資源簡介

1.2 課時1 向量的加法運算及其幾何意義
【學習目標】
1.掌握向量的加法運算,能夠運用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量.(直觀想象、數學運算)
2.掌握向量加法的運算律,能熟練地運用它們進行向量運算.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
　　有兩條拖輪牽引一艘輪船,它們的牽引力F1,F2的大小分別是|F1|=3000 N,|F2|=2000 N,牽引繩之間的夾角θ=60°(如圖),如果只用一條牽引力為F3的拖輪來牽引,也能產生跟原來相同的效果.
1.上述情境體現了向量的什么運算
【答案】　體現了向量的加法運算.
2.向量加法運算常用什么法則
【答案】　向量加法運算常用平行四邊形法則和三角形法則.
3.向量的加法運算結果還是向量嗎
【答案】　向量的加法運算結果還是向量.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)a+0=a. (　　)
(2)|a+b|=|a|+|b|. (　　)
(3)a+b=b+a.(　　)
(4)=++. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.化簡++=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】　根據平面向量的加法運算,得++=(+)+=+=.
3.已知向量a表示“向東航行3 km”,b表示“向南航行3 km”,則a+b表示　　　　.
【答案】　向東南方向航行3 km
【解析】　根據題意,由于向量a表示“向東航行3 km”,向量b表示“向南航行3 km”,則a+b表示“向東南方向航行3 km.”
【合作探究】
探究1 三角形法則
問題1:如圖,某人從點A走到點B,再從點B按原方向走到點C,兩次位移的和是什么
【答案】　兩次位移的和為+=.
問題2:如圖,若上題改為從點A走到點B,再從點B按反方向走到點C,兩次位移的和是什么
【答案】　兩次位移的和為+=.
問題3:如圖,某車從點A行駛到點B,再從點B改變方向行駛到點C,則兩次位移的和是什么
【答案】　兩次位移的和為+=.
問題4:兩個位移求和實際上是什么量求和
【答案】　兩個位移求和實際上就是兩個向量求和.
新知生成
已知兩個非零向量a,b,在平面上任取一點O,分別作=a,=b,則定義從O到B的向量為a,b的和,記作a+b,即a+b=+=.
1.向量加法的定義
求向量和的運算稱為向量的加法.
2.向量加法的三角形法則
將兩個向量表示為首尾相接的有向線段來求和的作圖法則,叫作向量加法的三角形法則.
特別提醒:向量求和的多邊形法則
①已知n個向量,依次首尾相接,則由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即為這n個向量的和,這稱為向量求和的多邊形法則.即+++…++=.
②首尾順次相接的若干向量求和,若構成一個封閉圖形,則它們的和為0.
新知運用
例1　如圖,已知向量a,b,利用三角形法則求作向量a+b.
方法指導　用三角形法則畫圖.
【解析】　如圖,在平面內任意取一點O,作=a,=b,則=a+b.
【方法總結】　　應用三角形法則求向量和的基本步驟:①平移向量使之“首尾相接”,即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合;②以第一個向量的起點為起點,并以第二個向量的終點為終點作出的向量,即為兩個向量的和.
如圖所示,求作向量a+b+c.
【解析】　
如圖所示,首先在平面內任取一點O,作向量=a,再作向量=b,則向量=a+b,然后作向量=c,則向量=(a+b)+c=a+b+c.
探究2 平行四邊形法則
　　
問題1:在大型生產車間里,一重物被天車從A處搬運到B處(如圖).它的實際位移是由哪些位移合成的
【答案】　可以看作是由水平運動的分位移與豎直運動的分位移合成的.
問題2:向量加法的三角形法則和平行四邊形法則有什么相同點和不同點
【答案】　(1)兩個法則的使用條件不同.三角形法則適用于任意兩個非零向量求和,平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和.(2)當兩個向量不共線時,兩個法則是一致的.
新知生成
平行四邊形法則
從同一點O出發作有向線段=a,=b,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則對角線就是a與b的和,即=a+b.
記憶秘訣:起點相同,對角線為和.
