資源簡介

1.7 平面向量的應(yīng)用舉例
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能運(yùn)用向量的知識解決一些簡單的平面幾何問題.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.掌握兩種基本方法——選擇基向量法和建坐標(biāo)系法.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.能用向量知識處理一些簡單的物理問題.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.利用向量可以解決哪些常見的幾何問題
【答案】　可以解決平行、垂直、長度以及夾角問題.
2.向量在物理問題中的應(yīng)用有哪些
【答案】　(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解與合成與向量的減法和加法相似,故可以用向量的知識來解決.(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量,即為力F與位移s的數(shù)量積,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角).
1.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),則BC邊的中線AD的長是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.
C.3 D.
【答案】　B
【解析】　由題意得BC的中點(diǎn)為D,6,=-,5,所以||=.
2.當(dāng)兩人提起重力大小為|G|的旅行包時(shí),兩人用力方向的夾角為θ,用力大小都為|F|,若|F|=|G|,則θ的值為(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
【答案】　D
【解析】　作=F1,=F2,=-G(圖略),
則=+,
當(dāng)|F1|=|F2|=|G|時(shí),△OAC為正三角形,
所以∠AOC=60°,從而∠AOB=120°.
3.已知一個(gè)物體在大小為6 N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100 m,且F與s的夾角為60°,則力F所做的功W=　　　　J.
【答案】　300
【解析】　W=F·s=|F||s|cos=6×100×cos 60°=300(J).
【合作探究】
探究1 平面向量在幾何中的應(yīng)用
　　如圖所示,水渠橫斷面是四邊形ABCD,=,且||=||.
問題1:如何判斷這個(gè)四邊形的形狀
【答案】　利用向量共線和向量模的定義,證明該四邊形是等腰梯形.
問題2:向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論“若a=b,則|a|=|b|,且a,b所在直線平行或重合”相類比,你有什么體會
【答案】　全等、相似、長度、夾角等幾何性質(zhì)都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來.例如,向量的模對應(yīng)著幾何中的長度.
問題3:把直角三角形兩直角邊與斜邊的數(shù)量關(guān)系類比到矩形中,你能發(fā)現(xiàn)矩形兩對角線長度與兩鄰邊長度之間的關(guān)系嗎
【答案】　矩形兩對角線的平方和等于四邊的平方和.
新知生成
用向量方法解決平面幾何問題的步驟:
(1)用基向量表示待證或待求問題,然后利用數(shù)量的運(yùn)算解決問題.
(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等.
(3)再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
新知運(yùn)用
一、證明平行、垂直問題
例1　在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求證:AC⊥BC.
方法指導(dǎo)　可以選用基向量,利用向量運(yùn)算證明,也可以建系,利用坐標(biāo)運(yùn)算解決.
【解析】　(法一)由題意可設(shè)=e1,=e2,|e1|=|e2|,則=2e2,
∴=+=e1+e2,
=-=(e1+e2)-2e2=e1-e2.
∵·=(e1+e2)·(e1-e2)=-=|e1|2-|e2|2=0,∴⊥,即AC⊥BC.
(法二)如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)CD=1,則A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),
∴=(-1,1),=(1,1),
∴·=(1,1)·(-1,1)=-1+1=0,∴⊥,
即AC⊥BC.
【方法總結(jié)】　　用向量法解決平面幾何問題的兩種方法
(1)幾何法:選取適當(dāng)?shù)幕?基中的向量盡量已知模或夾角),將題中涉及的向量用基表示,利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算.
(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.
如圖,正方形ABCD的邊長為a,E是AB的中點(diǎn),F是BC的中點(diǎn),求證:DE⊥AF.
【解析】　∵·=+·+=--·,而AD⊥AB,AD=AB,∴·=0,
∴⊥,即DE⊥AF.
二、解決向量中的最值問題
例2　如圖所示,在矩形ABCD中,AB=2BC=4,動點(diǎn)M在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上,求·的最大值.
方法指導(dǎo)　先根據(jù)條件求得點(diǎn)C到BD的距離d,再把所求轉(zhuǎn)化為·=·+·,即可求得【答案】.
