資源簡介

1.1 向量
【學(xué)習(xí)目標】
1.了解向量的物理實際背景,能正確進行平面向量的幾何表示.(數(shù)學(xué)抽象)
2.理解相等向量、相反向量的基本概念.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.在日常生活中有很多量,如面積、質(zhì)量、速度、位移等,這些量有什么區(qū)別
【答案】　面積、質(zhì)量只有大小,沒有方向;而速度和位移既有大小又有方向.
2.對既有大小又有方向的量,如何形象、直觀地表示出來
【答案】　利用有向線段來表示.
3.“向量就是有向線段,有向線段就是向量”的說法對嗎
【答案】　錯誤.理由:①向量只有長度和方向兩個要素,與起點無關(guān),只要長度和方向相同就是相同的向量;②有向線段有起點、長度和方向三個要素,起點不同,盡管長度和方向相同,也是不同的有向線段.
4.向量的模可以為0嗎 可以為1嗎 可以為負數(shù)嗎
【答案】　向量的模可以為0,也可以為1,但不可以為負數(shù).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個向量,長度大的向量較大. (　　)
(2)力、速度和質(zhì)量都是向量. (　　)
(3)兩個有共同起點且長度相等的向量,它們的終點相同. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
2.如圖,在矩形ABCD中,可以用同一條有向線段表示的向量是(　　).
A.和 B.和
C.和 D.和
【答案】　B
【解析】　易知=.
3.如圖,在1 cm×3 cm的方格紙中,以A為始點,其他格點為終點,可以寫出　　　　個不同的向量.
【答案】　7
【解析】　由圖可知,以A為始點的向量有,,,,,,,共7個.
【合作探究】
探究1 向量的基本要素及幾何表示　
　　問題1:某人在天安門廣場的正中央向北前進100米,再左轉(zhuǎn)90°后前進100米,再左轉(zhuǎn)90°后前進100米,再左轉(zhuǎn)90°后前進100米,請用向量畫出他從出發(fā)點到達終點的示意圖.
【答案】　
用長為1 cm的向量表示該人前進100米,他四次前進100米的示意圖如圖所示.
　　問題2:如果他每次不是左轉(zhuǎn)90°,而是每次左轉(zhuǎn)60°后前進100米,他能回到出發(fā)點嗎
【答案】　他每次左轉(zhuǎn)60°后前進100米,能回到出發(fā)點.要經(jīng)過六次才能回到出發(fā)點.
問題3:上述問題中具有方向的線段叫什么
【答案】　有向線段.
問題4:我們知道有向線段具有方向,它有大小嗎
【答案】　有,就是有向線段的長度.
問題5:既有大小又有方向的量,在數(shù)學(xué)中稱為什么
【答案】　向量.
新知生成
向量的概念與表示
(1)既有　大小　又有　方向　的量稱為向量.
(2)向量的表示:向量用粗體字母(印刷)或在字母上方標箭頭(書寫)來表示,如向量a,b,F,,,.把只有　大小　沒有　方向　的量稱為數(shù)量,如年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)量等都是數(shù)量.
(3)向量的模:向量a的大小,也就是向量a的長度,稱為a的模,記作|a|.
新知運用
例1　一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100千米到達B點,然后改變方向,向北偏西40°方向行駛了200千米到達C點,最后又改變方向,向東行駛了100千米到達D點.請作出,,.
方法指導(dǎo)　作圖既要考慮向量的模的大小,又要考慮其方向和起點,為此應(yīng)先建立坐標系,再根據(jù)行駛方向確定有關(guān)向量.
【解析】　作出向量,如圖所示.
【方法總結(jié)】　　準確畫出向量的方法是先確定向量的起點,再確定向量的方向,然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點.
已知飛機從A地向北偏東30°方向飛行2000 km到達B地,再從B地向南偏東30°方向飛行2000 km到達C地,再從C地向西南方向飛行1000 km到達D地.
(1)作出向量,,,.
(2)D地在A地的什么方向 D地距A地多遠
【解析】　(1)向量,,,如圖所示.
(2)由圖知,D地在A地的東南方向,距A地1000 km.
探究2 相等向量與相反向量
　　小明沿著籃球場的邊緣,從A點走到B點,又從B點走到A點.
