資源簡介

1.3 課時1 向量的實數倍與共線向量
【學習目標】
1.掌握向量數乘運算及其幾何意義,掌握向量數乘運算的運算律,能熟練地進行向量數乘運算.(邏輯推理、數學運算)
2.掌握平行向量的條件,會根據平行向量的條件判斷兩個向量是否平行.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.實數與向量相乘結果是實數還是向量
2.非零向量a與向量b共線的充要條件是什么
3.按照向量夾角的定義,如圖所示,∠BAC是向量與的夾角嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若向量b與a共線,則存在唯一的實數λ使b=λa. (　　)
(2)若b=λa,則a與b共線. (　　)
(3)對于非零向量a,向量-6a與向量2a方向相反. (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(多選題)設a是非零向量,λ是非零實數,下列結論錯誤的是(　　).
A.a與-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|
C.a與λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a
3.如圖,已知AM是△ABC的邊BC上的中線,若=a,=b,則=(　　).
A.(a-b)
B.-(a-b)
C.(a+b)
D.-(a+b)
【合作探究】
探究1 向量的實數倍
　　一物體做勻速直線運動,1秒鐘的位移對應的向量為a,在同一方向上前進3秒鐘的位移對應的向量是3a嗎 在其反方向上運動3秒鐘的位移對應的向量又是多少
問題1:物體的位移是多少
問題2:向量3a,-3a與a從長度和方向上分析具有怎樣的關系
問題3:λa的幾何意義是什么
新知生成
1.向量的數乘
一般地,實數λ與向量a的乘積是一個　向量　,記作　λa　,稱為a的λ倍,它的長度|λa|=　|λ||a|　.
當λ≠0且a≠0時,λa的方向:
當λ>0時,與a的方向　相同　;
當λ<0時,與a的方向　相反　;
當λ=0或a=0時,λa=0a=0或λa=λ0=0.
求向量的實數倍的運算稱為向量的數乘.
2.向量的線性運算
把向量的加法、減法、數乘運算統稱為向量的線性運算.向量線性運算的結果仍是一個向量.
新知運用
例1　已知點C在線段AB上,且=,則等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.- D.-
【方法總結】　　(1)數乘向量λa中,實數λ稱為向量a的系數.
(2)實數與向量積的運算,結果仍是一個向量,它可以看成實數與實數積的定義的推廣,但不能進行加減運算,如λ+a,λ-a均無意義.
(3)數乘向量主要用來解決平面幾何中的平行、相似等問題.
下列各式中不表示向量的是(　　).
A.0·a
B.a+3b
C.|3a|
D.e(x,y∈R,且x≠y)
探究2　共線向量
　　如圖,在平行四邊形ABCD中,E為DC的中點.
問題1:AB與DE的關系是什么
問題2:與,與是否共線
問題3:若G為線段CD上任意一點,是否存在λ∈R滿足=λ
新知生成
1.向量共線
當非零向量a,b方向相同或相反時,我們既稱a,b共線,也稱a,b平行,記作a∥b.
規定:零向量與所有的向量平行.
2.共線向量定理
兩個向量平行 其中一個向量是另一個向量的實數倍.
即:a∥b 存在實數λ,使得b=λa或a=λb.
新知運用
例2　設A,B,C,D中的任何三個點不共線,用向量語言描述下列幾何圖形的特征.
　　(1)四邊形ABCD是平行四邊形;
(2)在梯形ABCD中,上底AD長是下底BC長的一半.
根據下列條件,分別判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明.
(1)=;
(2)=;
(3)=,且||=||.
探究3　向量的夾角
問題1:如圖所示, 在△OAB中,OA⊥AB,向量c與向量a是否共線 向量a和向量b相等嗎 它們之間形成了怎樣的特殊關系 特殊之處是什么
問題2:平面中的任意兩個向量都可以平移至同一起點,它們存在夾角嗎 若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎
新知生成
向量的夾角:設a,b是兩個非零向量,任選一點O,作=a,=b,則射線OA,OB所夾的最小非負角∠AOB=θ稱為向量a,b的夾角,記作,取值范圍規定為[0,π].
當θ=0時,a,b方向相同;
當θ=π時,a,b方向相反;
當θ=時,a與b垂直,記作a⊥b.
可以規定零向量0與a的夾角為0,零向量與任一向量平行,也可以規定0與a的夾角為,零向量與任一向量垂直.
新知運用
例3　已知非零向量a,b滿足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4.
(1)求向量a,b的夾角;
(2)求向量a與a+b夾角的余弦值.
【方法總結】　　求夾角要分清哪個是向量的夾角,按照向量夾角的定義,只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩個向量的夾角.
已知非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a-b|,作=a,=a+b,則∠AOB=　　　　.
【隨堂檢測】
1.已知λ,μ∈R,則在下列各命題中,真命題的個數為(　　).
