資源簡介

1.4 課時1 向量的分解及坐標表示
【學習目標】
1.理解平面向量基本定理及其意義.(數學抽象)
2.會用基表示平面向量.(數學抽象、邏輯推理)
3.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標表示.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
1.如果e1,e2是兩個不共線的確定向量,那么與e1,e2在同一平面內的任一向量a能否用e1,e2表示 依據是什么
2.如果e1,e2是共線向量,那么向量a能否用e1,e2表示 為什么
3.零向量能否作為基中的向量 為什么
4.設單位向量e1,e2的夾角=90°,非零向量v的模|v|=r,且=α,則v在{e1,e2}下的坐標是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)平面內任意兩個向量都可以作為平面內所有向量的一組基. (　　)
(2){0,e}可以作為基. (　　)
(3)平面向量基本定理中基的選取是唯一的. (　　)
(4)若e1,e2是同一平面內兩個不共線向量,則λ1e1+λ2e2(λ1,λ2為實數)可以表示該平面內所有向量. (　　)
2.設e1,e2是同一平面內的兩個向量,則(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.e1,e2一定平行
B.{e1,e2}是該平面的一個基
C.對該平面內的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
D.若e1,e2不共線,則對該平面內的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
3.(多選題)設O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點,下列向量組中可作為該平面其他向量基的是(　　).
A.與 B.與
C.與 D.與
4.已知向量e1,e2不共線,實數x,y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y的值為　　　　.
【合作探究】
探究1 平面向量基本定理　
　　如圖(1),設e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量,a是這一平面內與e1,e2都不共線的向量,如圖(2),在平面內任取一點O,作=e1,=e2,=a.
　　問題1:上圖中將a按e1, e2的方向分解,你有什么發現
問題2:若向量a與e1或e2共線,a還能用a=λ1e1+λ2e2表示嗎
問題3:當a是零向量時,a還能用a=λ1e1+λ2e2表示嗎
問題4:設e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量,在a=λ1e1+λ2e2中,λ1,λ2是否唯一
新知生成
1.平面向量基本定理:設e1,e2是平面上兩個不共線向量,則(1)平面上每個向量v都可以分解為e1,e2的實數倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是實數.
(2)實數x,y由v=xe1+ye2唯一決定,也就是若v=xe1+ye2=x'e1+y'e2,則x=x',y=y'.
2.基與坐標:我們稱不共線向量e1,e2組成平面上的一組基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的系數x,y組成的有序數組(x,y),稱為v在這組基下的坐標.
新知運用
一、對基的理解
例1　(多選題)設{e1,e2}是平面內所有向量的一組基,則下列四組向量中,能作為基的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2
C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2
【方法總結】　　考查兩個向量是否能構成基,主要看兩向量是否不共線.此外,一個平面的基一旦確定,那么平面上任意一個向量都可以由這個基唯一線性表示出來.
若向量a,b不共線,則c=2a-b,d=3a-2b,試判斷{c,d}能否作為基.
二、用基表示向量
例2　
如圖所示,在△ABC中,M是AB的中點,且=,BN與CM相交于點E,設=a,=b,求在基{a,b}下的坐標.
方法指導　用基表示平面向量,首先要充分利用向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則,然后根據坐標定義求解.
【方法總結】　　將兩個不共線的向量作為基表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運用向量的線性運算法則對所求向量不斷進行轉化,直至能用基表示為止;另一種是通過列向量方程或方程組的形式,利用基表示向量的唯一性求解.
如圖所示,在 ABCD中,E,F分別為BC,DC邊上的中點,DE與BF交于點G,若=a,=b,求,在基{a,b}下的坐標.
探究2　平面向量的正交分解與坐標表示
　　衛星運載火箭每一時刻的速度都有確定的大小和方向,為了便于分析,需要將整個飛行過程中的速度分解為水平和豎直兩個方向的速度.
問題1:如何將整個飛行過程中的速度分解為水平和豎直兩個方向的速度呢
問題2:我們知道,在平面直角坐標系中,每一個點都可用一對有序實數對(即它的坐標)表示,那么如何表示坐標平面內的一個向量呢
新知生成
1.向量正交分解
把一個向量分解為兩個互相　垂直　的向量,叫作把向量正交分解.
2.標準正交基
平面上相互垂直的單位向量組成的基稱為標準正交基,記作{i,j}.
3.設單位向量e1,e2的夾角=90°,非零向量v的模|v|=r且=α,則v=(rcos α,rsin α).
新知運用
例3　
如圖,在平面直角坐標系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b,四邊形OABC為平行四邊形.
(1)求向量a,b的坐標;
(2)求點B的坐標.
【方法總結】　　求點、向量坐標的常用方法
(1)求點的坐標:可利用已知條件,求出該點相對應坐標原點的位置向量的坐標,該坐標就等于相應點的坐標.
　　(2)求向量的坐標:先求出這個向量的起點、終點坐標,再用終點坐標減去起點坐標即得該向量的坐標.
　　如圖所示,在邊長為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30°角.求點B和點D的坐標以及與的坐標.
