資源簡介

1.6 課時4 解三角形的應(yīng)用舉例
【學習目標】
1.能夠運用正弦、余弦定理解決與方位角有關(guān)的航海問題.(數(shù)學建模、數(shù)學運算)
2.會利用數(shù)學建模的思想,結(jié)合解三角形的知識,解決距離、高度、角度有關(guān)的實際應(yīng)用問題.(數(shù)學建模、數(shù)學運算)
【自主預(yù)習】
1.如圖所示,設(shè)A,B兩點在河的兩岸,一測量者與A在河的同側(cè),在所在的河岸邊先確定一點C,測出A,C的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以計算出A,B兩點的距離為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.50 m
B.50 m
C.25 m
D. m
【答案】　A
【解析】　在△ABC中,∠ABC=180°-45°-105°=30°,
由=,得AB=100×=50(m).
2.如圖,要測出山上一座天文臺BC的高,從山腰A處測得AC=60 m,天文臺最高處B的仰角為45°,天文臺底部C的仰角為15°,則天文臺BC的高為(　　).
A.20 m
B.30 m
C.20 m
D.30 m
【答案】　B
【解析】　由題圖可得∠B=45°,∠BAC=30°,故BC===30(m).
3.一船以15 km/h的速度向東行駛,船在A處看到一燈塔B在北偏東60°的方向上,行駛4 h后,船到達C處,看到這個燈塔在北偏東15°的方向上,這時船與燈塔的距離為　　　　km.
【答案】　30
【解析】　如圖所示,AC=15×4=60,
∠BAC=30°,∠B=45°,
在△ABC中,=,
∴BC=30.
故船與燈塔的距離為30 km.
【合作探究】
探究1 測量距離問題
問題1:如圖所示,A,B兩點在河的兩岸,在點A的一側(cè),需測出哪些量,可以求出A,B兩點間的距離
【答案】　測量者在點A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離,∠BAC的大小,∠ACB的大小三個量.
問題2:如圖所示,A,B兩點都在河的對岸(不可到達),結(jié)合圖形,需測出哪些量,可以求出A,B兩點間的距離
　　
【答案】　結(jié)合圖形,需要測出CD的長,∠BCD的大小,∠BDC的大小,就可以計算出BC的長,同理可以計算出AC的長,再算出AB的長.故只需測量出圖中CD的長,角α,β,γ,δ的大小.
新知生成
1.基線的概念與選擇原則
(1)定義:在測量上,根據(jù)測量需要適當確定的　線段　叫作基線.
(2)性質(zhì):在測量過程中,要根據(jù)實際需要選取合適的　基線長度　,使測量具有較高的精確度.一般來說,基線越長,測量的精確度越　高　.
2.測量不可到達的兩點間的距離,若是其中一點可以到達,利用一個三角形即可解決,一般用正弦定理;若兩點均不可到達,則需用三個三角形才能解決,一般正、余弦定理都要用到.
新知運用
例1　
已知A,B兩地之間隔著一個山岡,如圖,現(xiàn)選擇另一點C,測得CA=7 km,CB=5 km,C=60°,則A,B兩點之間的距離為　　　　km.
【答案】　
【解析】　由余弦定理,得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C=72+52-2×7×5×=39,∴AB=(km).
【方法總結(jié)】　　三角形中與距離有關(guān)的問題的求解策略
(1)解決三角形中與距離有關(guān)的問題,若在一個三角形中,
則直接利用正弦定理、余弦定理求解即可;若所求的線段在多個三角形中,則要根據(jù)條件選擇適當?shù)娜切?再利用正弦定理、余弦定理求解.
(2)解決三角形中與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊,分析所解三角形中已知哪些元素,還需要求出哪些元素,靈活應(yīng)用正弦定理、余弦定理來解決.
學校體育館的人字屋架的形狀為等腰三角形,如圖,測得AC的長度為4 m,A=30°,則其跨度AB的長為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 m B.8 m
C.3 m D.4 m
【答案】　D
【解析】　由題意知,A=B=30°,
所以C=180°-30°-30°=120°,
由正弦定理得=,
即AB===4(m).
