資源簡介

1.4 課時2 向量線性運算的坐標表示
【學習目標】
1.掌握平面向量加法、減法、一個實數與向量的積的坐標運算法則,能夠進行向量的坐標運算.(邏輯推理、數學運算)
2.掌握平面向量共線的坐標表示方法.(邏輯推理、數學運算)
3.能夠運用向量坐標表示和向量共線的坐標表示解決相關問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.上節課我們學面向量的坐標表示,如果已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),想一想如何由a,b的坐標求a+b,a-b的坐標
.
2.我們知道,在平面直角坐標系中,每一個點都可用一對有序實數(即它的坐標)表示,那么如何表示平面直角坐標系內的一個向量呢
3.由于3a=a+a+a,如果a=(x,y),是否能得出3(x,y)=(3x,3y),對于任意的λ,都有λa=(λx,λy)成立嗎
1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),則b-a=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(-2,1) B.(2,-1)
C.(2,0) D.(4,3)
2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),則向量的坐標是(　　).
A.-4, B.4,-
C.(-8,1) D.(8,1)
3.若a=(-2,2),b=(3,-4),c=(1,5),則a+b+c=　　　　.
4.已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求a+2b-3c;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求實數k的值.
【合作探究】
探究1 平面向量的坐標運算
　　設i,j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
問題1:根據向量的線性運算性質,向量a+b,a-b如何分別用基i,j表示呢
問題2:向量加減運算可以類比數的運算進行嗎
問題3:已知a=(x,y),你能得到λa的坐標嗎
新知生成
1.兩個向量坐標的和、差
兩個向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的和(或差)的坐標等于這兩個向量相應坐標的和(或差),即
加法 a+b=(x1+x2,y1+y2)
減法 a-b=(x1-x2,y1-y2)
2.向量數乘運算的坐標表示
一個實數λ與向量a=(x,y)的積的坐標等于這個數乘以向量相應的坐標,即λa=λ(x,y)=(λx,λy).
3.向量坐標
在平面直角坐標系中,向量的坐標等于終點Q的坐標(x2,y2)減去起點P的坐標(x1,y1),即=(x2-x1,y2-y1).
新知運用
例1　已知向量a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
方法指導　先利用數乘向量的坐標運算,再利用向量坐標的加減運算.
【方法總結】　　 向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘的運算法則進行.若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求出向量的坐標,解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.
已知向量a+b=(1,3),a-b=(5,7),則a=　　　　,b=　　　　.
探究2 向量共線的坐標表示
　　設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根據共線向量定理,當a與b共線時,存在唯一實數λ,使a=λb.
問題1:根據向量數乘運算的坐標表示,你能發現a與b的坐標之間的關系嗎
問題2:
如圖所示,設P(x,y)是線段P1P2上不同于P1,P2的點,且滿足=λ,如何求點P的坐標
新知生成
(x1,y1)∥(x2,y2) x1y2-x2y1=0.
簡記:縱橫交錯積相減.
新知運用
一、向量共線的判定與證明
例2　已知點A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判斷與是否共線 如果共線,它們的方向相同還是相反
方法指導　此類題目應充分利用“若b=λa(a≠0),則b∥a”或向量共線坐標的條件進行判斷,特別是利用向量共線坐標的條件進行判斷時,要注意坐標之間的搭配.
【方法總結】　　向量共線的判定方法
二、已知平面向量共線求參數
例3　已知a=(1,2),b=(-3,2),當k為何值時,ka+b與a-3b平行 平行時它們是同向還是反向
方法指導　(1)可利用b與非零向量a共線等價于b=λa(λ>0,b與a同向;λ<0,b與a反向)求解;(2)可先利用坐標形式的等價條件求k,再利用b=λa判定同向還是反向.
【方法總結】　　用向量平行的條件處理求值問題的思路:(1)利用共線向量定理a=λb(b≠0)列方程組求解;(2)利用向量平行的坐標表達式x1y2-x2y1=0直接求解.
三、向量運算的綜合
例4　(1)已知向量a=(cos α,-2),b=(sin α,1),且a∥b,則2sin αcos α=　　　　.
(2)如圖所示,點A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB的交點P的坐標是　　　　.
　　
(1)已知非零向量a=(m2-1,m+1)與向量b=(1,-2)平行,則實數m的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1或 B.1或-
C.-1 D.
(2)已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相異三點A,B,C共線,則實數k=　　　　.
【隨堂檢測】
1.已知向量=(2,4),=(0,2),則=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-2,-2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(-1,-1)
2.已知向量a=(3,2),b=(0,-1),則向量a+b=(　　).
