資源簡(jiǎn)介

1.6 課時(shí)1 余弦定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解向量法證明余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
2.掌握余弦定理及其推論,并能用其解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.在a2=b2+c2-2bccos A中,若A=90°,公式會(huì)變成什么
【答案】　公式會(huì)變成a2=b2+c2,即勾股定理.
2.在△ABC中,“A>90°” “a2【答案】　不成立,應(yīng)是b2+c23.在三角形中,大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角,正確嗎
【答案】　正確.
4.利用余弦定理可以解決哪兩類三角形問(wèn)題
【答案】　(1)已知三邊,求各角;(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩角.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)在△ABC中,已知兩邊及其夾角時(shí),△ABC不一定唯一. (　　)
(2)在△ABC中,三邊一角任意給出三個(gè),可求其余一個(gè). (　　)
(3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,則角C為直角. (　　)
(4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,則角C為鈍角. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,則c=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.8 C.10 D.7
【答案】　D
【解析】　由余弦定理得c===7.故選D.
3.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,則b=(　　).
A. B. C.2 D.3
【答案】　D
【解析】　由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3或b=-(舍去).故選D.
【合作探究】
探究1 余弦定理
　　問(wèn)題1:給定兩邊及其夾角的三角形是唯一的嗎 為什么 你能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下嗎
【答案】　因?yàn)閮蛇吅退鼈兊膴A角分別相等的兩個(gè)三角形全等(SAS),所以給定兩邊及其夾角的三角形是唯一的.
問(wèn)題2:已知三角形的兩邊b,c及它們的夾角A,如何求第三邊a
【答案】　因?yàn)樯婕叭切蔚膬蛇呴L(zhǎng)和它們的夾角,所以可以考慮用向量的數(shù)量積來(lái)求,即a2=||2=(-)2=+-2·=b2+c2-2bccos A.
問(wèn)題3:余弦定理的適用范圍、結(jié)構(gòu)特征是什么
【答案】　適用范圍:余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.結(jié)構(gòu)特征:“平方”“夾角”“余弦”.
新知生成
1.余弦定理
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍,即a2=　b2+c2-2bccos A　,b2=　a2+c2-2accos B　,c2=　a2+b2-2abcos C　.
2.余弦定理的推論
cos A= 　,cos B= 　,cos C= 　.
3.一般地,把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫作三角形的元素,已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫作　解三角形　.
新知運(yùn)用
例1　在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(a2+c2-b2)·tan B=ac,則角B的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.或 D.或
方法指導(dǎo)　由a2+c2-b2及ac可聯(lián)想到余弦定理的推論,即利用cos B=來(lái)解答.
【答案】　D
【解析】　將(a2+c2-b2)·tan B=ac化為·tan B=.由余弦定理得cos B·tan B=,∴sin B=.又∵0【方法總結(jié)】　　對(duì)余弦定理的理解
(1)適用范圍:余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.
(2)結(jié)構(gòu)特征:“平方”“夾角”“余弦”.
(3)揭示的規(guī)律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系式,它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.
(4)主要功能:實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.
　　在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊a,b,c的長(zhǎng)分別為3,4,6,則bccos A+accos B+abcos C的值為　　　　.
【答案】　
【解析】　原式=bc·+ac·+ab·==.
探究2　余弦定理及其推論的應(yīng)用
　　問(wèn)題:已知三角形的兩邊及其夾角,三角形的其他元素是否唯一確定 利用余弦定理可解決哪幾類三角形問(wèn)題
【答案】　由余弦定理可知,不妨設(shè)a,b邊和其夾角C已知,則c2=a2+b2-2abcos C,c唯一,cos B=,因?yàn)?新知生成
應(yīng)用余弦定理及其推論可解決兩類解三角形的問(wèn)題:一類是已知　兩邊及其夾角　解三角形,另一類是已知　三邊　解三角形.
新知運(yùn)用
例2　在△ABC中,已知a=2,b=,c=3+,解此三角形.
