資源簡介

1.3 課時2 共線向量的運算與數乘運算律
【學習目標】
1.掌握共線向量的運算.(邏輯推理、數學運算)
2.掌握向量的數乘運算律,并能進行有關的計算.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
　　一重物從高空自由落下,由自由落體運動的速度公式vt=gt可知,它在1 s末和2 s末的速度大小分別為|v1|=9.8 m/s和|v2|=19.6 m/s.顯然v2=2v1,并且方向都是豎直向下的.
1.上述問題反映了向量的何種運算呢 v1與v2是否共線
【答案】　向量的數乘運算,共線.
2.向量數乘運算滿足結合律、分配律嗎
【答案】　滿足.
3.什么是單位向量 把所有單位向量的起點移到同一點,終點構成的圖形是什么
【答案】　長度為1的向量稱為單位向量.把所有單位向量的起點移到同一點,終點構成的圖形是圓.
1.下列運算正確的個數是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】　C
【解析】　根據向量數乘運算和加減運算規律知①②正確;③(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量,而不是0,所以該運算錯誤.所以運算正確的個數為2.
2.化簡4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.
【答案】　10a
【解析】　4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
3.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,則x=　　　　.
【答案】　4b-3a
【解析】　由已知,得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,
所以x+3a-4b=0,
所以x=4b-3a.
【合作探究】
探究1 共線向量的運算
　　在四邊形ABCD中,已知=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b.
問題1:如何判斷四邊形ABCD的形狀
【答案】　∵=++=a+2b-4a-b-5a-3b=2,
由向量共線的定義知AD∥BC,且AD≠BC,∴四邊形ABCD為梯形.
問題2:若b=2a,則b與a共線嗎
【答案】　根據共線向量及向量數乘的意義可知,b與a共線.
問題3:若b與非零向量a共線,則是否存在λ滿足b=λa 若b與向量a共線呢
【答案】　若b與非零向量a共線,則存在λ滿足b=λa;若b與向量a共線,當a=0,b≠0時,不存在λ滿足b=λa.
新知生成
1.單位向量
把長度為1的向量稱為單位向量.它的長度等于單位長度.對于任一非零向量a,都可得到與它方向相同的唯一單位向量e=a.
2.共線向量的運算
一般地,在一條直線上任取單位向量e,則直線上任何向量a都可寫成a=ae,其中實數a的絕對值|a|代表向量a的模,a的正負代表a與e的方向相同或相反.反過來,任意給定一個實數a,我們總能作一個向量a=ae,使它的長度等于這個實數a的絕對值,方向與實數a的符號一致.
新知運用
例1　已知e1,e2是兩個不共線的向量,若=e1-4e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求證:A,B,D三點共線.
方法指導　先表示出和,證明=λ,然后根據向量共線定理證A,B,D三點共線.
【解析】　∵=e1+3e2,=2e1-e2,∴=-=e1-4e2.
又=e1-4e2,∴=,∴∥.
∵AB與BD有公共點B,∴A,B,D三點共線.
【方法總結】　　證明或判斷三點共線的方法:(1)一般來說,要判定A,B,C三點是否共線,只需看是否存在實數λ,使得=λ(或=λ等)即可.(2)利用結論:若A,B,C三點共線,O為直線外一點 存在實數x,y,使=x+y,且x+y=1.
對于向量a,b有下列表示:
①a=2e,b=-2e;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=4e1-e2,b=e1-e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
其中,向量a,b一定共線的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
【答案】　A
【解析】　①中b=-a,則a,b共線;②中b=-2a,則a,b共線;③中a=4b,則a,b共線.故選A.
探究2　向量數乘的運算律
　　已知向量a,有以下三個結論:
(1)3(2a)=6a;
(2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
問題:請通過作圖判斷以上結論是否成立
【答案】　各式均是成立的(如圖).
(1)3(2a)=6a;
(2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
新知生成
數乘運算律
一般地,設a,b是任意向量,x,y是任意實數,則以下運算律成立:
(1)對實數加法的分配律:(x+y)a=　xa+ya　;
(2)對實數乘法的結合律:x(ya)=　(xy)a　;
(3)對向量加法的分配律:x(a+b)=　xa+xb　.
新知運用
一、向量的線性運算
例2　化簡6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b).
【解析】　原式=6a-(4a-b-10a+15b)+a+7b=(6-4+10+1)a+(1-15+7)b=13a-7b.
【方法總結】　　向量線性運算的基本方法是類比法.向量的數乘運算類似于代數多項式的運算,例如,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”是指向量,實數看作是向量的系數.
化簡:(1)-2;
(2).
【解析】　(1)原式=-a-b=a+b-a-b=0.
(2)原式==a+b
==a-b.
二、利用向量共線求參數值
例3　已知向量m,n不是共線向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.
(1)判斷a,b是否平行;
(2)若a∥c,求x的值.
方法指導　利用共線向量基本定理可解決兩類向量問題:(1)判定向量平行(先假設平行,用基本定理列方程,根據λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,其中e1,e2不共線,列實數方程組,求解);(2)已知向量求參數.
【解析】　(1)顯然a為非零向量,若a∥b,則存在實數λ,使得b=λa,即6m-4n=λ(3m+2n),
∴解得∴λ不存在,∴a與b不平行.
(2)∵a∥c,∴存在實數r,使得c=ra.
∴m+xn=r(3m+2n),
∴解得x=.
【方法總結】　　判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一的實數λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共線求λ,常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解.若兩向量不共線,則必有向量的系數為零,利用待定系數法建立方程,解方程從而求得λ的值.