【解析】　在矩形ABCD中,AB=2BC=4,動點(diǎn)M在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上,
連接AC,CM,所以||=||=2,如圖所示,設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為d,則d==,
則·=(+)·=·+·,
其中·=(+)·(+)=-12,·≤||·||=8,
當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí),等號成立,
所以·=·+·≤-12+8=-4,
即·的最大值為-4.
已知在平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=2,·=4,點(diǎn)P在線段CD上(不包含端點(diǎn)),求·的取值范圍.
【解析】　∵AB=4,AD=2,·=4,∴||||·cos A=4,即cos A=,解得A=.
以A為原點(diǎn),以AB所在的直線為x軸,以AB的垂線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
∴A(0,0),B(4,0),D(1,),C(5,).
設(shè)P(x,)(1∴·=x(x-4)+3=x2-4x+3=(x-2)2-1.
設(shè)f(x)=(x-2)2-1,∴f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,5)上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)探究2　平面向量在物理中的應(yīng)用
　　這是小明拍他叔叔在拉單杠時(shí)的圖片.
問題1:小明的叔叔感覺兩臂的夾角越大,拉起來越費(fèi)力,這是為什么
【答案】　如圖,可知F=G,|F|=|F1|cos |F1|=,故夾角越大越費(fèi)力.
問題2:向量的運(yùn)算、速度、加速度、位移有什么聯(lián)系
【答案】　速度、加速度與位移的合成與分解,實(shí)質(zhì)上是向量的加、減法運(yùn)算,而運(yùn)動的疊加也用到向量的合成.
新知生成
向量在物理中的應(yīng)用
(1)物理問題中常見的向量有　力、速度、加速度、位移　等.
(2)向量的加、減法運(yùn)算體現(xiàn)在　力、速度、加速度、位移的合成與分解　.
(3)動量mv是向量的　數(shù)乘　運(yùn)算.
(4)功是　力F　與　所產(chǎn)生的位移s　的數(shù)量積.
新知運(yùn)用
一、向量在力學(xué)中的應(yīng)用
例3　
設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1,F2,F3處于平衡狀態(tài),若|F1|=1,|F2|=2,且F1與F2的夾角為,如圖所示.
(1)求F3的大小;
(2)求F2與F3的夾角.
方法指導(dǎo)　(1)由三個(gè)力處于平衡狀態(tài)用F1,F2表示F3→用向量模的計(jì)算公式求F3的大小(2)用F1,F2表示F3→構(gòu)造F2·F3→利用夾角公式求解
【解析】　(1)由題意知|F3|=|F1+F2|,
因?yàn)閨F1|=1,|F2|=2,且F1與F2的夾角為,
所以|F3|=|F1+F2|==.
(2)設(shè)F2與F3的夾角為θ,
因?yàn)镕3=-(F1+F2),
所以F3·F2=-F1·F2-F2·F2,
即×2×cos θ=-1×2×-4,
解得cos θ=-,
所以θ=.
【方法總結(jié)】　　(1)力、速度、位移的合成與分解,實(shí)質(zhì)上就是向量的加、減法運(yùn)算.(2)力做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積,實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的數(shù)量積,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ為F和s的夾角).
　　物體W的質(zhì)量為50千克(所受重力為490 N),用繩子將物體W懸掛在兩面墻之間,已知兩面墻之間的距離AB=10米(AB為水平線),AC=6米,BC=8米,求AC,BC上所受的力的大小.
【解析】　
如圖,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)|f1|=a,|f2|=b,
則f1=,f2=-b,b,又f1+f2=(0,490),
所以解得
所以AC,BC上所受的力的大小分別為392 N,294 N.
二、向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用
例4　一條寬為 km的河,水流速度為2 km/h,在河兩岸有兩個(gè)碼頭A,B,已知AB= km,船在靜水中最大航速為4 km/h.問怎樣安排航行速度,可使該船從A碼頭最快到達(dá)彼岸B碼頭 用時(shí)多少
方法指導(dǎo)　畫出示意圖,解三角形即可.
【解析】　
如圖所示,設(shè)為水流速度,為船在靜水中的速度,以AC和AD為鄰邊作 ACED,當(dāng)與共線時(shí)最快到達(dá)彼岸.
根據(jù)題意知AC⊥AE,
在Rt△ADE和 ACED中,
||=||=2,||=4,∠AED=90°,
∴||==2,
t=÷2=0.5(h),sin∠EAD=,∴∠EAD=30°.