方法指導(dǎo)　代入余弦定理的推論進(jìn)行解答.
【解析】　由余弦定理的推論得
cos A===,
∴A=45°.
同理可求得B=30°,故C=180°-A-B=105°.
【方法總結(jié)】　　△ABC中常用的結(jié)論
(1)A+B=π-C,=-.
(2)大邊對(duì)大角,反之亦然.
(3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.
(4)三角形的誘導(dǎo)公式:
sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C,sin =cos ,cos =sin .
1.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,則BC=　　　　.
【答案】　4或5
【解析】　由余弦定理得()2=52+BC2-2×5×BC×,
所以BC2-9BC+20=0,解得BC=4或BC=5.
2.在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,則c=　　　　,sin A=　　　　.
【答案】　2　
【解析】　根據(jù)余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-2×1×2×=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得cos A==,所以sin A==.
3.已知△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC的各角的大小.
【解析】　設(shè)a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0),
利用余弦定理,有
cos A===,
∴A=45°.同理可得cos B=,B=60°.
∴C=180°-A-B=75°.
探究3　利用余弦定理判斷三角形的形狀
例3　在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,試判斷該三角形的形狀.
【解析】　由acos B+acos C=b+c并結(jié)合余弦定理,
得a·+a·=b+c,
即+=b+c,
整理,得(b+c)(a2-b2-c2)=0.
因?yàn)閎+c≠0,所以a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.
【方法總結(jié)】　　由余弦定理cos A=可以看出,若①a2=b2+c2,則cos A=0,A=90°;若②a20,A<90°;若③a2>b2+c2,則cos A<0,A>90°.故余弦定理可以視為勾股定理的推廣形式,從①和③式可判斷三角形是直角或鈍角三角形,由②式判斷不出三角形的形狀,還要考慮B或C的大小.利用余弦定理判斷三角形的形狀,是利用余弦定理及其推論(有時(shí)還要結(jié)合三角恒等變換等知識(shí))把已知條件轉(zhuǎn)化,通過(guò)因式分解、配方等方法得出邊或角的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀.利用余弦定理判斷三角形形狀的過(guò)程,也體現(xiàn)了邏輯推理的素養(yǎng).
在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,試判斷△ABC的形狀.
【解析】　將已知等式變形為b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C.
由余弦定理得
b2+c2-b2-c2=2bc××,
∴b2+c2===a2.
∴A=90°,∴△ABC是直角三角形.
【隨堂檢測(cè)】
1.已知a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng),若滿足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,則角C的大小為(　　).　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.60° B.90° C.120° D.150°
【答案】　C
【解析】　由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,∴a2+b2+ab=c2=a2+b2-2abcos C,∴cos C=-,∴C=120°.
2.在△ABC中,a=7,b=4,c=,則△ABC的最小角為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　由三角形的邊角關(guān)系可知,因?yàn)閍>b>c,所以角C為△ABC的最小角,則cos C===,所以C=.
3.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若>0,則△ABC(　　).
A.一定是銳角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是鈍角三角形
D.可能是銳角三角形,也可能是直角三角形
【答案】　C
【解析】　由>0得cos C<0,從而C為鈍角,因此△ABC一定是鈍角三角形.
4.已知a,b,c為△ABC的三邊,B=120°,則a2+c2+ac-b2=　　　　.
【答案】　0
【解析】　∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120°=a2+c2+ac,∴a2+c2+ac-b2=0.
21.6 課時(shí)1 余弦定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解向量法證明余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
2.掌握余弦定理及其推論,并能用其解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.在a2=b2+c2-2bccos A中,若A=90°,公式會(huì)變成什么
2.在△ABC中,“A>90°” “a23.在三角形中,大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角,正確嗎
4.利用余弦定理可以解決哪兩類三角形問(wèn)題
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)在△ABC中,已知兩邊及其夾角時(shí),△ABC不一定唯一. (　　)
(2)在△ABC中,三邊一角任意給出三個(gè),可求其余一個(gè). (　　)
(3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,則角C為直角. (　　)
(4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,則角C為鈍角. (　　)
2.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,則c=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.8 C.10 D.7
3.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,則b=(　　).