問題1:上述問題中,向量和向量相等嗎 若不相等,二者有什么關(guān)系
【答案】　因為向量和向量的方向不同,所以它們不相等.二者互為相反向量.
問題2:如果小明在A處不動,那么向量的模是多少 的方向確定嗎
【答案】　||=0,方向不確定.
新知生成
1.相等向量:把方向相同、長度相等的向量稱為相等向量.
2.相反向量:把長度相等、方向相反的向量a,b稱為相反向量,記作b=-a.如果b=-a,那么同樣也有a=-b.
3.零向量:如果向量a的大小|a|=0,就稱向量a是零向量,記作0.約定:所有的零向量都相等.
新知運用
例2　如
圖所示,四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形.
(1)寫出與向量相等的向量;
(2)若||=3,求向量的模.
方法指導(dǎo)　根據(jù)已知條件,觀察圖形,凡是與向量長度相等且方向相同的向量,就是其相等向量.利用向量證明E,D,C三點共線,就可將向量的模轉(zhuǎn)化為線段EC的長度.
【解析】　(1)∵四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形,
∴AB ED,AB DC,從而=,=,∴=.
故與向量相等的向量是,.
(2)由(1)知==.
∵與方向相同,∴E,D,C三點共線.
∴||=||+||=2||=6.
【方法總結(jié)】　　(1)在圖形背景下找相等向量,只要根據(jù)相等向量的定義,觀察圖形可直觀地得出結(jié)論.在邏輯分析中,要注意相等向量的傳遞性.
(2)一般地,||+||≥||,當且僅當與同向時取等號.
如圖,在方格紙中,取兩個格子的格點(A,B,C,D,E,F)為起點和終點作向量,寫出滿足下列條件的向量:
　　(1)與相等的向量;
(2)的相反向量;
(3)與的模相等的向量.
【解析】　(1)因為相等向量是方向相同且模長相等的向量,所以與相等的向量為,.
(2)因為相反向量是方向相反且模長相等的向量,所以的相反向量為,.
(3)與的模相等的向量為,,.
【隨堂檢測】
1.下列說法正確的是(　　).
A.零向量沒有大小,沒有方向
B.零向量是唯一沒有方向的向量
C.零向量的長度為0
D.任意兩個模相同的向量方向相同
【答案】　C
【解析】　零向量的長度為0,方向是任意的,故A,B錯誤,C正確;任意兩個模相同的向量長度相等,但方向不一定相同,故D錯誤.
2.若某人向正東方向行進100米后,再向正南方向行進100米,則此人位移的方向是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.南偏東60° B.南偏東45°
C.南偏東30° D.南偏東15°
【答案】　C
【解析】　
如圖所示,此人從點A出發(fā),經(jīng)由點B,到達點C,則tan∠BAC==,∴∠BAC=60°,
即位移的方向是東偏南60°,即南偏東30°.
3.設(shè)O是正方形ABCD的中心,則向量,,,是(　　).
A.相等向量
B.相反向量
C.有相同起點的向量
D.模相等的向量
【答案】　D
【解析】　由正方形的性質(zhì)知||=||=||=||,它們的方向不相同,與的方向不相反,所以A,B錯誤.易知C錯誤,故選D.
4.如圖所示,小正方形的邊長為1,則||=　　　　,||=　　　　,||=　　　　.
【答案】　3　　2
【解析】　由題意可知,||==3,
||==,
||==2.
21.1 向量
【學(xué)習(xí)目標】
1.了解向量的物理實際背景,能正確進行平面向量的幾何表示.(數(shù)學(xué)抽象)
2.理解相等向量、相反向量的基本概念.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.在日常生活中有很多量,如面積、質(zhì)量、速度、位移等,這些量有什么區(qū)別
2.對既有大小又有方向的量,如何形象、直觀地表示出來
3.“向量就是有向線段,有向線段就是向量”的說法對嗎
4.向量的模可以為0嗎 可以為1嗎 可以為負數(shù)嗎
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個向量,長度大的向量較大. (　　)
(2)力、速度和質(zhì)量都是向量. (　　)
(3)兩個有共同起點且長度相等的向量,它們的終點相同. (　　)
2.如圖,在矩形ABCD中,可以用同一條有向線段表示的向量是(　　).
