資源簡介

1.2 課時2 向量的減法運算
【學習目標】
1.掌握向量的減法運算及其幾何意義,能熟練地進行向量的加減運算.(直觀想象、數學運算)
2.能將向量的減法運算轉化為向量的加法運算.(數學運算)
【自主預習】
1.方向相同且模相等的兩個向量稱為什么向量 方向相反且模相等的兩個向量稱為什么向量
2.零向量的相反向量是什么
.
3.向量減法是向量加法的逆運算嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量. (　　)
(2)向量與是相反向量. (　　)
(3)a-b=b-a. (　　)
(4)兩個相等向量之差等于0. (　　)
2.化簡-++等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
3.(多選題)下列各向量運算的結果與相等的有(　　).
A.+ B.-
C.- D.-
【合作探究】
探究1 向量的減法
　　如圖所示,已知向量a,b.
問題1:根據向量的加法,如何求作a-b
問題2:不借助向量的加法法則,你能直接作出a-b嗎
問題3:在什么條件下,|a-b|=|a|+|b|
新知生成
1.向量的減法
已知兩個向量a,b,求x滿足a+x=b,這樣的運算叫作向量的減法,記為x=b-a,x稱為b與a之差.
2.向量的減法法則
減去一個向量a,等于加上它的相反向量-a,即b-a=b+(-a).
3.位置向量
任取一定點O,從O分別觀測A,B兩點的方向和距離,則點A,B的位置由點O分別到A,B的兩個向量,唯一表示,,分別稱為點A,B的位置向量,也即分別代表了A,B兩點的位置.
4.等式=-的物理意義
位置的改變量=終點位置-起點位置.
新知運用
一、向量減法的幾何意義
例1　如圖所示,已知向量a,b,c,求作向量a+b-c.
方法指導　利用幾何意義法與定義法作出a+b-c.
【方法總結】　　求作兩個向量的差的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
(2)可以直接用向量減法的三角形法則,即把兩個向量的起點重合,則差向量為連接兩個向量的終點,減向量的終點指向被減向量的終點的向量.
如圖所示,O為△ABC內一點,=a,=b,=c.求作:b+c-a.
二、向量減法的運算
例2　化簡下列各式:
(1)(-)-(-);
(2)++--.
方法指導　利用相反向量的概念調整向量的起點和終點,結合向量的加減法法則進行化簡.
【方法總結】　　向量的加減運算主要有兩種解法:一是直接利用向量的加減運算法則;二是引入點O,將各向量統一用,,,等表示進行化簡.
1.如圖,在正六邊形ABCDEF中,與-+相等的向量有　　　　.
①;②; ③;④;⑤+;⑥-;⑦+.
2.化簡:(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
探究2 向量加減法的綜合運用
問題:以向量加法的平行四邊形法則為基礎,能否構造一個圖形將a+b和a-b放在這個圖形中
新知生成
已知向量a,b,那么|a|-|b|與|a±b|及|a|+|b|三者之間的關系為||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
新知運用
例3　(1)在四邊形ABCD中,=,若|-|=|-|,則四邊形ABCD是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不確定
(2)已知||=6,||=9,則|-|的取值范圍是　　　　.
【變式探究】
1.若本例(2)的條件不變,求|+|的取值范圍.
2.將本例(2)中的條件“||=9”改為“||=9”,求||的取值范圍.
【方法總結】　　用向量法解決平面幾何問題的步驟:(1)將平面幾何問題中的量抽象成向量;(2)化歸為向量問題,進行向量運算;(3)將向量問題還原為平面幾何問題.
若||=8,||=5,則||的取值范圍是(　　).
A.[3,8] B.[0,8)
C.[3,13] D.(3,13)
【隨堂檢測】
1.在平行四邊形ABCD中,-=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2.在平行四邊形ABCD中,|+|=|-|,則(　　).
A.=0
B.=0或=0
C.四邊形ABCD是矩形
D.四邊形ABCD是菱形
3.如圖,在四邊形ABCD中,設=a,=b,=c,則=(　　).
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
4.在邊長為1的等邊△ABC中,|-|的值為(　　).
A.1 B.2 C. D.
21.2 課時2 向量的減法運算
【學習目標】
1.掌握向量的減法運算及其幾何意義,能熟練地進行向量的加減運算.(直觀想象、數學運算)
2.能將向量的減法運算轉化為向量的加法運算.(數學運算)
【自主預習】
1.方向相同且模相等的兩個向量稱為什么向量 方向相反且模相等的兩個向量稱為什么向量
【答案】　方向相同且模相等的兩個向量稱為相等向量.方向相反且模相等的兩個向量稱為相反向量.
2.零向量的相反向量是什么
【答案】　零向量的相反向量仍是零向量.
3.向量減法是向量加法的逆運算嗎
【答案】　是.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量. (　　)
(2)向量與是相反向量. (　　)
(3)a-b=b-a. (　　)
(4)兩個相等向量之差等于0. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.化簡-++等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　原式=(+)+(+)=+0=.
3.(多選題)下列各向量運算的結果與相等的有(　　).
A.+ B.-
C.- D.-
【答案】　AD
【解析】　由題意知,A,D正確.
【合作探究】
探究1 向量的減法
　　如圖所示,已知向量a,b.
問題1:根據向量的加法,如何求作a-b
【答案】　先作出-b,再按三角形法則或平行四邊形法則作出a+(-b).
問題2:不借助向量的加法法則,你能直接作出a-b嗎
【答案】　
能.如圖,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a-b,即a-b可以表示為從向量b的終點指向a的終點的向量.
