資源簡介

2.1 課時3 兩角和與差的正切公式
【學習目標】
1.會推導出兩角和與差的正切公式.(邏輯推理)
2.熟記公式的形式及符號特征,掌握公式的變形形式.(邏輯推理)
3.會用兩角和與差的正切公式進行簡單的三角函數的求值、化簡.(數學運算)
【自主預習】
1.兩角和的正弦、余弦公式是什么
2.兩角差的正弦、余弦公式是什么
1.若tan α=3,tan β=,則tan(α-β)=　　　　.
2.已知tan α=2,則tanα+=　　　　.
3.=　　　　.
4.已知sin α=,α是第一象限角,且tan(α+β)=1,則tan β的值為　　　　.
【合作探究】
探究1 兩角和與差的正切公式
問題1:從兩角和的正、余弦公式出發,你能推導出兩角和的正切公式嗎
問題2:兩角差的正切公式又如何推導呢
問題3:兩角和的正切公式中角α,β的取值范圍是什么 為什么
新知生成
兩角和與差的正切公式
名稱 公式 簡記 條件
兩角和的 正切公式 tan(α+β)= T(α+β) α≠kπ+,k∈Z,β≠kπ+,k∈Z,α+β≠kπ+,k∈Z,α-β≠kπ+,k∈Z
兩角差的 正切公式 tan(α-β)= T(α-β)
　　特別提醒:(1)在兩角和與差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+,k∈Z,這是由正切函數的定義域決定的.
(2)在應用兩角和與差的正切公式時,只要tan α,tan β,tan(α+β)(或tan(α-β))中任一個的值不存在,就不能使用兩角和(或差)的正切公式解決問題,應改用誘導公式或其他方法解題.如化簡tan,因為tan的值不存在,所以不能利用公式T(α-β)進行化簡,應改用誘導公式來化簡,即tan==.
新知運用
一、正切公式的正用
例1　(1)求tan(-75°)的值;
(2)已知cos α=,α∈(0,π),tan(α-β)=,求tan β的值.
方法指導　(1)75°=45°+30°,利用兩角和的正切公式求解;(2)由已知可求得sin α的值,則可求得tan α的值,因為β=α-(α-β),所以tan β=tan[α-(α-β)],再利用兩角差的正切公式求解.
二、正切公式的逆用
例2　求值:(1);
(2).
方法指導　(1)逆用兩角和的正切公式;(2)將換成tan 60°,再逆用兩角差的正切公式.
【方法總結】　　(1)利用公式T(α+β),T(α-β)求角的步驟:①計算待求角的正切值;②縮小待求角的范圍,特別注意隱含的信息;③根據角的范圍及三角函數值確定角.
(2)注意用已知角來表示未知角.
1.(1)已知tan=,則tan α=　　　　.
(2)已知角α,β均為銳角,且cos α=,tan(α-β)=-,則tan β=　　　　.
2.=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.1 D.
3.=　　　　.
探究2　正切公式在實際問題中的應用
例3　某購物廣場準備建造一座大型電子屏幕.已知大屏幕下端B處離地面3.5米,大屏幕高4米,若某位觀眾眼睛離地面1.5米.為獲得觀看的最佳視野(最佳視野是指看到屏幕上下端夾角的最大值),這位觀眾距離大屏幕所在的平面距離應為　　　　米.
方法指導　構造直角三角形,利用兩角差的正切公式求得表達式,利用基本不等式求解即可.
【方法總結】　　應用兩角和與差的正切公式解決問題,要熟記公式特征,選擇合適的公式求解.切記不要盲目地看到是和差角形式就套用公式,那樣會憑空增加計算量,而且容易出錯,先整體觀察題目的特點,再尋找最簡單的解題方法.
如圖,三個相同的正方形相接,則tan∠AEB的值是(　　).