【隨堂檢測】
1.(多選題)下列說法正確的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.相等向量的坐標相同
B.平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標
C.一個坐標對應于唯一的一個向量
D.平面上一個點與以原點為始點,該點為終點的向量一一對應
2.若k1a+k2b=0,則k1=k2=0,那么下面對a,b的判斷正確的是(　　).
A.a與b一定共線 B.a與b一定不共線
C.a與b一定垂直 D.a與b中至少有一個為0
3.
如圖,C,D是△AOB的邊AB的三等分點,設=e1,=e2,以e1,e2為基,則=　　　　,=　　　　.
　
4.在△OAB中,延長BA到點C,使得AC=BA,在OB上取點D,使得=,DC與OA交于點E,設=a,=b,用a,b表示向量及向量.
21.4 課時1 向量的分解及坐標表示
【學習目標】
1.理解平面向量基本定理及其意義.(數學抽象)
2.會用基表示平面向量.(數學抽象、邏輯推理)
3.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標表示.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
1.如果e1,e2是兩個不共線的確定向量,那么與e1,e2在同一平面內的任一向量a能否用e1,e2表示 依據是什么
【答案】　能.依據是數乘向量和平行四邊形法則.
2.如果e1,e2是共線向量,那么向量a能否用e1,e2表示 為什么
【答案】　不一定,當a與e1共線時可以表示,否則不能表示.
3.零向量能否作為基中的向量 為什么
【答案】　不能,因為零向量與任何向量都是共線的.
4.設單位向量e1,e2的夾角=90°,非零向量v的模|v|=r,且=α,則v在{e1,e2}下的坐標是什么
【答案】　v=(rcos α,rsin α).
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)平面內任意兩個向量都可以作為平面內所有向量的一組基. (　　)
(2){0,e}可以作為基. (　　)
(3)平面向量基本定理中基的選取是唯一的. (　　)
(4)若e1,e2是同一平面內兩個不共線向量,則λ1e1+λ2e2(λ1,λ2為實數)可以表示該平面內所有向量. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.設e1,e2是同一平面內的兩個向量,則(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.e1,e2一定平行
B.{e1,e2}是該平面的一個基
C.對該平面內的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
D.若e1,e2不共線,則對該平面內的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
【答案】　D
【解析】　D選項符合平面向量基本定理,其他三個選項均不正確.
3.(多選題)設O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點,下列向量組中可作為該平面其他向量基的是(　　).
A.與 B.與
C.與 D.與
【答案】　AC
【解析】　基中的向量不共線,故A,C正確.
4.已知向量e1,e2不共線,實數x,y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y的值為　　　　.
【答案】　3
【解析】　∵e1,e2不共線,∴由平面向量基本定理可得故x-y=3.
【合作探究】
探究1 平面向量基本定理　
　　如圖(1),設e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量,a是這一平面內與e1,e2都不共線的向量,如圖(2),在平面內任取一點O,作=e1,=e2,=a.
　　問題1:上圖中將a按e1, e2的方向分解,你有什么發現
【答案】　如圖,a==+=λ1e1+λ2e2.
問題2:若向量a與e1或e2共線,a還能用a=λ1e1+λ2e2表示嗎
【答案】　能,當向量a與e1共線時,a=λ1e1+0e2;
當向量a與e2共線時,a=0e1+λ2e2.
問題3:當a是零向量時,a還能用a=λ1e1+λ2e2表示嗎
【答案】　能,a=0e1+0e2.
問題4:設e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量,在a=λ1e1+λ2e2中,λ1,λ2是否唯一
【答案】　假設a=μ1e1+μ2e2,則λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,所以λ1-μ1=0,且λ2-μ2=0,即λ1=μ1,且λ2=μ2,所以λ1,λ2唯一.
新知生成
1.平面向量基本定理:設e1,e2是平面上兩個不共線向量,則(1)平面上每個向量v都可以分解為e1,e2的實數倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是實數.
(2)實數x,y由v=xe1+ye2唯一決定,也就是若v=xe1+ye2=x'e1+y'e2,則x=x',y=y'.
2.基與坐標:我們稱不共線向量e1,e2組成平面上的一組基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的系數x,y組成的有序數組(x,y),稱為v在這組基下的坐標.
新知運用
一、對基的理解
例1　(多選題)設{e1,e2}是平面內所有向量的一組基,則下列四組向量中,能作為基的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2
C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2
【答案】　ACD
【解析】　選項B中,∵6e1-8e2=2(3e1-4e2),∴6e1-8e2與3e1-4e2共線,∴不能作為基;
選項A,C,D中兩向量均不共線,可以作為基.
【方法總結】　　考查兩個向量是否能構成基,主要看兩向量是否不共線.此外,一個平面的基一旦確定,那么平面上任意一個向量都可以由這個基唯一線性表示出來.
若向量a,b不共線,則c=2a-b,d=3a-2b,試判斷{c,d}能否作為基.