探究2　測量高度問題
問題:小明要測量底部不能到達的某塔的高度.他選定了離地面高度為15 m的一個地點,他測得塔底的俯角為30°,塔頂?shù)难鼋菫?2°,由此估測該塔的高約為多少 (精確到0.1 m)
【答案】　設(shè)人的位置為A,塔底為B,塔頂為C,過A作BC的垂線,垂足為D(圖略),
則∠DAB=30°,∠DAC=62°,BD=15 m,AB===30 m,
所以BC=·sin∠CAB=·sin 92°≈63.9 m,故該塔的高約為63.9 m.
新知生成
1.仰角和俯角:與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方時叫　仰角　,目標視線在水平視線下方時叫　俯角　(如圖所示).
2.視角:從眼睛的中心向物體兩端所引的兩條直線的　夾角　,如圖所示,視角50°指的是觀察該物體的兩端視線張開的角度.
新知運用
例2　
如圖所示,為了測量某豎直建筑物CO的高度,在此建筑物的同一側(cè)且與此建筑物底部在同一水平面上,有相距60 m的A,B兩個觀測點,并在A,B兩點處測得建筑物頂部的仰角分別為45°和30°,且cos∠CAB=-,求此建筑物的高度.
方法指導　由題意分析可得AC=CO,BC=2CO,在△ABC中利用余弦定理運算求解.
【解析】　由題意可得AB=60,在Rt△OAC中,由∠CAO=45°,可得AC=CO.
在Rt△OBC中,由∠CBO=30°,可得BC=2CO.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,
即4CO2=2CO2+602-2×CO×60×-,整理得CO2-30CO-1800=0,
解得CO=60或CO=-30(舍去),
所以此建筑物的高度為60 m.
【方法總結(jié)】　　解決測量高度問題的一般步驟:(1)畫圖:根據(jù)已知條件畫出示意圖.(2)分析:分析與問題有關(guān)的三角形.(3)求解:運用正、余弦定理,解相關(guān)的三角形,經(jīng)檢驗后得到實際問題的解.在解題中,要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識,注意方程思想的運用.
　　在一幢20 m高的樓頂測得對面一塔吊頂部的仰角為60°,塔基的俯角為45°,那么這座塔吊的高是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.20 m B.20(1+) m
C.10(+) m D.20(+) m
【答案】　B
【解析】　
如圖,由條件知四邊形ABCD為正方形,∴AB=CD=BC=AD=20 m.
在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20 m,∴EC=CD·tan 60°=20 m,
∴BE=BC+CE=(20+20)m.
探究3　測量角度問題
　　請結(jié)合下圖,探究下面的問題.
問題:你能用方向角表述圖中的角嗎
【答案】　情境圖中AB的方向角是北偏東75°,BC的方向角是北偏東32°.
新知生成
1.方向角
從指定方向線到　目標　方向線所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向為始邊,順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°(如圖所示).
2.方位角
從正北方向　順時針　轉(zhuǎn)到目標方向線所成的水平角.如點B的方位角為α(如圖所示).
方位角的取值范圍:　[0°,360°)　.
新知運用
例3　 甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處,乙船以每小時a海里的速度向北行駛,已知甲船的速度是每小時a海里,問甲船應(yīng)沿什么方向前進才能最快與乙船相遇
方法指導　這個問題就是在△ABC中,已知BC,AC及∠B,求∠CAB,從而得解,所以可根據(jù)正弦定理求解.
【解析】　如圖所示.
設(shè)經(jīng)過t小時兩船在C點相遇,則在△ABC中,BC=at,AC=at,B=180°-60°=120°.由=得sin∠CAB====.
∵0°<∠CAB<90°,∴∠CAB=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°,
∴甲船應(yīng)沿北偏東30°的方向前進才能最快與乙船相遇.
【方法總結(jié)】　　測量角度問題的基本思路:(1)測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上,畫出表示實際問題的圖形,再在圖形中標出相關(guān)的角和距離;(2)根據(jù)已知條件選擇正弦定理或余弦定理解三角形,然后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.
　　無人機在農(nóng)業(yè)、地質(zhì)、氣象、電力、交通運輸?shù)刃袠I(yè)應(yīng)用廣泛.如圖,在一次城市宣傳的取景拍攝中,一架無人機從A處出發(fā),沿北偏東70°的方向航行(-1)km后到達B處,然后從B處出發(fā),沿北偏東10°的方向航行2 km后到達C處.
(1)求A處與C處之間的距離;
(2)如果下次航行直接從A處出發(fā)到達C處,應(yīng)沿什么方向航行
【解析】　(1)由題意知,在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,AB=-1,BC=2,
根據(jù)余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=(-1)2+4+2(-1)=6,
所以AC= km.
