資源簡介

1.6 課時3 正弦定理的應用
【學習目標】
1.熟記并能應用正弦定理的有關變形公式解決三角形中的問題.(邏輯推理、數學運算)
2.能利用正弦定理、三角變換、三角形面積公式解決較為復雜的三角形問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面積為4,則cos∠ABC等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.± C.- D.±
2.在△ABC中,若A=60°,b=2,其面積為,則=(　　).
A.3 B. C. D.
3.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,則最短邊的長等于　　　　.
4.在△ABC中,已知a=2,A=60°,則△ABC的外接圓的面積為　　　　.
【合作探究】
探究1 擴充的正弦定理　
問題1:任意三角形都有外接圓嗎 外接圓的半徑與正弦定理的比值有關系嗎
問題2:教材中是如何推導外接圓的半徑與正弦定理的比值關系的 它們的關系是什么
新知生成
擴充的正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比值為一個常數,這個常數等于該三角形外接圓的直徑,即===2R(R為外接圓的半徑).
新知運用
例1　在△ABC中,AB=,BC=,CA=2,則△ABC外接圓的面積為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
方法指導　首先根據余弦定理求cos B,再求sin B,再根據正弦定理求△ABC外接圓的半徑,即可求得圓的面積.
【方法總結】　　求三角形外接圓的面積的基本思路是求三角形外接圓的半徑.三角形各邊與它所對角的正弦值的比值為一個常數,這個常數等于該三角形的外接圓的直徑.
在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積S滿足2S=a2+b2-20,c=2,則△ABC的外接圓的周長等于(　　).
A.5π B.2π C.2π D.2π
探究2　正弦定理的變形及應用
問題1:在△ABC中,sin A=sin B,則A=B成立嗎
問題2:在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c成立嗎
問題3:在△ABC中,若A>B,是否有sin A>sin B 反之,是否成立
新知生成
正弦定理的常見變形:
(1)(邊化角)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R為△ABC外接圓的半徑).
(2)(角化邊)sin A=,sin B=,sin C=(R為△ABC外接圓的半徑).
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(4)===.
新知運用
例2　△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bsin B=csin C且sin2A=sin2B+sin2C,則該三角形是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.等腰直角三角形 B.等邊三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
【方法總結】　　(1)判斷三角形的形狀,應圍繞三角形的邊角關系進行轉化,既可以轉化為邊與邊的關系,也可以轉化為角與角的關系.(2)在邊角互化的過程中,注意正弦定理的變形使用,如=等.
在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,則△ABC的形狀是　　　　.
探究3　三角形的面積
問題1:在△ABC中,邊BC,CA,AB上的高分別記作ha,hb,hc,那么它們如何用已知邊和角表示
問題2:對比以前所學的三角形面積公式,如何用語言敘述它們
問題3:你能用坐標法證明S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B嗎
新知生成
任意三角形的面積公式
(1)S△ABC=bcsin A= acsin B　= absin C　,即任意三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦的乘積的一半.
(2)S△ABC=ah,其中a為△ABC的一邊長,而h為該邊上的高的長.
(3)S△ABC=r(a+b+c)=rl,其中r,l分別為△ABC的內切圓半徑及△ABC的周長.
新知運用
例3　在△ABC中,已知A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)當a=7時,求△ABC的面積.
【方法總結】　　已知三角形的兩邊和夾角可求三角形的面積,三角形的面積公式為S=absin C=acsin B=bcsin A.
　　(1)在△ABC中,若a=3,cos C=,S△ABC=4,則b=　　　　　.
(2)在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,則△ABC的面積等于　　　　　.
【隨堂檢測】
1.在△ABC中,若sin A>sin B,則角A與角B的大小關系為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.A>B B.AC.A≥B D.A,B的大小關系不能確定
2.在△ABC中,已知A=150°,a=3,則其外接圓的半徑R的值為(　　).
A.3 B. C.2 D.不確定
3.在△ABC中,若==,則△ABC是(　　).