問題3:在什么條件下,|a-b|=|a|+|b|
【答案】　當a,b至少有一者為0或a,b均為非零向量且反向時成立.
新知生成
1.向量的減法
已知兩個向量a,b,求x滿足a+x=b,這樣的運算叫作向量的減法,記為x=b-a,x稱為b與a之差.
2.向量的減法法則
減去一個向量a,等于加上它的相反向量-a,即b-a=b+(-a).
3.位置向量
任取一定點O,從O分別觀測A,B兩點的方向和距離,則點A,B的位置由點O分別到A,B的兩個向量,唯一表示,,分別稱為點A,B的位置向量,也即分別代表了A,B兩點的位置.
4.等式=-的物理意義
位置的改變量=終點位置-起點位置.
新知運用
一、向量減法的幾何意義
例1　如圖所示,已知向量a,b,c,求作向量a+b-c.
方法指導　利用幾何意義法與定義法作出a+b-c.
【解析】　(法一:幾何意義法)如圖①所示,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,則=a+b-c.
(法二:定義法)如圖②所示,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a+b,再作=-c,連接OC,則=a+b-c.
【方法總結】　　求作兩個向量的差的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
(2)可以直接用向量減法的三角形法則,即把兩個向量的起點重合,則差向量為連接兩個向量的終點,減向量的終點指向被減向量的終點的向量.
如圖所示,O為△ABC內一點,=a,=b,=c.求作:b+c-a.
【解析】　(法一)以,為鄰邊作 OBDC,連接OD,AD,
則=+=b+c,=-=b+c-a.
(法二)作==b,
連接AD,則=-=c-a,
=+=c-a+b=b+c-a.
二、向量減法的運算
例2　化簡下列各式:
(1)(-)-(-);
(2)++--.
方法指導　利用相反向量的概念調整向量的起點和終點,結合向量的加減法法則進行化簡.
【解析】(1)(法一)
(-)-(-)=--+=+++=(+)+(+)=+=0.
(法二)(-)-(-)=--+
=(-)+(-)=+=0.
(法三)設O為平面內任意一點,連接OA,OB,OC,OD,
則(-)-(-)=--+
=(-)-(-)-(-)+(-)
=--+-++-=0.
(2)(法一)++--=++++=(++)+(+)=0+=.
(法二)在平面內任取一點O,連接OA,OB,OC,OD,
則++--
=(-)+(-)+(-)-(-)-(-)
=-+-+--+-+
=-=.
【方法總結】　　向量的加減運算主要有兩種解法:一是直接利用向量的加減運算法則;二是引入點O,將各向量統一用,,,等表示進行化簡.
1.如圖,在正六邊形ABCDEF中,與-+相等的向量有　　　　.
①;②; ③;④;⑤+;⑥-;⑦+.
【答案】　①
【解析】　-+=+=.
+=+=≠;
-=≠;
+=≠.
2.化簡:(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
【解析】　(1)(-)-(-)
=-=.
(2)(++)-(--)
=+-+(+)
=+-+
=-+
=+(+)
=+=0.
探究2 向量加減法的綜合運用
問題:以向量加法的平行四邊形法則為基礎,能否構造一個圖形將a+b和a-b放在這個圖形中
【答案】　
如圖所示,在平行四邊形ABCD中,=a,=b,則a+b=,a-b=.
新知生成
已知向量a,b,那么|a|-|b|與|a±b|及|a|+|b|三者之間的關系為||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
新知運用
例3　(1)在四邊形ABCD中,=,若|-|=|-|,則四邊形ABCD是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不確定
(2)已知||=6,||=9,則|-|的取值范圍是　　　　.
【答案】　(1)B　(2)[3,15]
【解析】　(1)∵=,∴四邊形ABCD為平行四邊形,又∵|-|=|-|,∴||=||,∴四邊形ABCD為矩形.
(2)∵|||-|||≤|-|≤||+||,且||=9,||=6,∴3≤|-|≤15.
當與同向時,|-|=3;
當與反向時,|-|=15.
∴|-|的取值范圍為[3,15].
【變式探究】
1.若本例(2)的條件不變,求|+|的取值范圍.
【解析】　∵|||-|||≤|+|≤||+||,且||=6,||=9,∴3≤|+|≤15.
當與同向時,|+|=15;
當與反向時,|+|=3.
∴|+|的取值范圍為[3,15].
2.將本例(2)中的條件“||=9”改為“||=9”,求||的取值范圍.
【解析】　∵=-,且||=||=6,||=9,又∵|||-|||≤|-|≤||+||,
∴3≤||≤15.
當與同向時,||=3;
當與反向時,||=15.
∴||的取值范圍為[3,15].
【方法總結】　　用向量法解決平面幾何問題的步驟:(1)將平面幾何問題中的量抽象成向量;(2)化歸為向量問題,進行向量運算;(3)將向量問題還原為平面幾何問題.
若||=8,||=5,則||的取值范圍是(　　).
A.[3,8] B.[0,8)
C.[3,13] D.(3,13)
【答案】　C
【解析】　=-,當,同向時,||=8-5=3;當,反向時,||=8+5=13;當AB,AC不在同一條直線上時,3<||<13.故選C.
【隨堂檢測】
1.在平行四邊形ABCD中,-=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　-==.
2.在平行四邊形ABCD中,|+|=|-|,則(　　).
A.=0
B.=0或=0
C.四邊形ABCD是矩形
D.四邊形ABCD是菱形
【答案】　C
【解析】　∵+與-分別是平行四邊形ABCD的兩條對角線,且|+|=|-|,∴四邊形ABCD是矩形.
3.如圖,在四邊形ABCD中,設=a,=b,=c,則=(　　).
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
【答案】　A
【解析】　=++=a-b+c.
4.在邊長為1的等邊△ABC中,|-|的值為(　　).
A.1 B.2 C. D.
【答案】　D
【解析】　如圖,作菱形ABCD,
則|-|=|-|=||=.
2

展開更多......

收起↑