【解析】　設存在實數λ,使c=λd,
則2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0,
因為向量a,b不共線,所以2-3λ=2λ-1=0,這樣的λ是不存在的,
所以c,d不共線,故{c,d}能作為基.
二、用基表示向量
例2　
如圖所示,在△ABC中,M是AB的中點,且=,BN與CM相交于點E,設=a,=b,求在基{a,b}下的坐標.
方法指導　用基表示平面向量,首先要充分利用向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則,然后根據坐標定義求解.
【解析】　易得==b,==a,
由N,E,B三點共線知存在實數m,
滿足=m+(1-m)=mb+(1-m)a.
由C,E,M三點共線知存在實數n,
滿足=n+(1-n)=na+(1-n)b,
所以mb+(1-m)a=na+(1-n)b,
因為{a,b}為基,所以解得
　　所以=a+b,在基{a,b}下的坐標為.
【方法總結】　　將兩個不共線的向量作為基表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運用向量的線性運算法則對所求向量不斷進行轉化,直至能用基表示為止;另一種是通過列向量方程或方程組的形式,利用基表示向量的唯一性求解.
如圖所示,在 ABCD中,E,F分別為BC,DC邊上的中點,DE與BF交于點G,若=a,=b,求,在基{a,b}下的坐標.
【解析】　因為=++
=-++
=-++=a-b,
所以在基{a,b}下的坐標為.
因為=++
=-++=b-a,
所以在基{a,b}下的坐標為.
探究2　平面向量的正交分解與坐標表示
　　衛星運載火箭每一時刻的速度都有確定的大小和方向,為了便于分析,需要將整個飛行過程中的速度分解為水平和豎直兩個方向的速度.
問題1:如何將整個飛行過程中的速度分解為水平和豎直兩個方向的速度呢
【答案】　將飛行速度分別向坐標軸投影,在xOy平面上分解為x,y軸上的向量即可.
問題2:我們知道,在平面直角坐標系中,每一個點都可用一對有序實數對(即它的坐標)表示,那么如何表示坐標平面內的一個向量呢
【答案】　在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基,對于平面內的任意一個向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數x,y,使得a=xi+yj.
新知生成
1.向量正交分解
把一個向量分解為兩個互相　垂直　的向量,叫作把向量正交分解.
2.標準正交基
平面上相互垂直的單位向量組成的基稱為標準正交基,記作{i,j}.
3.設單位向量e1,e2的夾角=90°,非零向量v的模|v|=r且=α,則v=(rcos α,rsin α).
新知運用
例3　
如圖,在平面直角坐標系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b,四邊形OABC為平行四邊形.
(1)求向量a,b的坐標;
(2)求點B的坐標.
【解析】　(1)如圖,作AM⊥x軸于點M,
則OM=OA·cos 45°=4×=2,AM=OA·sin 45°=4×=2,
　　∴A(2,2),∴a=(2,2).
∵∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,
∴∠COy=30°.
又∵OC=AB=3,
∴C,∴==,
即b=.
(2)∵=a+b
=(2,2)+
=,
∴點B的坐標為.
【方法總結】　　求點、向量坐標的常用方法
(1)求點的坐標:可利用已知條件,求出該點相對應坐標原點的位置向量的坐標,該坐標就等于相應點的坐標.
　　(2)求向量的坐標:先求出這個向量的起點、終點坐標,再用終點坐標減去起點坐標即得該向量的坐標.
　　如圖所示,在邊長為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30°角.求點B和點D的坐標以及與的坐標.
【解析】　由題意知,B,D分別是30°,120°角的終邊與單位圓的交點.
設B(x1,y1),D(x2,y2),由三角函數的定義,得
x1=cos 30°=,y1=sin 30°=,∴B,
x2=cos 120°=-,y2=sin 120°=,
∴D,
∴=,=.
【隨堂檢測】
1.(多選題)下列說法正確的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.相等向量的坐標相同
B.平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標
C.一個坐標對應于唯一的一個向量
D.平面上一個點與以原點為始點,該點為終點的向量一一對應
【答案】　ABD
【解析】　由向量坐標的定義不難看出一個坐標可對應無數個相等的向量,故只有C錯誤.
2.若k1a+k2b=0,則k1=k2=0,那么下面對a,b的判斷正確的是(　　).
A.a與b一定共線 B.a與b一定不共線
C.a與b一定垂直 D.a與b中至少有一個為0
【答案】　B
【解析】　由平面向量基本定理,可知當a,b不共線時,k1=k2=0,故選B.
3.
如圖,C,D是△AOB的邊AB的三等分點,設=e1,=e2,以e1,e2為基,則=　　　　,=　　　　.
　　【答案】　e1+e2　e1+e2
【解析】　=+=+
=e1+(e2-e1)=e1+e2,
=+=+
=+(e2-e1)=e1+e2.
4.在△OAB中,延長BA到點C,使得AC=BA,在OB上取點D,使得=,DC與OA交于點E,設=a,=b,用a,b表示向量及向量.
【解析】　∵A是BC的中點,∴=+=+2=+2(-)=2-=2a-b,=-=-=2a-b-b=2a-b.
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