　　　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.-1
探究3　和、差公式在三角形中的應用
問題1:根據兩角和與差的正切公式,tan α+tan β,tan α-tan β的變形是什么
問題2:若α=20°,β=25°,則(1+tan α)(1+tan β)的值是多少
新知運用
例4　根據下列條件,判斷△ABC的形狀(其中A,B,C為△ABC的三個內角).
(1)tan Atan B=1;
(2)tan Atan B>1;
(3)tan A+tan B+=tan Atan B且sin Acos A=.
方法指導　(1)(2)切函數化為弦函數,通過三角函數值符號判斷;(3)利用兩角和的正切公式的變形,得到C的值,再利用同角三角函數的基本關系求角A,B的大小.
【方法總結】　　解答有關三角形的題目(求角、求某個角的三角函數值、判斷三角形的形狀等)時,常用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(或逆用上述公式)來處理.解答過程中探尋與三角形的內角和定理A+B+C=π結合應用的解題思路,滲透了數學運算的核心素養.
在非直角△ABC中,
(1)求證:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
(2)若2B=A+C,且tan Atan C=2+,求△ABC的三個內角的大小.
【隨堂檢測】
1.若tan β=3,tan(α-β)=-2,則tan α=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.- C.1 D.-1
2.若tan 28°tan 32°=m,則tan 28°+tan 32°=(　　).
A.m B.(1-m)
C.(m-1) D.(m+1)
3.tan 19°+tan 26°+tan 19°tan 26°=　　　　.
4.
趙爽是我國古代的數學家、天文學家.約公元222年,趙爽為《周髀算經》一書作序時,介紹了“勾股圓方程”,亦稱“趙爽弦圖”,它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如圖,這是一張弦圖,已知大正方形的面積為25,小正方形的面積為1,若直角三角形較小的銳角為α,則tanα-的值為　　　　.
22.1 課時3 兩角和與差的正切公式
【學習目標】
1.會推導出兩角和與差的正切公式.(邏輯推理)
2.熟記公式的形式及符號特征,掌握公式的變形形式.(邏輯推理)
3.會用兩角和與差的正切公式進行簡單的三角函數的求值、化簡.(數學運算)
【自主預習】
1.兩角和的正弦、余弦公式是什么
【答案】　 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
2.兩角差的正弦、余弦公式是什么
【答案】　 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
1.若tan α=3,tan β=,則tan(α-β)=　　　　.
【答案】　
【解析】　tan(α-β)===.
2.已知tan α=2,則tanα+=　　　　.
【答案】　-3
【解析】　tanα+===-3.
3.=　　　　.
【答案】　
【解析】　原式=tan(75°-15°)=tan 60°=.
4.已知sin α=,α是第一象限角,且tan(α+β)=1,則tan β的值為　　　　.
【答案】　
【解析】　因為sin α=,α是第一象限角,所以cos α==,所以tan α==,
所以tan β=tan[(α+β)-α]==.
【合作探究】
探究1 兩角和與差的正切公式
問題1:從兩角和的正、余弦公式出發,你能推導出兩角和的正切公式嗎
【答案】　當cos(α+β)≠0時,tan(α+β)==.
若cos αcos β≠0時,將上式的分子、分母分別除以cos αcos β,得tan(α+β)=.
問題2:兩角差的正切公式又如何推導呢
【答案】　類比問題1的推導方法或用-β代替β即可得到tan(α-β)=.
問題3:兩角和的正切公式中角α,β的取值范圍是什么 為什么
【答案】　公式中角α,β的取值范圍是α+β≠+kπ,k∈Z,α≠+kπ,k∈Z,β≠+kπ,k∈Z.因為要得到兩角和的正切公式,先是將cos(α+β)作分母,然后是分式分子、分母同時除以cos αcos β,得到tan(α+β)=.根據分母不能為零可得取值范圍.
新知生成
兩角和與差的正切公式
名稱 公式 簡記 條件
兩角和的 正切公式 tan(α+β)= T(α+β) α≠kπ+,k∈Z,β≠kπ+,k∈Z,α+β≠kπ+,k∈Z,α-β≠kπ+,k∈Z
兩角差的 正切公式 tan(α-β)= T(α-β)
　　特別提醒:(1)在兩角和與差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+,k∈Z,這是由正切函數的定義域決定的.