新知運用
例2　如圖,已知向量a,b,利用平行四邊形法則求作向量a+b.
　　方法指導　用平行四邊形法則畫圖.
【解析】　如圖,在平面內任意取一點O,作=a,=b,作平行四邊形OBCA,則=a+b.
【方法總結】　　利用平行四邊形法則求向量和的步驟:(1)把兩個已知向量的始點平移到同一點;(2)以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形;(3)對角線上以兩向量公共始點為始點的向量就是這兩個已知向量的和.
如圖所示,在正六邊形OABCDE中,若=a,=b,試用向量a,b將,,表示出來.
【解析】　由題意知,四邊形ABPO與四邊形AOEP均為平行四邊形.
由向量的平行四邊形法則知,=+=a+b.
∵=,∴=a+b.
在△AOB中,由向量的三角形法則知,=+=a+a+b=2a+b,
∴=+=2a+b+b=2a+2b,
=+=+=b+a+b=a+2b.
探究3 加法運算律與零向量的加法性質
　　實數的加法滿足交換律,向量的加法是否也滿足呢
問題:根據圖中的平行四邊形ABCD,驗證向量的加法是否滿足交換律.(注:=a,=b)
【答案】　∵=+,
∴=a+b.
∵=+,∴=b+a,∴a+b=b+a.
故向量的加法滿足交換律.
新知生成
1.向量加法的運算律
(1)向量加法的交換律:a+b=b+a對任意兩個向量a,b成立.
(2)向量加法的結合律:(a+b)+c=a+(b+c) 對任意三個向量a,b,c成立.
2.零向量的加法性質
對任意向量a有a+0=　0+a=a　.
新知運用
例3　化簡:
(1)(+)+(+);
(2)++++.
【解析】　(1)(法一)(+)+(+)=(+)+(+)=+=.
(法二)(+)+(+)=+(++)=+0=.
(2)++++=(+)+(++)=+=0.
【方法總結】　　多個向量求和的原則:利用代數方法,通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結合律調整向量相加的順序.
如圖,E,F,G,H分別是梯形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,化簡下列各式:
(1)++;
(2)+++.
【解析】　(1)++=++=++=+=.
(2)+++=+++
=++=+=0.
【隨堂檢測】
1.在正六邊形ABCDEF中,++=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.0
【答案】　D
【解析】　如圖,連接AD,BE,設AD與BE交于點O,
則=,=,
所以++=++=+=0.
故選D.
2.在矩形ABCD中,||=4,||=2,則向量++的長度為(　　).
A.2 B.4 C.12 D.6
【答案】　B
【解析】　∵+=,∴|++|=2||=2=4.
3.已知△ABC的三個頂點A,B,C及平面內一點P滿足+=,則下列結論正確的是(　　).
A.點P在△ABC的內部
B.點P在△ABC的邊AB上
C.點P在AB邊所在的直線上
D.點P在△ABC的外部
【答案】　D
【解析】　
如圖,∵+=,∴根據平行四邊形法則可知,點P在△ABC的外部.
4.如圖所示,P,Q是△ABC的邊BC上的兩點,且+=0.求證:+=+.
【解析】　因為=+,=+,所以+=+++.
又因為+=0,所以+=+.
21.2 課時1 向量的加法運算及其幾何意義
【學習目標】
1.掌握向量的加法運算,能夠運用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量.(直觀想象、數學運算)
2.掌握向量加法的運算律,能熟練地運用它們進行向量運算.(直觀想象、數學運算)
【自主預習】
　　有兩條拖輪牽引一艘輪船,它們的牽引力F1,F2的大小分別是|F1|=3000 N,|F2|=2000 N,牽引繩之間的夾角θ=60°(如圖),如果只用一條牽引力為F3的拖輪來牽引,也能產生跟原來相同的效果.
1.上述情境體現了向量的什么運算
2.向量加法運算常用什么法則
3.向量的加法運算結果還是向量嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)a+0=a. (　　)
(2)|a+b|=|a|+|b|. (　　)
(3)a+b=b+a.(　　)
(4)=++. (　　)
2.化簡++=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
3.已知向量a表示“向東航行3 km”,b表示“向南航行3 km”,則a+b表示　　　　.
