資源簡介

1.5 課時2 數量積的坐標表示及其計算
【學習目標】
1.理解掌握向量數量積的坐標表達式,會利用坐標進行數量積的運算.(數學抽象、數學運算)
2.掌握向量的模、夾角等公式,能根據公式解決向量的模、夾角、垂直等有關問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.平面向量的數量積(內積)的定義是什么
【答案】　a·b=|a||b|cos θ.
2.向量a與b垂直的條件是什么
【答案】　a·b=0.
3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何計算a與b的數量積
【答案】　a·b=x1x2+y1y2.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b x1y2-x2y1=0. (　　)
(2)若兩個非零向量的夾角θ滿足cos θ>0,則兩個向量的夾角θ一定是銳角. (　　)
(3)兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),滿足x1y2-x2y1=0,則向量a與b的夾角為0°. (　　)
(4)若向量a=(1,0),b=,,則|a|=|b|. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.設a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),則(a+b)·(a-c)=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.11 B.5 C.-14 D.10
【答案】　A
【解析】　由題意得a+b=(4,-1),a-c=(2,-3),所以(a+b)·(a-c)=4×2+(-1)×(-3)=11.故選A.
3.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),則cos=　　　　,|a-b|=　　　　.
【答案】　-　
【解析】　由已知得a·b=1×2+2×(-2)=-2,所以cos==-.
又a-b=(-1,4),所以|a-b|==.
【合作探究】
探究1 平面向量數量積的坐標表示
　　已知兩個向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),類比向量數乘的坐標表示,探究平面向量數量積的坐標表示.
問題1:若i,j是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量,則a,b如何用i,j表示
【答案】　a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
問題2:能否用a,b的坐標表示a·b 怎樣表示
【答案】　能,a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2
=x1x2+y1y2.
問題3:向量垂直與向量的數量積的關系是什么 能用坐標表示向量垂直嗎
【答案】　a⊥b a·b=0,能.
新知生成
設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ.
數量積 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
新知運用
一、給出坐標求數量積
例1　已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
方法指導　根據坐標運算法則,結合數量積的運算律進行計算.
【解析】　(1)(法一)∵a=(-1,2),b=(3,2),∴a-b=(-4,0),∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
(法二)a·(a-b)=a2-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)
=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]
　　=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
【方法總結】　　進行向量的數量積運算,前提是牢記有關的運算法則和運算性質,解題時通常有兩種方法:一是先將各向量用坐標表示,再直接進行數量積運算;二是先利用數量積的運算律將原式展開,再依據已知計算.
已知向量a與b同向,b=(1,2),a·b=10,求:
(1)向量a的坐標;
(2)若c=(2,-1),求(a·c)b.
【解析】　(1)由題意可設a=λb=(λ,2λ)(λ>0).
∵a·b=10,∴λ+4λ=10,解得λ=2,∴a=(2,4).
(2)∵a·c=2×2+(-1)×4=0,
∴(a·c)b=0.
二、向量垂直的坐標表示的應用
例2　已知點A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求證:⊥.
(2)若四邊形ABCD為矩形,求點C的坐標.
【解析】　(1)∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3).
又∵·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥.
(2)∵⊥,若四邊形ABCD為矩形,則=.
設點C的坐標為(x,y),則有(1,1)=(x+1,y-4),
∴解得∴點C的坐標為(0,5).
【方法總結】　　涉及非零向量a,b的垂直問題時,一般需借助a⊥b a·b=x1x2+y1y2=0來解決.
已知向量a=(m,2),b=(1,m+1).若a⊥b,則m=　　　　.
【答案】　-
【解析】　由a⊥b,得a·b=m+2(m+1)=0,解得m=-.
探究2　平面向量的模、夾角
問題1:若把表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別設為(x1,y1),(x2,y2),如何求a的坐標 |a|怎么用坐標表示
【答案】　a=(x2-x1,y2-y1),|a|=.
問題2:設非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a,b的夾角,則cos θ如何用坐標表示
【答案】　cos θ==.
問題3:已知向量a=(x,y),則與a共線的單位向量的坐標是什么 與a垂直的單位向量的坐標是什么
【答案】　設與a共線的單位向量為a0,則a0=±a=±=±,其中正號、負號分別表示與a同向、反向.
易知b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,
所以與a垂直的單位向量b0的坐標為±,.