A.(3,1) B.(3,3)
C.(0,-2) D.(2,2)
3.在∠A=90°的等腰直角△ABC中,E為AB的中點,F為BC的中點,=λ+μ,則λ=(　　).
A.- B.-
C.- D.-1
4.已知=(4,1),=(-1,k),若A,B,C三點共線,則實數k的值為(　　).
A.4 B.-4 C.- D.
21.4 課時2 向量線性運算的坐標表示
【學習目標】
1.掌握平面向量加法、減法、一個實數與向量的積的坐標運算法則,能夠進行向量的坐標運算.(邏輯推理、數學運算)
2.掌握平面向量共線的坐標表示方法.(邏輯推理、數學運算)
3.能夠運用向量坐標表示和向量共線的坐標表示解決相關問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.上節課我們學面向量的坐標表示,如果已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),想一想如何由a,b的坐標求a+b,a-b的坐標
【答案】　可以通過坐標的加減求a+b,a-b的坐標.
2.我們知道,在平面直角坐標系中,每一個點都可用一對有序實數(即它的坐標)表示,那么如何表示平面直角坐標系內的一個向量呢
【答案】　在平面直角坐標系中,平面內的每一個向量都對應一對有序實數.
3.由于3a=a+a+a,如果a=(x,y),是否能得出3(x,y)=(3x,3y),對于任意的λ,都有λa=(λx,λy)成立嗎
【答案】　是,成立.
1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),則b-a=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(-2,1) B.(2,-1)
C.(2,0) D.(4,3)
【答案】　B
【解析】　由題意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).
2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),則向量的坐標是(　　).
A.-4, B.4,-
C.(-8,1) D.(8,1)
【答案】　C
【解析】　=-=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1).
3.若a=(-2,2),b=(3,-4),c=(1,5),則a+b+c=　　　　.
【答案】　(2,3)
【解析】　a+b+c=(-2+3+1,2-4+5)=(2,3).
4.已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求a+2b-3c;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求實數k的值.
【解析】　(1)因為a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),
所以a+2b-3c=(3,2)+2(-1,2)-3(4,1)=(-11,3).
(2)由已知可得a+kc=(3,2)+k(4,1)=(4k+3,k+2),
2b-a=2(-1,2)-(3,2)=(-5,2).
因為(a+kc)∥(2b-a),所以2(4k+3)=-5(k+2),解得k=-.
【合作探究】
探究1 平面向量的坐標運算
　　設i,j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
問題1:根據向量的線性運算性質,向量a+b,a-b如何分別用基i,j表示呢
【答案】　a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j.
問題2:向量加減運算可以類比數的運算進行嗎
【答案】　向量加、減的坐標運算可完全類比數的運算進行.
問題3:已知a=(x,y),你能得到λa的坐標嗎
【答案】　能,因為a=(x,y),所以λa=λ(x,y)=(λx,λy),根據向量的坐標可得λa=(λx,λy).
新知生成
1.兩個向量坐標的和、差
兩個向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的和(或差)的坐標等于這兩個向量相應坐標的和(或差),即
加法 a+b=(x1+x2,y1+y2)
減法 a-b=(x1-x2,y1-y2)
2.向量數乘運算的坐標表示
一個實數λ與向量a=(x,y)的積的坐標等于這個數乘以向量相應的坐標,即λa=λ(x,y)=(λx,λy).
3.向量坐標
在平面直角坐標系中,向量的坐標等于終點Q的坐標(x2,y2)減去起點P的坐標(x1,y1),即=(x2-x1,y2-y1).
新知運用
例1　已知向量a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
方法指導　先利用數乘向量的坐標運算,再利用向量坐標的加減運算.
【解析】　(1) 2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)=-=.
【方法總結】　　 向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘的運算法則進行.若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求出向量的坐標,解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.
已知向量a+b=(1,3),a-b=(5,7),則a=　　　　,b=　　　　.
【答案】　(3,5)　(-2,-2)
【解析】　由a+b=(1,3),a-b=(5,7),得2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),所以a=(3,5),2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),
所以b=(-2,-2).
探究2 向量共線的坐標表示
　　設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根據共線向量定理,當a與b共線時,存在唯一實數λ,使a=λb.
問題1:根據向量數乘運算的坐標表示,你能發現a與b的坐標之間的關系嗎
【答案】　因為向量a與b共線的充要條件是存在實數λ,使a=λb,用坐標表示為(x1,y1)=λ(x2,y2),即整理得x1y2-x2y1=0.