(2)在應用兩角和與差的正切公式時,只要tan α,tan β,tan(α+β)(或tan(α-β))中任一個的值不存在,就不能使用兩角和(或差)的正切公式解決問題,應改用誘導公式或其他方法解題.如化簡tan,因為tan的值不存在,所以不能利用公式T(α-β)進行化簡,應改用誘導公式來化簡,即tan==.
新知運用
一、正切公式的正用
例1　(1)求tan(-75°)的值;
(2)已知cos α=,α∈(0,π),tan(α-β)=,求tan β的值.
方法指導　(1)75°=45°+30°,利用兩角和的正切公式求解;(2)由已知可求得sin α的值,則可求得tan α的值,因為β=α-(α-β),所以tan β=tan[α-(α-β)],再利用兩角差的正切公式求解.
【解析】　(1)∵tan 75°=tan(45°+30°)
===
==2+,
∴tan(-75°)=-tan 75°=-2-.
(2)∵cos α=>0,α∈(0,π),∴sin α>0,
∴sin α== =,
∴tan α===,
∴tan β=tan[α-(α-β)]=
==.
二、正切公式的逆用
例2　求值:(1);
(2).
方法指導　(1)逆用兩角和的正切公式;(2)將換成tan 60°,再逆用兩角差的正切公式.
【解析】　(1)原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-.
(2)原式=
=tan(60°-15°)=tan 45°=1.
【方法總結】　　(1)利用公式T(α+β),T(α-β)求角的步驟:①計算待求角的正切值;②縮小待求角的范圍,特別注意隱含的信息;③根據角的范圍及三角函數值確定角.
(2)注意用已知角來表示未知角.
1.(1)已知tan=,則tan α=　　　　.
(2)已知角α,β均為銳角,且cos α=,tan(α-β)=-,則tan β=　　　　.
【答案】　(1)　(2)3
【解析】　(1)因為tan=,
所以tan α=tan===.
(2)因為cos α=,α為銳角,所以sin α=,tan α=,
所以tan β=tan[α-(α-β)]===3.
2.=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.1 D.
【答案】　A
【解析】　==tan 30°=.
3.=　　　　.
【答案】　
【解析】　原式===.
探究2　正切公式在實際問題中的應用
例3　某購物廣場準備建造一座大型電子屏幕.已知大屏幕下端B處離地面3.5米,大屏幕高4米,若某位觀眾眼睛離地面1.5米.為獲得觀看的最佳視野(最佳視野是指看到屏幕上下端夾角的最大值),這位觀眾距離大屏幕所在的平面距離應為　　　　米.
方法指導　構造直角三角形,利用兩角差的正切公式求得表達式,利用基本不等式求解即可.
【解析】　
如圖,作CD⊥AB于D,AB=4,BD=3.5-1.5=2,
設CD=t,則tan∠BCD=,tan∠ACD=,∠ACB∈0,,
∴tan∠ACB=tan(∠ACD-∠BCD)=
===≤=,當且僅當t=,即t=2時取等號,
　　∴當CD=2,即這位觀眾距離大屏幕所在的平面為2米時,可以獲得觀看的最佳視野.
【方法總結】　　應用兩角和與差的正切公式解決問題,要熟記公式特征,選擇合適的公式求解.切記不要盲目地看到是和差角形式就套用公式,那樣會憑空增加計算量,而且容易出錯,先整體觀察題目的特點,再尋找最簡單的解題方法.
如圖,三個相同的正方形相接,則tan∠AEB的值是(　　).
　　　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.-1
【答案】　B
【解析】　因為tan∠AED==3,tan∠BED==2,
所以tan∠AEB=tan(∠AED-∠BED)==.