　　已知A,B,P三點共線,O為直線外任意一點,若=x+y,求x+y的值.
【解析】　因為A,B,P三點共線,所以向量,在同一條直線上.由向量共線定理可知,必定存在實數λ,使=λ,
即-=λ(-),所以=(1-λ)+λ,
故x=1-λ,y=λ,即x+y=1.
【隨堂檢測】
1.已知a,b為非零不共線向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),則(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.A,B,D三點共線 B.A,B,C三點共線
C.B,C,D三點共線 D.A,C,D三點共線
【答案】　A
【解析】　因為=+=-2a+8b+3a-3b=a+5b=,所以A,B,D三點共線.
2.2(3a-2b)-3(a-b)=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3a-b B.-b
C.9a-7b D.9a-b
【答案】　A
【解析】　2(3a-2b)-3(a-b)=6a-4b-3a+3b=3a-b.
3.若點M是△ABC所在平面內的一點,滿足=+,則=(　　).
A. B.4 C. D.3
【答案】　C
【解析】　∵=+=(+)+(+)=++,
∴+=0,∴=.
故選C.
4.設e1與e2是兩個不共線向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三點共線,則k=　　　　.
【答案】　-
【解析】　因為A,B,D三點共線,所以存在實數λ,使得=λ,
又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,
所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,
所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,
所以解得k=-,λ=.
21.3 課時2 共線向量的運算與數乘運算律
【學習目標】
1.掌握共線向量的運算.(邏輯推理、數學運算)
2.掌握向量的數乘運算律,并能進行有關的計算.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
　　一重物從高空自由落下,由自由落體運動的速度公式vt=gt可知,它在1 s末和2 s末的速度大小分別為|v1|=9.8 m/s和|v2|=19.6 m/s.顯然v2=2v1,并且方向都是豎直向下的.
1.上述問題反映了向量的何種運算呢 v1與v2是否共線
2.向量數乘運算滿足結合律、分配律嗎
3.什么是單位向量 把所有單位向量的起點移到同一點,終點構成的圖形是什么
1.下列運算正確的個數是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.化簡4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.
【解析】　4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
3.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,則x=　　　　.
【合作探究】
探究1 共線向量的運算
　　在四邊形ABCD中,已知=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b.
問題1:如何判斷四邊形ABCD的形狀
問題2:若b=2a,則b與a共線嗎
問題3:若b與非零向量a共線,則是否存在λ滿足b=λa 若b與向量a共線呢
新知生成
1.單位向量
把長度為1的向量稱為單位向量.它的長度等于單位長度.對于任一非零向量a,都可得到與它方向相同的唯一單位向量e=a.
2.共線向量的運算
一般地,在一條直線上任取單位向量e,則直線上任何向量a都可寫成a=ae,其中實數a的絕對值|a|代表向量a的模,a的正負代表a與e的方向相同或相反.反過來,任意給定一個實數a,我們總能作一個向量a=ae,使它的長度等于這個實數a的絕對值,方向與實數a的符號一致.
新知運用
例1　已知e1,e2是兩個不共線的向量,若=e1-4e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求證:A,B,D三點共線.
方法指導　先表示出和,證明=λ,然后根據向量共線定理證A,B,D三點共線.
【方法總結】　　證明或判斷三點共線的方法:(1)一般來說,要判定A,B,C三點是否共線,只需看是否存在實數λ,使得=λ(或=λ等)即可.(2)利用結論:若A,B,C三點共線,O為直線外一點 存在實數x,y,使=x+y,且x+y=1.
對于向量a,b有下列表示:
①a=2e,b=-2e;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=4e1-e2,b=e1-e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
其中,向量a,b一定共線的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
探究2　向量數乘的運算律
　　已知向量a,有以下三個結論:
(1)3(2a)=6a;
(2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
問題:請通過作圖判斷以上結論是否成立
新知生成
數乘運算律
一般地,設a,b是任意向量,x,y是任意實數,則以下運算律成立:
(1)對實數加法的分配律:(x+y)a=　xa+ya　;
(2)對實數乘法的結合律:x(ya)=　(xy)a　;
(3)對向量加法的分配律:x(a+b)=　xa+xb　.
新知運用
一、向量的線性運算
例2　化簡6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b).
【方法總結】　　向量線性運算的基本方法是類比法.向量的數乘運算類似于代數多項式的運算,例如,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”是指向量,實數看作是向量的系數.
化簡:(1)-2;
(2).
【解析】　(1)原式=-a-b=a+b-a-b=0.
(2)原式==a+b
==a-b.
二、利用向量共線求參數值
例3　已知向量m,n不是共線向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.
(1)判斷a,b是否平行;
(2)若a∥c,求x的值.
方法指導　利用共線向量基本定理可解決兩類向量問題:(1)判定向量平行(先假設平行,用基本定理列方程,根據λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,其中e1,e2不共線,列實數方程組,求解);(2)已知向量求參數.
【方法總結】　　判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一的實數λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共線求λ,常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解.若兩向量不共線,則必有向量的系數為零,利用待定系數法建立方程,解方程從而求得λ的值.
　　已知A,B,P三點共線,O為直線外任意一點,若=x+y,求x+y的值.
【隨堂檢測】
1.已知a,b為非零不共線向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),則(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.A,B,D三點共線 B.A,B,C三點共線
C.B,C,D三點共線 D.A,C,D三點共線
2.2(3a-2b)-3(a-b)=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3a-b B.-b
C.9a-7b D.9a-b
3.若點M是△ABC所在平面內的一點,滿足=+,則=(　　).
A. B.4 C. D.3
4.設e1與e2是兩個不共線向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三點共線,則k=　　　　.
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