①當λ<0,a≠0時,λa與a的方向一定相反;
②當λ>0,a≠0時,λa與a的方向一定相同;
③當λμ>0,a≠0時,λa與μa的方向一定相同;
④當λμ<0,a≠0時,λa與μa的方向一定相反.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若|a|=5,|b|=7,且 a 與 b 的方向相反,則 a=(　　).
A.b B.-b C.b D.-b
3.如圖,在正方形ABCD中,E是DC的中點,F是BC上靠近點B的一個三等分點,那么=(　　).
A.-
B.+
C.+
D.-
4.同一平面內的三個單位向量a,b,c兩兩夾角都是,則a-c與a+b的夾角為　　　　.
21.3 課時1 向量的實數倍與共線向量
【學習目標】
1.掌握向量數乘運算及其幾何意義,掌握向量數乘運算的運算律,能熟練地進行向量數乘運算.(邏輯推理、數學運算)
2.掌握平行向量的條件,會根據平行向量的條件判斷兩個向量是否平行.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.實數與向量相乘結果是實數還是向量
【答案】　是向量.
2.非零向量a與向量b共線的充要條件是什么
【答案】　存在唯一實數λ,使b=λa.
3.按照向量夾角的定義,如圖所示,∠BAC是向量與的夾角嗎
【答案】　∠BAC不是向量與的夾角.如圖,作=,∠BAD才是向量與的夾角.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若向量b與a共線,則存在唯一的實數λ使b=λa. (　　)
(2)若b=λa,則a與b共線. (　　)
(3)對于非零向量a,向量-6a與向量2a方向相反. (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.(多選題)設a是非零向量,λ是非零實數,下列結論錯誤的是(　　).
A.a與-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|
C.a與λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a
【答案】　ABD　
【解析】　當λ取負數時,a與-λa的方向是相同的,選項A錯誤;當|λ|<1時,|-λa|≥|a|不成立,選項B錯誤;因為λ≠0,所以λ2一定是正數,故a與λ2a的方向相同,選項C正確.|-λa|表示一個數,|λ|a表示一個向量,不可能相等,選項D錯誤.故選ABD.
3.如圖,已知AM是△ABC的邊BC上的中線,若=a,=b,則=(　　).
A.(a-b)
B.-(a-b)
C.(a+b)
D.-(a+b)
【答案】　C
【解析】　因為M是BC的中點,所以=(a+b).
【合作探究】
探究1 向量的實數倍
　　一物體做勻速直線運動,1秒鐘的位移對應的向量為a,在同一方向上前進3秒鐘的位移對應的向量是3a嗎 在其反方向上運動3秒鐘的位移對應的向量又是多少
問題1:物體的位移是多少
【答案】　類比數的運算,前進3秒鐘的位移是3a,反向運動3秒鐘的位移是-3a.
問題2:向量3a,-3a與a從長度和方向上分析具有怎樣的關系
【答案】　3a的長度是a的長度的3倍,它的方向與向量a的方向相同.-3a的長度是a的長度的3倍,它的方向與向量a的方向相反.
問題3:λa的幾何意義是什么
【答案】　λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.當|λ|>1時,表示a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的|λ|倍.
新知生成
1.向量的數乘
一般地,實數λ與向量a的乘積是一個　向量　,記作　λa　,稱為a的λ倍,它的長度|λa|=　|λ||a|　.
當λ≠0且a≠0時,λa的方向:
當λ>0時,與a的方向　相同　;
當λ<0時,與a的方向　相反　;
當λ=0或a=0時,λa=0a=0或λa=λ0=0.
求向量的實數倍的運算稱為向量的數乘.
2.向量的線性運算
把向量的加法、減法、數乘運算統稱為向量的線性運算.向量線性運算的結果仍是一個向量.
新知運用
例1　已知點C在線段AB上,且=,則等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.- D.-
【答案】　D
【解析】　∵=,∴=-,∴=-.
故選D.
【方法總結】　　(1)數乘向量λa中,實數λ稱為向量a的系數.
(2)實數與向量積的運算,結果仍是一個向量,它可以看成實數與實數積的定義的推廣,但不能進行加減運算,如λ+a,λ-a均無意義.
(3)數乘向量主要用來解決平面幾何中的平行、相似等問題.
下列各式中不表示向量的是(　　).
A.0·a
B.a+3b
C.|3a|
D.e(x,y∈R,且x≠y)
【答案】　C
【解析】　向量的數乘運算結果均為向量,顯然只有|3a|不是向量.
探究2　共線向量
　　如圖,在平行四邊形ABCD中,E為DC的中點.
問題1:AB與DE的關系是什么
【答案】　AB∥DE且AB=2DE.
問題2:與,與是否共線
【答案】　共線.
問題3:若G為線段CD上任意一點,是否存在λ∈R滿足=λ
【答案】　存在.
新知生成
1.向量共線
當非零向量a,b方向相同或相反時,我們既稱a,b共線,也稱a,b平行,記作a∥b.
