資源簡介

2.1 課時2 兩角和與差的正弦公式
【學習目標】
1.能從兩角和與差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦公式.(邏輯推理)
2.能利用公式解決簡單的化簡求值問題.(數學運算)
【自主預習】
1.怎樣借助30°,45°的三角函數值求出sin 75°,sin 15°的值
2.怎樣根據α,β的三角函數值求出sin(α+β),sin(α-β)的值
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (　　)
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立. (　　)
(3)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. (　　)
(4)sin(α+β)=sin βcos α-sin αcos β. (　　)
2.cos 17°sin 13°+sin 17°cos 13°的值為(　　).
A. B. C. D.以上都不對
3.已知α是銳角,sin α=,則cos+α=　　　　.
【合作探究】
探究1 兩角差的正弦公式
問題1:能否用兩角和與差的余弦公式求sin 15°的值呢
問題2:如何利用所學的余弦公式推導sin(α-β)
問題3: 兩角差的正弦公式的適用條件是什么
新知生成
兩角差的正弦公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
新知運用
例1　已知α,β為銳角,tan α=,cos(α+β)=-,求sin(α-β)的值.
【方法總結】　　在進行求值變換的過程中,一定要本著先整體后局部的基本原則,先整體分析三角函數式的特點,如果整體符合三角公式,那么整體變形,否則進行各局部的變換.
若銳角α,β滿足cos α=,cos(α+β)=,則sin β的值是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C. D.0
探究2　兩角和的正弦公式
　　問題1:如何利用所學的余弦公式推導sin(α+β)
問題2:根據公式C(α±β)的識記規律,你能總結出公式S(α±β)的記憶規律嗎
新知生成
兩角和的正弦公式:S(α+β):sin(α+β)=　sin αcos β+cos αsin β　.
新知運用
例2　(1)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值.
(2)已知α為銳角,sin=,求sin α的值.
方法指導　(1)由兩角差的正弦公式、誘導公式得sin β,由平方關系得cos β,再利用兩角和的正弦公式計算.(2)觀察已知與待求,發現α=+,然后根據兩角和的正弦公式求解.
【方法總結】　　(1)當“已知角”有兩個或多個時,“所求角”一般可以表示為其中兩個“已知角”的和或差的形式;(2)當“已知角”有一個時,此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系,然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”;(3)角的拆分方法不唯一,可根據題目合理選擇拆分方式.
1.若cos α=-,α是第三象限的角,則sin=　　　　.
2.設α∈,β∈,若cos α=-,sin β=-,求sin(α+β)的值.
探究3　兩角和與差的正弦公式的應用
例3　已知銳角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)求證:tan A=2tan B.
(2)求sin 2A的值.
【方法總結】　　兩角和與差的正弦公式在解三角形中應用廣泛,對公式的要求不僅要會正用,還要能夠逆用.
在△ABC中,已知tan A=-2,B=.求:
(1)cos A的值;
(2)sin C的值.
【隨堂檢測】
1.sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B. C. D.-
2.化簡sin+sin=(　　).
A.-sin x B.sin x
C.-cos x D.cos x
3.已知角α的終邊經過點(-3,4),則sin的值為　　　 　.
4.在△ABC中,已知cos A=,cos B=,求sin C的值.
22.1 課時2 兩角和與差的正弦公式
【學習目標】
1.能從兩角和與差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦公式.(邏輯推理)
2.能利用公式解決簡單的化簡求值問題.(數學運算)
【自主預習】
1.怎樣借助30°,45°的三角函數值求出sin 75°,sin 15°的值
【答案】　讓學生計算sin 30°+sin 45°,sin 45°-sin 30°的值,思考與sin 75°,sin 15°的關系.利用sin 75°=cos 15°=cos(45°-30°),嘗試求sin(30°+45°)的值.同理可求sin(45°-30°)的值.
2.怎樣根據α,β的三角函數值求出sin(α+β),sin(α-β)的值
【答案】　根據兩角和與差的余弦公式以及誘導公式sin α=cos可推導出sin(α+β),sin(α-β)的公式.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (　　)
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立. (　　)
(3)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. (　　)
(4)sin(α+β)=sin βcos α-sin αcos β. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.cos 17°sin 13°+sin 17°cos 13°的值為(　　).
A. B. C. D.以上都不對
【答案】　A
【解析】　原式=sin(13°+17°)=sin 30°=.
3.已知α是銳角,sin α=,則cos+α=　　　　.
【答案】　
【解析】　因為α是銳角,sin α=,所以cos α=,
所以cos+α=coscos α-sinsin α=×-×=.
【合作探究】
探究1 兩角差的正弦公式
問題1:能否用兩角和與差的余弦公式求sin 15°的值呢
【答案】　將sin 15°通過誘導公式轉化為求cos 75°的值進行求解,即sin 15°=cos 75°=cos(30°+45°).
問題2:如何利用所學的余弦公式推導sin(α-β)
【答案】　由誘導公式及兩角和的余弦公式可知,
sin(α-β)=cos=cos
=coscos β-sinsin β
=sin αcos β-cos αsin β.