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
4.在△ABC中,若a∶b∶c=1∶3∶5,求的值.
21.6 課時3 正弦定理的應用
【學習目標】
1.熟記并能應用正弦定理的有關變形公式解決三角形中的問題.(邏輯推理、數學運算)
2.能利用正弦定理、三角變換、三角形面積公式解決較為復雜的三角形問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面積為4,則cos∠ABC等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.± C.- D.±
【答案】　B
【解析】　由S=AB·BCsin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,所以cos∠ABC=±.
2.在△ABC中,若A=60°,b=2,其面積為,則=(　　).
A.3 B. C. D.
【答案】　C
【解析】　由S△ABC=bcsin A=,得×2c×sin 60°=,解得c=2,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=22+22-4=4,解得a=2,
由正弦定理得===.
3.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,則最短邊的長等于　　　　.
【答案】　
【解析】　由三角形內角和定理得A=75°.由三角形的邊角關系得角B所對的邊b為最短邊.由正弦定理=得b===.
4.在△ABC中,已知a=2,A=60°,則△ABC的外接圓的面積為　　　　.
【答案】　
【解析】　△ABC的外接圓直徑2R===.故半徑R=,即外接圓的面積為.
【合作探究】
探究1 擴充的正弦定理　
問題1:任意三角形都有外接圓嗎 外接圓的半徑與正弦定理的比值有關系嗎
【答案】　都有外接圓.有關系.
問題2:教材中是如何推導外接圓的半徑與正弦定理的比值關系的 它們的關系是什么
【答案】　教材中分了直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情形來探究,它們的關系是===2R(R為外接圓的半徑).
新知生成
擴充的正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比值為一個常數,這個常數等于該三角形外接圓的直徑,即===2R(R為外接圓的半徑).
新知運用
例1　在△ABC中,AB=,BC=,CA=2,則△ABC外接圓的面積為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
方法指導　首先根據余弦定理求cos B,再求sin B,再根據正弦定理求△ABC外接圓的半徑,即可求得圓的面積.
【答案】　C
【解析】　由余弦定理可知cos B===,
所以sin B==,
由正弦定理得===2R,即R=,
所以△ABC外接圓的面積S=πR2=.
【方法總結】　　求三角形外接圓的面積的基本思路是求三角形外接圓的半徑.三角形各邊與它所對角的正弦值的比值為一個常數,這個常數等于該三角形的外接圓的直徑.
在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積S滿足2S=a2+b2-20,c=2,則△ABC的外接圓的周長等于(　　).
A.5π B.2π C.2π D.2π
【答案】　A
【解析】　因為c2=20,所以2S=a2+b2-20=a2+b2-c2.
又S=absin C,所以a2+b2-c2=absin C.
由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcos C,所以absin C=2abcos C,顯然cos C≠0,所以=2,即tan C=2,所以sin C=,所以△ABC的外接圓半徑R==,則外接圓的周長為2πR=5π.
探究2　正弦定理的變形及應用
問題1:在△ABC中,sin A=sin B,則A=B成立嗎
【答案】　成立,由于在△ABC中,sin A=sin B,有a=b,則A=B.
問題2:在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c成立嗎
【答案】　成立,由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c正確.
問題3:在△ABC中,若A>B,是否有sin A>sin B 反之,是否成立
【答案】　∵A>B,∴a>b.又∵=,∴sin A>sin B.
反之,若sin A>sin B,則a>b,即A>B.故A>B sin A>sin B.
新知生成
正弦定理的常見變形:
(1)(邊化角)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R為△ABC外接圓的半徑).
(2)(角化邊)sin A=,sin B=,sin C=(R為△ABC外接圓的半徑).
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(4)===.
新知運用
例2　△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bsin B=csin C且sin2A=sin2B+sin2C,則該三角形是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.等腰直角三角形 B.等邊三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
【答案】　A
【解析】　因為bsin B=csin C,所以b2=c2,即b=c.又sin2A=sin2B+sin2C,所以a2=b2+c2,即△ABC為直角三角形,而b=c,所以△ABC為等腰直角三角形.