【合作探究】
探究1 三角形法則
問題1:如圖,某人從點A走到點B,再從點B按原方向走到點C,兩次位移的和是什么
問題2:如圖,若上題改為從點A走到點B,再從點B按反方向走到點C,兩次位移的和是什么
問題3:如圖,某車從點A行駛到點B,再從點B改變方向行駛到點C,則兩次位移的和是什么
問題4:兩個位移求和實際上是什么量求和
新知生成
已知兩個非零向量a,b,在平面上任取一點O,分別作=a,=b,則定義從O到B的向量為a,b的和,記作a+b,即a+b=+=.
1.向量加法的定義
求向量和的運算稱為向量的加法.
2.向量加法的三角形法則
將兩個向量表示為首尾相接的有向線段來求和的作圖法則,叫作向量加法的三角形法則.
特別提醒:向量求和的多邊形法則
①已知n個向量,依次首尾相接,則由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即為這n個向量的和,這稱為向量求和的多邊形法則.即+++…++=.
②首尾順次相接的若干向量求和,若構成一個封閉圖形,則它們的和為0.
新知運用
例1　如圖,已知向量a,b,利用三角形法則求作向量a+b.
方法指導　用三角形法則畫圖.
【方法總結】　　應用三角形法則求向量和的基本步驟:①平移向量使之“首尾相接”,即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合;②以第一個向量的起點為起點,并以第二個向量的終點為終點作出的向量,即為兩個向量的和.
如圖所示,求作向量a+b+c.
探究2 平行四邊形法則
　　
問題1:在大型生產車間里,一重物被天車從A處搬運到B處(如圖).它的實際位移是由哪些位移合成的
問題2:向量加法的三角形法則和平行四邊形法則有什么相同點和不同點
新知生成
平行四邊形法則
從同一點O出發作有向線段=a,=b,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則對角線就是a與b的和,即=a+b.
記憶秘訣:起點相同,對角線為和.
新知運用
例2　如圖,已知向量a,b,利用平行四邊形法則求作向量a+b.
　　方法指導　用平行四邊形法則畫圖.
【方法總結】　　利用平行四邊形法則求向量和的步驟:(1)把兩個已知向量的始點平移到同一點;(2)以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形;(3)對角線上以兩向量公共始點為始點的向量就是這兩個已知向量的和.
如圖所示,在正六邊形OABCDE中,若=a,=b,試用向量a,b將,,表示出來.
探究3 加法運算律與零向量的加法性質
　　實數的加法滿足交換律,向量的加法是否也滿足呢
問題:根據圖中的平行四邊形ABCD,驗證向量的加法是否滿足交換律.(注:=a,=b)
新知生成
1.向量加法的運算律
(1)向量加法的交換律:a+b=b+a對任意兩個向量a,b成立.
(2)向量加法的結合律:(a+b)+c=a+(b+c) 對任意三個向量a,b,c成立.
2.零向量的加法性質
對任意向量a有a+0=　0+a=a　.
新知運用
例3　化簡:
(1)(+)+(+);
(2)++++.
【方法總結】　　多個向量求和的原則:利用代數方法,通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結合律調整向量相加的順序.
如圖,E,F,G,H分別是梯形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,化簡下列各式:
(1)++;
(2)+++.
【隨堂檢測】
1.在正六邊形ABCDEF中,++=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.0
2.在矩形ABCD中,||=4,||=2,則向量++的長度為(　　).
A.2 B.4 C.12 D.6
3.已知△ABC的三個頂點A,B,C及平面內一點P滿足+=,則下列結論正確的是(　　).
A.點P在△ABC的內部
B.點P在△ABC的邊AB上
C.點P在AB邊所在的直線上
D.點P在△ABC的外部
4.如圖所示,P,Q是△ABC的邊BC上的兩點,且+=0.求證:+=+.
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