故當(dāng)船在靜水中的航行速度大小為4 km/h,且與水流方向成120°角時(shí)能最快到達(dá)B碼頭,用時(shí)0.5 h.
【方法總結(jié)】　　向量在物理學(xué)中的應(yīng)用一般涉及力或速度的合成與分解,充分借助向量的平行四邊形法則把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.
　　在風(fēng)速為75(-) km/h的西風(fēng)中,飛機(jī)以150 km/h的航速向西北方向飛行,求沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向.
【解析】　
設(shè)w表示風(fēng)速,va表示有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度,vb表示無風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度,則vb=va-w,如圖所示.
設(shè)||=|va|,||=|w|,||=|vb|,作AD∥BC,CD⊥AD于點(diǎn)D,BE⊥AD于點(diǎn)E,則∠BAD=45°,設(shè)||=150,||=75(-),
∴||=||=||=75,||=75,
從而|vb|=||=150,∠CAD=30°.
故沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速為150 km/h,方向?yàn)楸逼?0°.
【隨堂檢測】
1.已知平面內(nèi)四邊形ABCD和點(diǎn)O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,則四邊形ABCD為(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四邊形
【答案】　D
【解析】　由條件知+=+,則-=-,即=,∴四邊形ABCD為平行四邊形.
2.已知兩個(gè)力F1,F2的夾角為90°,它們的合力大小為10 N,合力與F1的夾角為60°,那么F1的大小為(　　).
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
【答案】　B
【解析】　由題意得|F1|=10×cos 60°=5(N).
3.如圖,半圓的直徑AB=8,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點(diǎn),若P為半徑OC上的動點(diǎn),則(+)·的最小值等于(　　).
A.-16 B.-8 C.-4 D.-2
【答案】　B
【解析】　設(shè)|PO|=x(0≤x≤4),則|PC|=4-x,
∵O是AB的中點(diǎn),∴(+)·=2·=-2x(4-x)=2x2-8x=2(x-2)2-8,
∴當(dāng)x=2時(shí),(+)·取得最小值,最小值為-8.
4.一條河寬為0.8 km,一條船從A處出發(fā)垂直航行到達(dá)河正對岸的B處, 已知船在靜水中的速度為20 km/h,水速為12 km/h,則船到達(dá)B處所需的時(shí)間為　　　　min.
【答案】　3
【解析】　
如圖,∵v實(shí)際=v船+v水=v1+v2,
|v1|=20,|v2|=12,
∴|v實(shí)際|===16(km/h).
∴所需時(shí)間t==0.05(h)=3(min).
∴該船到達(dá)B處所需的時(shí)間為3 min.
21.7 平面向量的應(yīng)用舉例
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能運(yùn)用向量的知識解決一些簡單的平面幾何問題.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.掌握兩種基本方法——選擇基向量法和建坐標(biāo)系法.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.能用向量知識處理一些簡單的物理問題.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.利用向量可以解決哪些常見的幾何問題
2.向量在物理問題中的應(yīng)用有哪些
1.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),則BC邊的中線AD的長是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.
C.3 D.
2.當(dāng)兩人提起重力大小為|G|的旅行包時(shí),兩人用力方向的夾角為θ,用力大小都為|F|,若|F|=|G|,則θ的值為(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
3.已知一個(gè)物體在大小為6 N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100 m,且F與s的夾角為60°,則力F所做的功W=　　　　J.
【合作探究】
探究1 平面向量在幾何中的應(yīng)用
　　如圖所示,水渠橫斷面是四邊形ABCD,=,且||=||.
問題1:如何判斷這個(gè)四邊形的形狀
問題2:向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論“若a=b,則|a|=|b|,且a,b所在直線平行或重合”相類比,你有什么體會
問題3:把直角三角形兩直角邊與斜邊的數(shù)量關(guān)系類比到矩形中,你能發(fā)現(xiàn)矩形兩對角線長度與兩鄰邊長度之間的關(guān)系嗎
新知生成
用向量方法解決平面幾何問題的步驟:
(1)用基向量表示待證或待求問題,然后利用數(shù)量的運(yùn)算解決問題.
(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等.
