資源簡介

1.6 課時2 正弦定理
【學習目標】
1.通過對任意三角形邊長和角度的關系的探索,掌握正弦定理的內容及其證明方法.(邏輯推理、數學運算)
2.能運用正弦定理與三角形內角和定理解決簡單的解三角形問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.正弦定理的內容是什么
【答案】　在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比值相等,即==.
2.在正弦定理中,三角形的各邊與其所對角的正弦的比值都相等,那么這個比值等于多少 與該三角形外接圓的直徑有什么關系
【答案】　等于2R(R為該三角形外接圓的半徑),與該三角形外接圓的直徑相等.
3.已知三角形的兩邊及其夾角,為什么不必考慮解的個數
【答案】　三角形的兩邊及其夾角確定時,三角形的六個元素即可完全確定,故不必考慮解的個數的問題.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正弦定理對任意的三角形都成立. (　　)
(2)在△ABC中,等式bsin C=csin B總能成立. (　　)
(3)在△ABC中,已知a,b,A,則能求出唯一的角B. (　　)
(4)任意給出三角形的三個元素,都能求出其余元素. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,則sin B=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由于=,故=,解得sin B=.故選A.
3.在△ABC中,A=30°,a=3,b=2,則這個三角形有(　　).
A.一解 B.兩解
C.無解 D.無法確定
【答案】　A
【解析】　∵b【合作探究】
探究1 正弦定理
　　
如圖,在Rt△ABC中,A=30°,斜邊c=2.
問題1:試求△ABC其他的邊和角,計算,,的值,從中你能發現什么結論嗎
【答案】　B=60°,C=90°,a=1,b=;=2,=2,=2,三者的值相等.
問題2:對于其他的直角三角形,此結論是否成立呢 是否能夠猜測,此結論對于銳角和鈍角三角形都成立呢
【答案】　
對于其他的直角三角形結論成立.如圖,Rt△ABC中,sin A=,sin B=,∴=c,=c.
∵sin C=1,∴==.
可以猜測,此結論對于銳角和鈍角三角形都成立.
新知生成
正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即==.
新知運用
例1　在△ABC中,AC=3,BC=2,cos A=,B是鈍角.
(1)求角B;
(2)求AB.
方法指導　(1)先求得sin A,然后利用正弦定理求得sin B,從而求得角B.(2)利用余弦定理求得AB.
【解析】　(1)∵cos A=,0∴sin A===.
∵=,∴=,∴sin B=.
∵B是鈍角,∴B=.
(2)由余弦定理得24=27+AB2-6AB,解得AB=3±,
∵3+>2,舍去,∴AB=3-.
【方法總結】　　已知三角形的兩角和任一邊解三角形的基本思路
(1)當所給邊是已知角的對邊時,可由正弦定理求出另一個角所對的邊,由三角形內角和定理求出第三個角,再由正弦定理求第三邊.
(2)當所給邊不是已知角的對邊時,先由三角形內角和定理求出第三個角,再由正弦定理求另外兩邊.
若△ABC的內角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,sin A·sin C=,b2=ac,則B=　　　　 　.
【答案】　或
【解析】　由b2=ac及正弦定理得sin2B=sin Asin C,又因為sin Asin C=,
所以sin2B=,所以sin B=.
又B∈(0,π),所以B=或B=.
探究2　利用正弦定理解三角形
　
木工張師傅的一個三角形形狀的模型壞了,只剩下如圖所示的部分,A=47°,B=53°,AB長為1 m,張師傅想修好這個零件,但他不知道AC和BC的長度是多少,你能幫張師傅這個忙嗎
問題:解答情境中的問題.
【答案】　C=180°-A-B=80°,利用正弦定理==可得BC==,AC==,利用計算器計算相關三角函數值可求出BC,AC的長度.
新知生成
利用正弦定理可以解決以下兩類有關三角形的問題:
①已知兩角和任意一邊,求其他兩邊和第三個角;
②已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角,從而求出其他的邊和角.
新知運用
例2　在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c.
方法指導　本例是已知三角形的兩角和一邊解三角形,其基本解題思路:先由三角形的內角和定理求出角A,再由正弦定理公式的變形,求另外的兩條邊b,c.
【解析】　A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.
由=得,b===4,
由=得,c====4+4.
∴A=45°,b=4,c=4+4.
【方法總結】　　解三角形中的常用結論
(1)在△ABC中,a+b>c,b+c>a,a+c>b,即任意兩邊之和大于第三邊.