新知生成
1.向量的長度
設a=(x,y),則|a|==.
2.夾角的余弦值
設兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則兩向量夾角余弦值的公式為cos==.
新知運用
例3　設平面內的向量=(-1,-3),=(5,3),=(2,2),點P在直線OM上,且·=-16.
(1)求的坐標;
(2)求∠APB的余弦值;
(3)設t∈R,求|+t|的最小值.
方法指導　(1)根據P,O,M三點共線可設=λ,利用數量積公式列方程求解;(2)計算||,||,代入向量夾角公式計算;(3)計算|+t|2得到關于t的二次函數,求出函數的最小值即可.
【解析】　(1)∵點P在直線OM上,設=λ=(2λ,2λ),
∴=-=(-1-2λ,-3-2λ),=-=(5-2λ,3-2λ),
∴·=(-1-2λ)(5-2λ)+(-3-2λ)(3-2λ)=-16,解得λ=,
∴=(1,1).
(2)由(1)可得=(-2,-4),=(4,2),
∴cos∠APB===-.
(3)∵+t=(t-1,t-3),
∴(+t)2=(t-1)2+(t-3)2=2t2-8t+10=2(t-2)2+2.
當t=2時,(+t)2取得最小值,最小值為2,
∴|+t|的最小值為.
【方法總結】　　1.求向量的模的兩種基本策略
(1)字母表示下的運算:利用|a|2=a2,將向量模的運算轉化為向量與向量的數量積的運算.
(2)坐標表示下的運算:若a=(x,y),則a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
2.解決向量夾角問題的方法及注意事項
(1)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夾角的求解方法:由cos θ==直接求出cos θ.
(2)注意事項:利用三角函數值cos θ求θ的值時,應注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判斷θ的值時,要注意當cos θ<0時,有兩種情況:一是θ為鈍角,二是θ為180°;當cos θ>0時,也有兩種情況:一是θ為銳角,二是θ為0°.
　　在平面直角坐標系xOy中,已知點A(2,-1),B(1,0),C(k,2).
(1)當k=3時,求|+|的值.
(2)是否存在實數k,使與的夾角為45° 若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
【解析】　由題意得=(-1,1),=(k-2,3).
(1)當k=3時,=(1,3),+=(0,4),
所以|+|==4.
(2)假設存在實數k,使與的夾角為45°.
因為·=(-1)×(k-2)+1×3=5-k,
又||=,||==,
所以cos 45°===,解得k=2.
所以存在實數k=2,使與的夾角為45°.
【隨堂檢測】
1.已知向量a=(2,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.5 C.1 D.-6
【答案】　A
【解析】　由題意知2a+b=(3,0),則(2a+b)·a=(3,0)·(2,-1)=6,故選A.
2.已知向量a=(2,0),a-b=(3,1),則下列結論正確的是(　　).
A.a·b=2 B.a∥b
C.b⊥(a+b) D.|a|=|b|
【答案】　C
【解析】　因為向量a=(2,0),a-b=(3,1),設b=(x,y),則解得所以b=(-1,-1),a+b=(1,-1),b·(a+b)=-1×1+(-1)×(-1)=0,所以b⊥(a+b).
3.已知向量a=(2,1),b=(1,3),則向量2a-b與a的夾角為(　　).
A.135° B.60° C.45° D.30°
【答案】　C
【解析】　由題意可得2a-b=2(2,1)-(1,3)=(3,-1),
則|2a-b|==,
|a|==,
且(2a-b)·a=(3,-1)·(2,1)=6-1=5.
設所求向量的夾角為θ,由題意可得
cos θ===.
又θ∈[0°,180°],
所以向量2a-b與a的夾角為45°.
4.已知向量a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a與b夾角的余弦值;
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求實數λ的值.
【解析】　(1)∵a·b=4×(-1)+3×2=2,
|a|==5,|b|==,
∴cos===.
(2)∵a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
(a-λb)⊥(2a+b),
∴(a-λb)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0,
解得λ=.