(2)根據(jù)正弦定理可得=,
即sin∠CAB=·sin∠ABC=,
又BC所以應(yīng)沿北偏東25°的方向航行即可到達C處.
【隨堂檢測】
1.某次測量中,點A在點B的北偏東55°方向上,則點B在點A的(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.北偏西35°方向上 B.北偏東55°方向上
C.南偏西35°方向上　 D.南偏西55°方向上
【答案】　D
【解析】　
根據(jù)題意和方向角的概念畫出草圖,如圖所示.
已知α=55°,則β=α=55°,所以點B在點A的南偏西55°方向上.
2.身高相同的甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測比兩人高20 m高的旗桿,甲觀測的仰角為50°,乙觀測的仰角為40°,用d1,d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離,那么有(　　).
A.d1>d2 B.d1C.d1>20 m D.d2<20 m
【答案】　B
【解析】　如圖,d1=,d2=,因為tan 50°>1>tan 40°,所以d120 m,故選B.
3.
如圖,為測量出山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點,從點A測得點M的仰角∠MAN=60°,點C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,從點C測得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,則山高MN=　　　　.
【答案】　150 m
【解析】　由題意可知AB=BC=100 m,所以AC=100 m,在△ACM中,由正弦定理得AM=·sin 60°=100 m,所以MN=AMsin 60°=100×=150 m.
4.在高出海平面200 m的小島頂上A處,測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°,此時兩船間的距離為　　　　m.
【答案】　200(+1)
【解析】　如圖,過點A作AH⊥BC于點H,
由圖易知∠BAH=45°,∠CAH=60°,AH=200 m,則BH=AH=200 m,CH=AH·tan 60°=200(m).故兩船距離BC=BH+CH=200(+1)m.
21.6 課時4 解三角形的應(yīng)用舉例
【學習目標】
1.能夠運用正弦、余弦定理解決與方位角有關(guān)的航海問題.(數(shù)學建模、數(shù)學運算)
2.會利用數(shù)學建模的思想,結(jié)合解三角形的知識,解決距離、高度、角度有關(guān)的實際應(yīng)用問題.(數(shù)學建模、數(shù)學運算)
【自主預(yù)習】
1.如圖所示,設(shè)A,B兩點在河的兩岸,一測量者與A在河的同側(cè),在所在的河岸邊先確定一點C,測出A,C的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以計算出A,B兩點的距離為(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.50 m
B.50 m
C.25 m
D. m
2.如圖,要測出山上一座天文臺BC的高,從山腰A處測得AC=60 m,天文臺最高處B的仰角為45°,天文臺底部C的仰角為15°,則天文臺BC的高為(　　).
A.20 m
B.30 m
C.20 m
D.30 m
3.一船以15 km/h的速度向東行駛,船在A處看到一燈塔B在北偏東60°的方向上,行駛4 h后,船到達C處,看到這個燈塔在北偏東15°的方向上,這時船與燈塔的距離為　　　　km.
【合作探究】
探究1 測量距離問題
問題1:如圖所示,A,B兩點在河的兩岸,在點A的一側(cè),需測出哪些量,可以求出A,B兩點間的距離
問題2:如圖所示,A,B兩點都在河的對岸(不可到達),結(jié)合圖形,需測出哪些量,可以求出A,B兩點間的距離
　　
新知生成
1.基線的概念與選擇原則
(1)定義:在測量上,根據(jù)測量需要適當確定的　線段　叫作基線.
(2)性質(zhì):在測量過程中,要根據(jù)實際需要選取合適的　基線長度　,使測量具有較高的精確度.一般來說,基線越長,測量的精確度越　高　.
2.測量不可到達的兩點間的距離,若是其中一點可以到達,利用一個三角形即可解決,一般用正弦定理;若兩點均不可到達,則需用三個三角形才能解決,一般正、余弦定理都要用到.
新知運用
例1　
已知A,B兩地之間隔著一個山岡,如圖,現(xiàn)選擇另一點C,測得CA=7 km,CB=5 km,C=60°,則A,B兩點之間的距離為　　　　km.
【方法總結(jié)】　　三角形中與距離有關(guān)的問題的求解策略
(1)解決三角形中與距離有關(guān)的問題,若在一個三角形中,
則直接利用正弦定理、余弦定理求解即可;若所求的線段在多個三角形中,則要根據(jù)條件選擇適當?shù)娜切?再利用正弦定理、余弦定理求解.