(2)在△ABC中,①sin A=sin B A=B a=b,②cos A=cos B A=B a=b,③cos A>cos B A(3)在△ABC中,A>B a>b sin A>sin B,即大角對大邊,大邊對大角.
(4)在△ABC中,三角形內角和定理及相關結論:A+B+C=π,A+B=π-C,=-,sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,sin =cos ,cos =sin .
(5)在銳角△ABC中,A+B> A>-B sin A>cos B cos A(6)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,則A=B或A+B=.
1.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知C=60°,b=,c=3,則A=　　　　.
【答案】　75°
【解析】　由題意得=,所以sin B===.因為b2.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=,b=,B=120°,則a=　　　　.
【答案】　
【解析】　在△ABC中,由正弦定理,有=,所以sin C==,所以C=30°或C=150°(舍去),所以A=30°,所以a=c=.
探究3　判斷三角形解的個數
　　在△ABC中,a=9,b=10,A=60°.
問題:你能判斷三角形解的個數嗎
【答案】　因為sin B=sin A=×=,而<<1,所以60°新知生成
已知三角形的兩角和任意一邊,求其他兩邊和第三個角,此時有唯一解,三角形被唯一確定.已知兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角,此時可能出現一解、兩解或無解的情況,三角形不能被唯一確定.以已知a,b和A解三角形為例說明:
圖形 關系式 解的個數
A 為 銳 角 ①a=bsin A; ②a≥b 　一解　
bsin A　a新知運用
例3　(1)已知在△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么解此三角形可得(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.一解 B.兩解
C.無解 D.解的個數不確定
(2)在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,則B=　　　　.
方法指導　本例已知兩邊及其中一邊的對角,由正弦定理求出另一角的正弦值,然后進行判斷求解.
【答案】　 (1)C　 (2)105°或15°
【解析】　(1)∵c=2,bsin C=2,∴c(2)根據正弦定理=,得sin C===,∴C=45°或C=135°.當C=45°時,B=105°;當C=135°時,B=15°.
【方法總結】　　1.已知三角形的兩角與其中一邊,可用正弦定理求出三角形的其他元素,此類題有唯一解.
2.已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角,三角形的形狀一般不確定.用正弦定理求解時需判斷是否有解,有一個解,還是兩個解,可結合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角,大角對大邊”定理和三角形內角和定理去考慮解決問題.
　　已知下列各三角形中的兩邊及其一邊的對角,判斷三角形是否有解,有解的作出解答.
(1)a=10,b=20,A=80°;
(2)a=2,b=6,A=30°.
【解析】　(1)∵bsin A=20sin 80°>20sin 60°=10,∴a(2)∵bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A,∴bsin A∴本題有兩解.
由正弦定理,得sin B===.又∵0°當B=60°時,C=90°,c==4;
當B=120°時,C=30°,c=a=2.
【隨堂檢測】
1.在△ABC中,a=4,A=45°,B=60°,則邊b的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.+1 B.2+1
C.2 D.2+2
【答案】　C
【解析】　由已知及正弦定理,得=,∴b===2.
2.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,則B等于(　　).
A.45°或135° B.135°
C.45° D.以上【答案】都不對
【答案】　C
【解析】　∵sin B===,∴B=45°或135°.∵a>b,∴A>B,B=135°不符合題意,∴B=45°.
3.在△ABC中,a=3,b=2,A=30°,則cos B=　　　　.
【答案】　
【解析】　由正弦定理可得sin B===,
∵a=3>b=2,∴B21.6 課時2 正弦定理
【學習目標】
1.通過對任意三角形邊長和角度的關系的探索,掌握正弦定理的內容及其證明方法.(邏輯推理、數學運算)
2.能運用正弦定理與三角形內角和定理解決簡單的解三角形問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.正弦定理的內容是什么
2.在正弦定理中,三角形的各邊與其所對角的正弦的比值都相等,那么這個比值等于多少 與該三角形外接圓的直徑有什么關系
3.已知三角形的兩邊及其夾角,為什么不必考慮解的個數
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正弦定理對任意的三角形都成立. (　　)
(2)在△ABC中,等式bsin C=csin B總能成立. (　　)
(3)在△ABC中,已知a,b,A,則能求出唯一的角B. (　　)
(4)任意給出三角形的三個元素,都能求出其余元素. (　　)
2.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,則sin B=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
3.在△ABC中,A=30°,a=3,b=2,則這個三角形有(　　).