規定:零向量與所有的向量平行.
2.共線向量定理
兩個向量平行 其中一個向量是另一個向量的實數倍.
即:a∥b 存在實數λ,使得b=λa或a=λb.
新知運用
例2　設A,B,C,D中的任何三個點不共線,用向量語言描述下列幾何圖形的特征.
　　(1)四邊形ABCD是平行四邊形;
(2)在梯形ABCD中,上底AD長是下底BC長的一半.
【解析】　由共線(平行)向量基本定理,得:
(1)=且=(如圖①).
(2)=(如圖②).
根據下列條件,分別判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明.
(1)=;
(2)=;
(3)=,且||=||.
【解析】　(1)∵=,∴AD∥BC,AD=BC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
(2)∵=,
∴AD∥BC,AD≠BC.
∴四邊形ABCD是梯形.
(3)∵=,且||=||,
∴四邊形ABCD是有一組鄰邊相等的平行四邊形.
即四邊形ABCD是菱形.
探究3　向量的夾角
問題1:如圖所示, 在△OAB中,OA⊥AB,向量c與向量a是否共線 向量a和向量b相等嗎 它們之間形成了怎樣的特殊關系 特殊之處是什么
【答案】　圖中向量c與向量a不共線,向量a和向量b不相等,因為OA⊥AB,所以向量a和向量b垂直,特殊之處在于向量a和向量b所成的角是90°.
問題2:平面中的任意兩個向量都可以平移至同一起點,它們存在夾角嗎 若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎
【答案】　存在夾角,不一樣.
新知生成
向量的夾角:設a,b是兩個非零向量,任選一點O,作=a,=b,則射線OA,OB所夾的最小非負角∠AOB=θ稱為向量a,b的夾角,記作,取值范圍規定為[0,π].
當θ=0時,a,b方向相同;
當θ=π時,a,b方向相反;
當θ=時,a與b垂直,記作a⊥b.
可以規定零向量0與a的夾角為0,零向量與任一向量平行,也可以規定0與a的夾角為,零向量與任一向量垂直.
新知運用
例3　已知非零向量a,b滿足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4.
(1)求向量a,b的夾角;
(2)求向量a與a+b夾角的余弦值.
【解析】　
(1)如圖所示,設=a,=b,
則||=|a-b|,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則||=|a+b|,
由于(+1)2+(-1)2=42,故||2+||2=||2,
所以△OAB是直角三角形,所以∠AOB=90°,即向量a,b的夾角為90°.
(2)由(1)知OA⊥OB,所以平行四邊形OACB是矩形,向量a與a+b夾角為∠AOC,
在Rt△AOC中,cos∠AOC===,
　　故向量a與a+b夾角的余弦值為.
【方法總結】　　求夾角要分清哪個是向量的夾角,按照向量夾角的定義,只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩個向量的夾角.
已知非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a-b|,作=a,=a+b,則∠AOB=　　　　.
【答案】　30°
【解析】　
構造如圖所示的平行四邊形OABC,=a,=a+b,則=b,=a-b,則△AOC為正三角形,故∠COA=60°,又OB平分∠COA,則∠AOB=30°.
【隨堂檢測】
1.已知λ,μ∈R,則在下列各命題中,真命題的個數為(　　).
①當λ<0,a≠0時,λa與a的方向一定相反;
②當λ>0,a≠0時,λa與a的方向一定相同;
③當λμ>0,a≠0時,λa與μa的方向一定相同;
④當λμ<0,a≠0時,λa與μa的方向一定相反.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　D
【解析】　由λ與向量a的積λa的方向規定,易知①②為真命題.對于命題③④,當λμ>0時,λ,μ同正或同負,∴λa與μa都與a同向,或者都與a反向,∴λa與μa同向;當λμ<0時,則λ與μ異號,λa與μa中,一個與a同向,一個與a反向,∴λa與μa反向.故③④為真命題.
2.若|a|=5,|b|=7,且 a 與 b 的方向相反,則 a=(　　).
A.b B.-b C.b D.-b
【答案】　B
【解析】　∵a與b反向,∴a=λb(λ<0),∴|a|=-λ|b|,即-7λ=5,解得λ=-,
∴a=-b.故選B.
3.如圖,在正方形ABCD中,E是DC的中點,F是BC上靠近點B的一個三等分點,那么=(　　).
A.-
B.+
C.+
D.-
【答案】　D
【解析】　=+=+=-.
4.同一平面內的三個單位向量a,b,c兩兩夾角都是,則a-c與a+b的夾角為　　　　.
【答案】　
【解析】　
如圖,作=a,=b,=c,則∠AOB=∠BOC=∠AOC=,
=a+b,=a-c,將平移至,則∠ACO就是a-c與a+b的夾角.
在△ACO中,∠AOC=,又||=||=1,所以∠ACO=.
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