(2)解決三角形中與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊,分析所解三角形中已知哪些元素,還需要求出哪些元素,靈活應(yīng)用正弦定理、余弦定理來解決.
學校體育館的人字屋架的形狀為等腰三角形,如圖,測得AC的長度為4 m,A=30°,則其跨度AB的長為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 m B.8 m
C.3 m D.4 m
探究2　測量高度問題
問題:小明要測量底部不能到達的某塔的高度.他選定了離地面高度為15 m的一個地點,他測得塔底的俯角為30°,塔頂?shù)难鼋菫?2°,由此估測該塔的高約為多少 (精確到0.1 m)
新知生成
1.仰角和俯角:與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方時叫　仰角　,目標視線在水平視線下方時叫　俯角　(如圖所示).
2.視角:從眼睛的中心向物體兩端所引的兩條直線的　夾角　,如圖所示,視角50°指的是觀察該物體的兩端視線張開的角度.
新知運用
例2　
如圖所示,為了測量某豎直建筑物CO的高度,在此建筑物的同一側(cè)且與此建筑物底部在同一水平面上,有相距60 m的A,B兩個觀測點,并在A,B兩點處測得建筑物頂部的仰角分別為45°和30°,且cos∠CAB=-,求此建筑物的高度.
方法指導　由題意分析可得AC=CO,BC=2CO,在△ABC中利用余弦定理運算求解.
【方法總結(jié)】　　解決測量高度問題的一般步驟:(1)畫圖:根據(jù)已知條件畫出示意圖.(2)分析:分析與問題有關(guān)的三角形.(3)求解:運用正、余弦定理,解相關(guān)的三角形,經(jīng)檢驗后得到實際問題的解.在解題中,要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識,注意方程思想的運用.
　　在一幢20 m高的樓頂測得對面一塔吊頂部的仰角為60°,塔基的俯角為45°,那么這座塔吊的高是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.20 m B.20(1+) m
C.10(+) m D.20(+) m
探究3　測量角度問題
　　請結(jié)合下圖,探究下面的問題.
問題:你能用方向角表述圖中的角嗎
新知生成
1.方向角
從指定方向線到　目標　方向線所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向為始邊,順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°(如圖所示).
2.方位角
從正北方向　順時針　轉(zhuǎn)到目標方向線所成的水平角.如點B的方位角為α(如圖所示).
方位角的取值范圍:　[0°,360°)　.
新知運用
例3　 甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處,乙船以每小時a海里的速度向北行駛,已知甲船的速度是每小時a海里,問甲船應(yīng)沿什么方向前進才能最快與乙船相遇
方法指導　這個問題就是在△ABC中,已知BC,AC及∠B,求∠CAB,從而得解,所以可根據(jù)正弦定理求解.
【方法總結(jié)】　　測量角度問題的基本思路:(1)測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上,畫出表示實際問題的圖形,再在圖形中標出相關(guān)的角和距離;(2)根據(jù)已知條件選擇正弦定理或余弦定理解三角形,然后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.
　　無人機在農(nóng)業(yè)、地質(zhì)、氣象、電力、交通運輸?shù)刃袠I(yè)應(yīng)用廣泛.如圖,在一次城市宣傳的取景拍攝中,一架無人機從A處出發(fā),沿北偏東70°的方向航行(-1)km后到達B處,然后從B處出發(fā),沿北偏東10°的方向航行2 km后到達C處.
(1)求A處與C處之間的距離;
(2)如果下次航行直接從A處出發(fā)到達C處,應(yīng)沿什么方向航行
【隨堂檢測】
1.某次測量中,點A在點B的北偏東55°方向上,則點B在點A的(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.北偏西35°方向上 B.北偏東55°方向上
C.南偏西35°方向上　 D.南偏西55°方向上
2.身高相同的甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測比兩人高20 m高的旗桿,甲觀測的仰角為50°,乙觀測的仰角為40°,用d1,d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離,那么有(　　).
A.d1>d2 B.d1C.d1>20 m D.d2<20 m
3.
如圖,為測量出山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點,從點A測得點M的仰角∠MAN=60°,點C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,從點C測得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,則山高MN=　　　　.
4.在高出海平面200 m的小島頂上A處,測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°,此時兩船間的距離為　　　　m.
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