A.一解 B.兩解
C.無解 D.無法確定
【合作探究】
探究1 正弦定理
　　
如圖,在Rt△ABC中,A=30°,斜邊c=2.
問題1:試求△ABC其他的邊和角,計算,,的值,從中你能發現什么結論嗎
問題2:對于其他的直角三角形,此結論是否成立呢 是否能夠猜測,此結論對于銳角和鈍角三角形都成立呢
新知生成
正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即==.
新知運用
例1　在△ABC中,AC=3,BC=2,cos A=,B是鈍角.
(1)求角B;
(2)求AB.
方法指導　(1)先求得sin A,然后利用正弦定理求得sin B,從而求得角B.(2)利用余弦定理求得AB.
【方法總結】　　已知三角形的兩角和任一邊解三角形的基本思路
(1)當所給邊是已知角的對邊時,可由正弦定理求出另一個角所對的邊,由三角形內角和定理求出第三個角,再由正弦定理求第三邊.
(2)當所給邊不是已知角的對邊時,先由三角形內角和定理求出第三個角,再由正弦定理求另外兩邊.
若△ABC的內角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,sin A·sin C=,b2=ac,則B=　　　　 　.
探究2　利用正弦定理解三角形
　
木工張師傅的一個三角形形狀的模型壞了,只剩下如圖所示的部分,A=47°,B=53°,AB長為1 m,張師傅想修好這個零件,但他不知道AC和BC的長度是多少,你能幫張師傅這個忙嗎
問題:解答情境中的問題.
新知生成
利用正弦定理可以解決以下兩類有關三角形的問題:
①已知兩角和任意一邊,求其他兩邊和第三個角;
②已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角,從而求出其他的邊和角.
新知運用
例2　在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c.
方法指導　本例是已知三角形的兩角和一邊解三角形,其基本解題思路:先由三角形的內角和定理求出角A,再由正弦定理公式的變形,求另外的兩條邊b,c.
【方法總結】　　解三角形中的常用結論
(1)在△ABC中,a+b>c,b+c>a,a+c>b,即任意兩邊之和大于第三邊.
(2)在△ABC中,①sin A=sin B A=B a=b,②cos A=cos B A=B a=b,③cos A>cos B A(3)在△ABC中,A>B a>b sin A>sin B,即大角對大邊,大邊對大角.
(4)在△ABC中,三角形內角和定理及相關結論:A+B+C=π,A+B=π-C,=-,sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,sin =cos ,cos =sin .
(5)在銳角△ABC中,A+B> A>-B sin A>cos B cos A(6)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,則A=B或A+B=.
1.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知C=60°,b=,c=3,則A=　　　　.
2.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=,b=,B=120°,則a=　　　　.
探究3　判斷三角形解的個數
　　在△ABC中,a=9,b=10,A=60°.
問題:你能判斷三角形解的個數嗎
新知生成
已知三角形的兩角和任意一邊,求其他兩邊和第三個角,此時有唯一解,三角形被唯一確定.已知兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角,此時可能出現一解、兩解或無解的情況,三角形不能被唯一確定.以已知a,b和A解三角形為例說明:
圖形 關系式 解的個數
A 為 銳 角 ①a=bsin A; ②a≥b 　一解　
bsin A　a新知運用
例3　(1)已知在△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么解此三角形可得(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.一解 B.兩解
C.無解 D.解的個數不確定
(2)在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,則B=　　　　.
方法指導　本例已知兩邊及其中一邊的對角,由正弦定理求出另一角的正弦值,然后進行判斷求解.
【方法總結】　　1.已知三角形的兩角與其中一邊,可用正弦定理求出三角形的其他元素,此類題有唯一解.
2.已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角,三角形的形狀一般不確定.用正弦定理求解時需判斷是否有解,有一個解,還是兩個解,可結合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角,大角對大邊”定理和三角形內角和定理去考慮解決問題.
　　已知下列各三角形中的兩邊及其一邊的對角,判斷三角形是否有解,有解的作出解答.
(1)a=10,b=20,A=80°;
(2)a=2,b=6,A=30°.
【隨堂檢測】
1.在△ABC中,a=4,A=45°,B=60°,則邊b的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.+1 B.2+1
C.2 D.2+2
2.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,則B等于(　　).
A.45°或135° B.135°
C.45° D.以上【答案】都不對
3.在△ABC中,a=3,b=2,A=30°,則cos B=　　　　.
2

展開更多......

收起↑