問題2:
如圖所示,設P(x,y)是線段P1P2上不同于P1,P2的點,且滿足=λ,如何求點P的坐標
【答案】　設P1(x1,y1),P2(x2,y2),則(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即
當λ≠-1時,
則點P的坐標為.
特別地,①當λ=1時,點P的坐標為,這就是線段P1P2的中點坐標公式;②若λ<0,則點P在線段P1P2的延長線或其反向延長線上,由向量共線的坐標表示及平行向量基本定理同樣可得點P的坐標為.
新知生成
(x1,y1)∥(x2,y2) x1y2-x2y1=0.
簡記:縱橫交錯積相減.
新知運用
一、向量共線的判定與證明
例2　已知點A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判斷與是否共線 如果共線,它們的方向相同還是相反
方法指導　此類題目應充分利用“若b=λa(a≠0),則b∥a”或向量共線坐標的條件進行判斷,特別是利用向量共線坐標的條件進行判斷時,要注意坐標之間的搭配.
【解析】　=(0-2,4-1)=(-2,3),
=(5-1,-3-3)=(4,-6).
(法一)∵(-2)×(-6)=3×4,且(-2)×4<0,
∴與共線且方向相反.
(法二)∵=-2,∴與共線且方向相反.
【方法總結】　　向量共線的判定方法
二、已知平面向量共線求參數
例3　已知a=(1,2),b=(-3,2),當k為何值時,ka+b與a-3b平行 平行時它們是同向還是反向
方法指導　(1)可利用b與非零向量a共線等價于b=λa(λ>0,b與a同向;λ<0,b與a反向)求解;(2)可先利用坐標形式的等價條件求k,再利用b=λa判定同向還是反向.
【解析】　(法一:共線向量定理法)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
當ka+b與a-3b平行時,存在唯一實數λ,
使ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
得解得因為λ=-<0,
所以ka+b與a-3b反向.
(法二:坐標法)由題意知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4).
因為ka+b與a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,
解得k=-.
此時ka+b==-(a-3b),
所以當k=-時,ka+b與a-3b平行且反向.
【方法總結】　　用向量平行的條件處理求值問題的思路:(1)利用共線向量定理a=λb(b≠0)列方程組求解;(2)利用向量平行的坐標表達式x1y2-x2y1=0直接求解.
三、向量運算的綜合
例4　(1)已知向量a=(cos α,-2),b=(sin α,1),且a∥b,則2sin αcos α=　　　　.
(2)如圖所示,點A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB的交點P的坐標是　　　　.
【答案】　(1)-　(2)(3,3)
　　【解析】　(1)因為a∥b,所以cos α×1-(-2)×sin α=0,即cos α=-2sin α,tan α=-,所以2sin αcos α====-.
(2)設P(x,y),則=(x,y),因為=(4,4),且與共線,所以=,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且與共線,則(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以點P的坐標為(3,3).
(1)已知非零向量a=(m2-1,m+1)與向量b=(1,-2)平行,則實數m的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1或 B.1或-
C.-1 D.
(2)已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相異三點A,B,C共線,則實數k=　　　　.
【答案】　(1)D　(2)-
【解析】　(1)非零向量a=(m2-1,m+1)與向量b=(1,-2)平行,所以-2(m2-1)-1×(m+1)=0,且m≠-1,所以m=.
(2)=-=(1-k,2k-2),=-=(1-2k,-3),
由題意可知,∥,所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0,解得k=-(k=1舍去).
【隨堂檢測】
1.已知向量=(2,4),=(0,2),則=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-2,-2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(-1,-1)
【答案】　D
【解析】　=(-)=(-2,-2)=(-1,-1).故選D.
2.已知向量a=(3,2),b=(0,-1),則向量a+b=(　　).
A.(3,1) B.(3,3)
C.(0,-2) D.(2,2)
【答案】　A
【解析】　因為向量a=(3,2),b=(0,-1),所以a+b=(3,1).
3.在∠A=90°的等腰直角△ABC中,E為AB的中點,F為BC的中點,=λ+μ,則λ=(　　).
A.- B.-
C.- D.-1
【答案】　A
【解析】　
以A為原點建立如圖所示的平面直角坐標系,
設B(2,0),C(0,2),則F(1,1),E(1,0),
則=(-2,2),λ+μ=λ(1,1)+μ(1,-2)=(λ+μ,λ-2μ),
所以解得
故選A.
4.已知=(4,1),=(-1,k),若A,B,C三點共線,則實數k的值為(　　).
A.4 B.-4 C.- D.
【答案】　C
【解析】　因為A,B,C三點共線,所以∥,所以4k+1=0,即k=-.
2

展開更多......

收起↑