A.和 B.和
C.和 D.和
3.如圖,在1 cm×3 cm的方格紙中,以A為始點,其他格點為終點,可以寫出　　　　個不同的向量.
【合作探究】
探究1 向量的基本要素及幾何表示　
　　問題1:某人在天安門廣場的正中央向北前進100米,再左轉(zhuǎn)90°后前進100米,再左轉(zhuǎn)90°后前進100米,再左轉(zhuǎn)90°后前進100米,請用向量畫出他從出發(fā)點到達終點的示意圖.
　　問題2:如果他每次不是左轉(zhuǎn)90°,而是每次左轉(zhuǎn)60°后前進100米,他能回到出發(fā)點嗎
問題3:上述問題中具有方向的線段叫什么
問題4:我們知道有向線段具有方向,它有大小嗎
問題5:既有大小又有方向的量,在數(shù)學(xué)中稱為什么
新知生成
向量的概念與表示
(1)既有　大小　又有　方向　的量稱為向量.
(2)向量的表示:向量用粗體字母(印刷)或在字母上方標箭頭(書寫)來表示,如向量a,b,F,,,.把只有　大小　沒有　方向　的量稱為數(shù)量,如年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)量等都是數(shù)量.
(3)向量的模:向量a的大小,也就是向量a的長度,稱為a的模,記作|a|.
新知運用
例1　一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100千米到達B點,然后改變方向,向北偏西40°方向行駛了200千米到達C點,最后又改變方向,向東行駛了100千米到達D點.請作出,,.
方法指導(dǎo)　作圖既要考慮向量的模的大小,又要考慮其方向和起點,為此應(yīng)先建立坐標系,再根據(jù)行駛方向確定有關(guān)向量.
【方法總結(jié)】　　準確畫出向量的方法是先確定向量的起點,再確定向量的方向,然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點.
已知飛機從A地向北偏東30°方向飛行2000 km到達B地,再從B地向南偏東30°方向飛行2000 km到達C地,再從C地向西南方向飛行1000 km到達D地.
(1)作出向量,,,.
(2)D地在A地的什么方向 D地距A地多遠
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探究2 相等向量與相反向量
　　小明沿著籃球場的邊緣,從A點走到B點,又從B點走到A點.
問題1:上述問題中,向量和向量相等嗎 若不相等,二者有什么關(guān)系
問題2:如果小明在A處不動,那么向量的模是多少 的方向確定嗎
新知生成
1.相等向量:把方向相同、長度相等的向量稱為相等向量.
2.相反向量:把長度相等、方向相反的向量a,b稱為相反向量,記作b=-a.如果b=-a,那么同樣也有a=-b.
3.零向量:如果向量a的大小|a|=0,就稱向量a是零向量,記作0.約定:所有的零向量都相等.
新知運用
例2　如
圖所示,四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形.
(1)寫出與向量相等的向量;
(2)若||=3,求向量的模.
方法指導(dǎo)　根據(jù)已知條件,觀察圖形,凡是與向量長度相等且方向相同的向量,就是其相等向量.利用向量證明E,D,C三點共線,就可將向量的模轉(zhuǎn)化為線段EC的長度.
【方法總結(jié)】　　(1)在圖形背景下找相等向量,只要根據(jù)相等向量的定義,觀察圖形可直觀地得出結(jié)論.在邏輯分析中,要注意相等向量的傳遞性.
(2)一般地,||+||≥||,當且僅當與同向時取等號.
如圖,在方格紙中,取兩個格子的格點(A,B,C,D,E,F)為起點和終點作向量,寫出滿足下列條件的向量:
　　(1)與相等的向量;
(2)的相反向量;
(3)與的模相等的向量.
【隨堂檢測】
1.下列說法正確的是(　　).
A.零向量沒有大小,沒有方向
B.零向量是唯一沒有方向的向量
C.零向量的長度為0
D.任意兩個模相同的向量方向相同
2.若某人向正東方向行進100米后,再向正南方向行進100米,則此人位移的方向是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.南偏東60° B.南偏東45°
C.南偏東30° D.南偏東15°
3.設(shè)O是正方形ABCD的中心,則向量,,,是(　　).
A.相等向量
B.相反向量
C.有相同起點的向量
D.模相等的向量
4.如圖所示,小正方形的邊長為1,則||=　　　　,||=　　　　,||=　　　　.
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