問題3: 兩角差的正弦公式的適用條件是什么
【答案】　公式中的α、β是任意角,可以是具體的角,也可以是表示角的代數式.
新知生成
兩角差的正弦公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
新知運用
例1　已知α,β為銳角,tan α=,cos(α+β)=-,求sin(α-β)的值.
【解析】　因為α為銳角,tan α=,
所以sin α=,cos α=.
因為α,β為銳角,所以α+β∈(0,π),
因為cos(α+β)=-,
所以sin(α+β)===,
所以sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=×-×
=.
所以cos β===,
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×
=-.
【方法總結】　　在進行求值變換的過程中,一定要本著先整體后局部的基本原則,先整體分析三角函數式的特點,如果整體符合三角公式,那么整體變形,否則進行各局部的變換.
若銳角α,β滿足cos α=,cos(α+β)=,則sin β的值是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C. D.0
【答案】　C
【解析】　∵cos α=,cos(α+β)=,α,β∈,
∴0<α+β<,sin α==,∴sin(α+β)==,
∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=×-×=.
探究2　兩角和的正弦公式
　　問題1:如何利用所學的余弦公式推導sin(α+β)
【答案】　由誘導公式及兩角和的余弦公式可知,
sin(α+β)=cos=cos
=coscos β+sinsin β
=sin αcos β+cos αsin β.
問題2:根據公式C(α±β)的識記規律,你能總結出公式S(α±β)的記憶規律嗎
【答案】　對比公式C(α±β)的識記規律“余余正正,加減相反”,可得公式S(α±β)的記憶規律為“正余余正,加減相同”.
新知生成
兩角和的正弦公式:S(α+β):sin(α+β)=　sin αcos β+cos αsin β　.
新知運用
例2　(1)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值.
(2)已知α為銳角,sin=,求sin α的值.
方法指導　(1)由兩角差的正弦公式、誘導公式得sin β,由平方關系得cos β,再利用兩角和的正弦公式計算.(2)觀察已知與待求,發現α=+,然后根據兩角和的正弦公式求解.
【解析】　(1)∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α
=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α
=sin(α-β-α)=sin(-β)=-sin β=,
∴sin β=-,又β是第三象限角,
∴cos β=-=-,
∴sin=sin βcos+cos βsin=×+×=-.
(2)∵α為銳角,∴0<α<,∴-<α-<,
又sin=,∴cos=,
∴sin α=sin
=sincos+cossin
=×=.
【方法總結】　　(1)當“已知角”有兩個或多個時,“所求角”一般可以表示為其中兩個“已知角”的和或差的形式;(2)當“已知角”有一個時,此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系,然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”;(3)角的拆分方法不唯一,可根據題目合理選擇拆分方式.
1.若cos α=-,α是第三象限的角,則sin=　　　　.
　　【答案】　-
【解析】　因為cos α=-,α是第三象限的角,所以sin α=-,由兩角和的正弦公式可得sin=sin αcos+cos αsin=×+×=-.
2.設α∈,β∈,若cos α=-,sin β=-,求sin(α+β)的值.
【解析】　因為α∈,cos α=-,所以sin α=,
因為β∈,sin β=-,所以cos β=.
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=.
探究3　兩角和與差的正弦公式的應用
例3　已知銳角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)求證:tan A=2tan B.
(2)求sin 2A的值.
【解析】　(1)∵sin(A+B)=,sin(A-B)=,
∴即 得=2,
∴tan A=2tan B.
(2)∵△ABC是銳角三角形,∴∴cos(A+B)=-,∵A,B為銳角,∴-∴cos(A-B)=,
∴sin 2A=sin[(A+B)+(A-B)]
=sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)
=×-×=.
【方法總結】　　兩角和與差的正弦公式在解三角形中應用廣泛,對公式的要求不僅要會正用,還要能夠逆用.
在△ABC中,已知tan A=-2,B=.求:
(1)cos A的值;
(2)sin C的值.
【解析】　(1)∵tan A=-2,∴=-2,∴sin A=-2cos A,
∵sin2A+cos2A=1,∴4cos2A+cos2A=1,
∴cos2A=,
∵tan A<0,∴A∈,∴cos A=-.
(2)∵cos A=-,A∈,∴sin A=,
又∵B=,
∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B
=sin Acos +cos Asin
=×+×=.
【隨堂檢測】
1.sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°的值為(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B. C. D.-
【答案】　B
【解析】　sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°=sin 7°cos 23°+cos 7°sin 23°=sin(7°+23°)=sin 30°=.
2.化簡sin+sin=(　　).
A.-sin x B.sin x
C.-cos x D.cos x
【答案】　B
【解析】　原式=sin x+cos x+sin x-cos x=sin x.
3.已知角α的終邊經過點(-3,4),則sin的值為　　　 　.
【答案】　
【解析】　因為角α的終邊經過點(-3,4),所以sin α=,cos α=-,所以sin=sin αcos+cos αsin=×-×=.
4.在△ABC中,已知cos A=,cos B=,求sin C的值.
【解析】　由cos A=,A∈(0,π),得sin A===.
由cos B=,B∈(0,π),得sin B===.
在△ABC中,由A+B+C=π知,C=π-(A+B),
所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.
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