【方法總結】　　(1)判斷三角形的形狀,應圍繞三角形的邊角關系進行轉化,既可以轉化為邊與邊的關系,也可以轉化為角與角的關系.(2)在邊角互化的過程中,注意正弦定理的變形使用,如=等.
在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,則△ABC的形狀是　　　　.
【答案】　直角三角形
【解析】　由已知得sin2A-sin2B=sin2C,由正弦定理得sin A=,sin B=,sin C=,所以2-2=2,即a2-b2=c2,所以b2+c2=a2.故△ABC是直角三角形.
探究3　三角形的面積
問題1:在△ABC中,邊BC,CA,AB上的高分別記作ha,hb,hc,那么它們如何用已知邊和角表示
【答案】　ha=bsin C=csin B,hb=csin A=asin C,hc=asin B=bsin A.
問題2:對比以前所學的三角形面積公式,如何用語言敘述它們
【答案】　三角形的面積是三角形任意兩邊與它們夾角的正弦的乘積的一半.
問題3:你能用坐標法證明S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B嗎
【答案】　(以已知a,b,C為例)以△ABC的頂點C為原點,射線CB的方向為x軸正方向建立平面直角坐標系,則頂點A的坐標為(bcos C,bsin C).
過點A作BC邊上的高AE,則根據三角函數的定義可得AE=bsin C,所以△ABC的面積S=·BC·AE=·a·bsin C=absin C.
同理可得S=bcsin A,S=acsin B.
故S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B.
新知生成
任意三角形的面積公式
(1)S△ABC=bcsin A= acsin B　= absin C　,即任意三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦的乘積的一半.
(2)S△ABC=ah,其中a為△ABC的一邊長,而h為該邊上的高的長.
(3)S△ABC=r(a+b+c)=rl,其中r,l分別為△ABC的內切圓半徑及△ABC的周長.
新知運用
例3　在△ABC中,已知A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)當a=7時,求△ABC的面積.
【解析】　(1)在△ABC中,因為A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C==×=.
(2)因為a=7,所以c=×7=3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍去).
所以△ABC的面積S=bcsin A=×8×3×=6.
【方法總結】　　已知三角形的兩邊和夾角可求三角形的面積,三角形的面積公式為S=absin C=acsin B=bcsin A.
　　(1)在△ABC中,若a=3,cos C=,S△ABC=4,則b=　　　　　.
(2)在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,則△ABC的面積等于　　　　　.
【答案】　(1)2　(2)或
【解析】　(1)∵cos C=,
∴C∈(0°,90°),
∴sin C==.
又S△ABC=absin C=·3·b·=4,
∴b=2.
(2)由正弦定理得sin C===,
又C∈(0°,180°),∴C=60°或120°,
∴A=90°或A=30°,
當A=90°時,S△ABC=AB·AC·sin A=;
當A=30°時,S△ABC=AB·AC·sin A=.
【隨堂檢測】
1.在△ABC中,若sin A>sin B,則角A與角B的大小關系為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.A>B B.AC.A≥B D.A,B的大小關系不能確定
【答案】　A
【解析】　sin A>sin B 2Rsin A>2Rsin B(R為△ABC外接圓的半徑) a>b A>B.
2.在△ABC中,已知A=150°,a=3,則其外接圓的半徑R的值為(　　).
A.3 B. C.2 D.不確定
【答案】　A
【解析】　在△ABC中,由正弦定理得==6=2R,∴R=3.
3.在△ABC中,若==,則△ABC是(　　).
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】　B
【解析】　由正弦定理可得==,
∴tan A=tan B=tan C,∴A=B=C,∴△ABC是等邊三角形.
4.在△ABC中,若a∶b∶c=1∶3∶5,求的值.
【解析】　由條件得==,∴sin A=sin C.
同理可得sin B=sin C.
∴==-.
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