21.5 課時2 數量積的坐標表示及其計算
【學習目標】
1.理解掌握向量數量積的坐標表達式,會利用坐標進行數量積的運算.(數學抽象、數學運算)
2.掌握向量的模、夾角等公式,能根據公式解決向量的模、夾角、垂直等有關問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.平面向量的數量積(內積)的定義是什么
2.向量a與b垂直的條件是什么
3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何計算a與b的數量積
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b x1y2-x2y1=0. (　　)
(2)若兩個非零向量的夾角θ滿足cos θ>0,則兩個向量的夾角θ一定是銳角. (　　)
(3)兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),滿足x1y2-x2y1=0,則向量a與b的夾角為0°. (　　)
(4)若向量a=(1,0),b=,,則|a|=|b|. (　　)
2.設a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),則(a+b)·(a-c)=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.11 B.5 C.-14 D.10
3.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),則cos=　　　　,|a-b|=　　　　.
.
【合作探究】
探究1 平面向量數量積的坐標表示
　　已知兩個向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),類比向量數乘的坐標表示,探究平面向量數量積的坐標表示.
問題1:若i,j是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量,則a,b如何用i,j表示
問題2:能否用a,b的坐標表示a·b 怎樣表示
問題3:向量垂直與向量的數量積的關系是什么 能用坐標表示向量垂直嗎
新知生成
設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ.
數量積 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
新知運用
一、給出坐標求數量積
例1　已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
方法指導　根據坐標運算法則,結合數量積的運算律進行計算.
【方法總結】　　進行向量的數量積運算,前提是牢記有關的運算法則和運算性質,解題時通常有兩種方法:一是先將各向量用坐標表示,再直接進行數量積運算;二是先利用數量積的運算律將原式展開,再依據已知計算.
已知向量a與b同向,b=(1,2),a·b=10,求:
(1)向量a的坐標;
(2)若c=(2,-1),求(a·c)b.
二、向量垂直的坐標表示的應用
例2　已知點A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求證:⊥.
(2)若四邊形ABCD為矩形,求點C的坐標.
【方法總結】　　涉及非零向量a,b的垂直問題時,一般需借助a⊥b a·b=x1x2+y1y2=0來解決.
已知向量a=(m,2),b=(1,m+1).若a⊥b,則m=　　　　.
探究2　平面向量的模、夾角
問題1:若把表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別設為(x1,y1),(x2,y2),如何求a的坐標 |a|怎么用坐標表示
問題2:設非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a,b的夾角,則cos θ如何用坐標表示
問題3:已知向量a=(x,y),則與a共線的單位向量的坐標是什么 與a垂直的單位向量的坐標是什么
新知生成
1.向量的長度
設a=(x,y),則|a|==.
2.夾角的余弦值
設兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則兩向量夾角余弦值的公式為cos==.
新知運用
例3　設平面內的向量=(-1,-3),=(5,3),=(2,2),點P在直線OM上,且·=-16.
(1)求的坐標;
(2)求∠APB的余弦值;
(3)設t∈R,求|+t|的最小值.
方法指導　(1)根據P,O,M三點共線可設=λ,利用數量積公式列方程求解;(2)計算||,||,代入向量夾角公式計算;(3)計算|+t|2得到關于t的二次函數,求出函數的最小值即可.
【方法總結】　　1.求向量的模的兩種基本策略
(1)字母表示下的運算:利用|a|2=a2,將向量模的運算轉化為向量與向量的數量積的運算.
(2)坐標表示下的運算:若a=(x,y),則a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
2.解決向量夾角問題的方法及注意事項
(1)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夾角的求解方法:由cos θ==直接求出cos θ.
(2)注意事項:利用三角函數值cos θ求θ的值時,應注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判斷θ的值時,要注意當cos θ<0時,有兩種情況:一是θ為鈍角,二是θ為180°;當cos θ>0時,也有兩種情況:一是θ為銳角,二是θ為0°.
　　在平面直角坐標系xOy中,已知點A(2,-1),B(1,0),C(k,2).
(1)當k=3時,求|+|的值.
(2)是否存在實數k,使與的夾角為45° 若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
【隨堂檢測】
1.已知向量a=(2,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.5 C.1 D.-6
2.已知向量a=(2,0),a-b=(3,1),則下列結論正確的是(　　).
A.a·b=2 B.a∥b
C.b⊥(a+b) D.|a|=|b|
3.已知向量a=(2,1),b=(1,3),則向量2a-b與a的夾角為(　　).
A.135° B.60° C.45° D.30°
4.已知向量a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a與b夾角的余弦值;
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求實數λ的值.
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