一個球焊接而成,球在正四棱臺上底面的正中間,球的半徑為R,正四棱臺的上、下底面邊長分別為2.5R和3R,斜高為0.6R(π取3.14).
(1)求這個蓋子的表面積和體積(用R表示,焊接處對面積的影響忽略不計);
(2)若R=2 cm,給蓋子涂色時所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2,計算給100個這樣的蓋子涂色大約需要多少千克涂料.(內部不涂色,結果精確到0.1 kg)
方法指導　(1)根據給定條件,利用球和棱臺的表面積公式,以及它們的體積公式求解作答;(2)由(1)的結論,將R=2 cm代入計算出每個蓋子的表面積,進而求出100個蓋子的面積,即可求出需涂料的重量.
【方法總結】　　求組合體的表面積和體積,首先要認清組合體是由哪些簡單幾何體構成的.組合體的表面積是可見的圍成組合體的所有面的面積之和,但不一定是組成組合體的幾個簡單幾何體的表面積之和,組合體的體積是構成組合體的幾個簡單組合體的體積之和(或差).
現需要設計一個倉庫,倉庫由上、下兩部分組成,如圖所示,上部分為正四棱錐P-A1B1C1D1,下部分為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.
(1)若AB=6 m,PO1=2 m,則倉庫(含上、下兩部分)的容積是多少
(2)若上部分正四棱錐的側棱長為6 m,則當PO1為多少時,下部分正四棱柱的側面積最大,最大側面積是多少
探究2　旋轉體的表面積與體積
例2　如圖所示,在直角梯形ABCD內挖去一個扇形,E恰好是梯形的下底邊的中點,將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈.
(1)請畫出所得幾何體并說明所得的幾何體的結構特征;
(2)求所得幾何體的表面積和體積.
方法指導　(1)直接由旋轉體的結構特征得出結論;(2)結合圖中數據計算該組合體的表面積和體積.
【方法總結】　　解決旋轉體的表面積與體積問題時,要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖,借助于平面幾何知識,求得所需幾何要素,代入公式求解即可.
如圖,在等腰Rt△AOB中,OA=OB=2,C是OB的中點,△AOB繞BO所在的直線逆時針旋轉至△BOD,∠AOD=,求△AOB旋轉所得旋轉體的體積V和表面積S.
探究3　球的切接問題
一、定義法
例3　在矩形ABCD中,BC=4,M為BC的中點,將△ABM和△DCM分別沿AM,DM翻折,使點B與點C重合于點P,若∠APD=150°,則三棱錐M-PAD的外接球的表面積為(　　).
A.12π B.34π C.68π D.126π
【方法總結】　　到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圓圓心,找其垂線,則球心一定在垂線上,再根據到其他頂點距離也是半徑,列關系式求解即可.
一個六棱柱的底面是正六邊形,其側棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為,底面周長為3,則這個球的體積為　　　　.
二、補形法
例4　在四面體ABCD中,若AB=CD=,AC=BD=2,AD=BC=,則四面體ABCD的外接球的表面積為(　　).
A.2π B.4π C.6π D.8π
【方法總結】　　(1)補形法的解題策略:
①側面為直角三角形或正四面體或對棱均相等的模型,可以還原到正方體或長方體中去求解;
②有一條側棱垂直于底面的三棱錐可補成三棱柱求解.
(2)正方體與球的切接問題常用結論:
正方體的棱長為a,球的半徑為R,
①若球為正方體的外接球,則2R=a;
②若球為正方體的內切球,則2R=a;
③若球與正方體的各棱相切,則2R=a.
(3)若長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=.
已知在三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為(　　).
A. B.14π
C.56π D.π
三、截面法
例5　已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個點,且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC 的體積為(　　).
A. B. C. D.
【方法總結】　　(1)與球截面有關的問題的解題策略
①定球心:如果是內切球,那么球心到切點的距離相等且為半徑;如果是外接球,那么球心到接點的距離相等且為半徑.
②作截面:選準最佳角度作出截面,達到空間問題平面化的目的.
(2)正四面體的外接球的半徑R=a,內切球的半徑r=a,R∶r=3∶1.(a為該正四面體的棱長)
在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是　　　　.
【隨堂檢測】
1.若正方體的表面積增大為原來的2倍,則它的體積增大為原來的(　　).
A.2倍 B.4倍 C.倍 D.2倍
2.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為2和2,繞該三角形的斜邊旋轉一周,得到的幾何體的表面積為(　　).
A.(6+2)π B.(6-2)π
C.2π D.6π
3.《九章算術》是我國古代數學名著,它在幾何學中的研究比西方早一千多年,書中將底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵.已知一個塹堵的底面積為6,體積為
的球與其各面均相切,則該塹堵的表面積為(　　).
A.18 B.24 C.36 D.48
4.在如圖所示的幾何體中,上面是圓柱,其底面直徑為6 cm,高為3 cm,下面是正六棱柱,其底面邊長為4 cm,高為2 cm.現從中間挖去一個直徑為2 cm的圓柱(挖去的圓柱貫穿幾何體),求此幾何體的體積.
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