A. B. C.2 D.3
【合作探究】
探究1 余弦定理
　　問(wèn)題1:給定兩邊及其夾角的三角形是唯一的嗎 為什么 你能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下嗎
問(wèn)題2:已知三角形的兩邊b,c及它們的夾角A,如何求第三邊a
問(wèn)題3:余弦定理的適用范圍、結(jié)構(gòu)特征是什么
新知生成
1.余弦定理
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍,即a2=　b2+c2-2bccos A　,b2=　a2+c2-2accos B　,c2=　a2+b2-2abcos C　.
2.余弦定理的推論
cos A= 　,cos B= 　,cos C= 　.
3.一般地,把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫作三角形的元素,已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫作　解三角形　.
新知運(yùn)用
例1　在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(a2+c2-b2)·tan B=ac,則角B的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.或 D.或
方法指導(dǎo)　由a2+c2-b2及ac可聯(lián)想到余弦定理的推論,即利用cos B=來(lái)解答.
【方法總結(jié)】　　對(duì)余弦定理的理解
(1)適用范圍:余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.
(2)結(jié)構(gòu)特征:“平方”“夾角”“余弦”.
(3)揭示的規(guī)律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系式,它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.
(4)主要功能:實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.
　　在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊a,b,c的長(zhǎng)分別為3,4,6,則bccos A+accos B+abcos C的值為　　　　.
探究2　余弦定理及其推論的應(yīng)用
　　問(wèn)題:已知三角形的兩邊及其夾角,三角形的其他元素是否唯一確定 利用余弦定理可解決哪幾類三角形問(wèn)題
新知生成
應(yīng)用余弦定理及其推論可解決兩類解三角形的問(wèn)題:一類是已知　兩邊及其夾角　解三角形,另一類是已知　三邊　解三角形.
新知運(yùn)用
例2　在△ABC中,已知a=2,b=,c=3+,解此三角形.
方法指導(dǎo)　代入余弦定理的推論進(jìn)行解答.
【方法總結(jié)】　　△ABC中常用的結(jié)論
(1)A+B=π-C,=-.
(2)大邊對(duì)大角,反之亦然.
(3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.
(4)三角形的誘導(dǎo)公式:
sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C,sin =cos ,cos =sin .
1.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,則BC=　　　　.
2.在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,則c=　　　　,sin A=　　　　.
3.已知△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC的各角的大小.
探究3　利用余弦定理判斷三角形的形狀
例3　在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,試判斷該三角形的形狀.
【方法總結(jié)】　　由余弦定理cos A=可以看出,若①a2=b2+c2,則cos A=0,A=90°;若②a20,A<90°;若③a2>b2+c2,則cos A<0,A>90°.故余弦定理可以視為勾股定理的推廣形式,從①和③式可判斷三角形是直角或鈍角三角形,由②式判斷不出三角形的形狀,還要考慮B或C的大小.利用余弦定理判斷三角形的形狀,是利用余弦定理及其推論(有時(shí)還要結(jié)合三角恒等變換等知識(shí))把已知條件轉(zhuǎn)化,通過(guò)因式分解、配方等方法得出邊或角的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀.利用余弦定理判斷三角形形狀的過(guò)程,也體現(xiàn)了邏輯推理的素養(yǎng).
在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,試判斷△ABC的形狀.
【隨堂檢測(cè)】
1.已知a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng),若滿足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,則角C的大小為(　　).　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.60° B.90° C.120° D.150°
.
2.在△ABC中,a=7,b=4,c=,則△ABC的最小角為(　　).
A. B. C. D.
3.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若>0,則△ABC(　　).
A.一定是銳角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是鈍角三角形
D.可能是銳角三角形,也可能是直角三角形
4.已知a,b,c為△ABC的三邊,B=120°,則a2+c2+ac-b2=　　　　.
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