(3)再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
新知運(yùn)用
一、證明平行、垂直問題
例1　在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求證:AC⊥BC.
方法指導(dǎo)　可以選用基向量,利用向量運(yùn)算證明,也可以建系,利用坐標(biāo)運(yùn)算解決.
【方法總結(jié)】　　用向量法解決平面幾何問題的兩種方法
(1)幾何法:選取適當(dāng)?shù)幕?基中的向量盡量已知模或夾角),將題中涉及的向量用基表示,利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算.
(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.
如圖,正方形ABCD的邊長為a,E是AB的中點(diǎn),F是BC的中點(diǎn),求證:DE⊥AF.
二、解決向量中的最值問題
例2　如圖所示,在矩形ABCD中,AB=2BC=4,動點(diǎn)M在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上,求·的最大值.
方法指導(dǎo)　先根據(jù)條件求得點(diǎn)C到BD的距離d,再把所求轉(zhuǎn)化為·=·+·,即可求得
已知在平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=2,·=4,點(diǎn)P在線段CD上(不包含端點(diǎn)),求·的取值范圍.
探究2　平面向量在物理中的應(yīng)用
　　這是小明拍他叔叔在拉單杠時(shí)的圖片.
問題1:小明的叔叔感覺兩臂的夾角越大,拉起來越費(fèi)力,這是為什么
問題2:向量的運(yùn)算、速度、加速度、位移有什么聯(lián)系
新知生成
向量在物理中的應(yīng)用
(1)物理問題中常見的向量有　力、速度、加速度、位移　等.
(2)向量的加、減法運(yùn)算體現(xiàn)在　力、速度、加速度、位移的合成與分解　.
(3)動量mv是向量的　數(shù)乘　運(yùn)算.
(4)功是　力F　與　所產(chǎn)生的位移s　的數(shù)量積.
新知運(yùn)用
一、向量在力學(xué)中的應(yīng)用
例3　
設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1,F2,F3處于平衡狀態(tài),若|F1|=1,|F2|=2,且F1與F2的夾角為,如圖所示.
(1)求F3的大小;
(2)求F2與F3的夾角.
方法指導(dǎo)　(1)由三個(gè)力處于平衡狀態(tài)用F1,F2表示F3→用向量模的計(jì)算公式求F3的大小(2)用F1,F2表示F3→構(gòu)造F2·F3→利用夾角公式求解
【方法總結(jié)】　　(1)力、速度、位移的合成與分解,實(shí)質(zhì)上就是向量的加、減法運(yùn)算.(2)力做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積,實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的數(shù)量積,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ為F和s的夾角).
　　物體W的質(zhì)量為50千克(所受重力為490 N),用繩子將物體W懸掛在兩面墻之間,已知兩面墻之間的距離AB=10米(AB為水平線),AC=6米,BC=8米,求AC,BC上所受的力的大小.
二、向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用
例4　一條寬為 km的河,水流速度為2 km/h,在河兩岸有兩個(gè)碼頭A,B,已知AB= km,船在靜水中最大航速為4 km/h.問怎樣安排航行速度,可使該船從A碼頭最快到達(dá)彼岸B碼頭 用時(shí)多少
【方法總結(jié)】　　向量在物理學(xué)中的應(yīng)用一般涉及力或速度的合成與分解,充分借助向量的平行四邊形法則把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.
　　在風(fēng)速為75(-) km/h的西風(fēng)中,飛機(jī)以150 km/h的航速向西北方向飛行,求沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向.
【隨堂檢測】
1.已知平面內(nèi)四邊形ABCD和點(diǎn)O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,則四邊形ABCD為(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四邊形
2.已知兩個(gè)力F1,F2的夾角為90°,它們的合力大小為10 N,合力與F1的夾角為60°,那么F1的大小為(　　).
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
3.如圖,半圓的直徑AB=8,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點(diǎn),若P為半徑OC上的動點(diǎn),則(+)·的最小值等于(　　).
A.-16 B.-8 C.-4 D.-2
4.一條河寬為0.8 km,一條船從A處出發(fā)垂直航行到達(dá)河正對岸的B處, 已知船在靜水中的速度為20 km/h,水速為12 km/h,則船到達(dá)B處所需的時(shí)間為　　　　min.
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