探究3　和、差公式在三角形中的應用
問題1:根據兩角和與差的正切公式,tan α+tan β,tan α-tan β的變形是什么
【答案】　tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
問題2:若α=20°,β=25°,則(1+tan α)(1+tan β)的值是多少
【答案】　∵tan 45°=tan(20°+25°)==1,
∴tan 20°+tan 25°=1-tan 20°tan 25°,
∴(1+tan α)(1+tan β)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°·tan 25°=1+1-tan 20°tan 25°+tan 20°tan 25°=2.
新知運用
例4　根據下列條件,判斷△ABC的形狀(其中A,B,C為△ABC的三個內角).
(1)tan Atan B=1;
(2)tan Atan B>1;
(3)tan A+tan B+=tan Atan B且sin Acos A=.
方法指導　(1)(2)切函數化為弦函數,通過三角函數值符號判斷;(3)利用兩角和的正切公式的變形,得到C的值,再利用同角三角函數的基本關系求角A,B的大小.
【解析】　(1)由tan Atan B==1,切化弦得cos(A+B)=0,所以cos C=-cos(A+B)=0,所以C=90°,故△ABC為直角三角形.
(2)切化弦得cos(A+B)<0,從而cos C=-cos(A+B)>0,
所以C為銳角,又tan Atan B>1,且tan A,tan B不能同時為負值,故A,B都是銳角,即△ABC為銳角三角形.
(3)由tan A+tan B+=tan Atan B得,
=-,即tan(A+B)=-,則tan C=-tan(A+B)=,又C∈(0°,180°),從而C=60°.
由sin Acos A=,得sin2Acos2A=,化為16cos4A-16cos2A+3=0,
得cos2A=或cos2A=,
解得cos A=±或cos A=±.
因為sin Acos A=,所以cos A>0,所以cos A=或cos A=.
又因為0°當A=30°時,C=60°,所以B=90°,與tan B有意義矛盾,舍去,
所以A=60°,B=60°,C=60°,即△ABC為正三角形.
【方法總結】　　解答有關三角形的題目(求角、求某個角的三角函數值、判斷三角形的形狀等)時,常用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(或逆用上述公式)來處理.解答過程中探尋與三角形的內角和定理A+B+C=π結合應用的解題思路,滲透了數學運算的核心素養.
在非直角△ABC中,
(1)求證:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
(2)若2B=A+C,且tan Atan C=2+,求△ABC的三個內角的大小.
【解析】　(1)∵A+B+C=180°,
∴tan(A+B)=-tan C,
又tan A+tan B=(1-tan Atan B)tan(A+B),
∴tan A+tan B+tan C
=(1-tan Atan B)tan(A+B)+tan C
=(1-tan Atan B)(-tan C)+tan C=tan Atan Btan C.
(2)∵2B=A+C,A+B+C=180°,∴B=60°,∴A+C=120°.
則tan(A+C)==-,
tan A+tan C=-×(-1-)=3+.
∴tan A,tan C是方程x2-(3+)x+2+=0的兩個根.
∴或
則B=60°,A=45°,C=75°或B=60°,C=45°,A=75°.
【隨堂檢測】
1.若tan β=3,tan(α-β)=-2,則tan α=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.- C.1 D.-1
【答案】　A
【解析】　tan α=tan[(α-β)+β]
===.
2.若tan 28°tan 32°=m,則tan 28°+tan 32°=(　　).
A.m B.(1-m)
C.(m-1) D.(m+1)
【答案】　B
【解析】　tan(28°+32°)=tan 60°===,
所以tan 28°+tan 32°=(1-m).
3.tan 19°+tan 26°+tan 19°tan 26°=　　　　.
【答案】　1
【解析】　因為tan 45°=tan(19°+26°)==1,
　　所以tan 19°+tan 26°=1-tan 19°tan 26°,
則tan 19°+tan 26°+tan 19°tan 26°=1.
4.
趙爽是我國古代的數學家、天文學家.約公元222年,趙爽為《周髀算經》一書作序時,介紹了“勾股圓方程”,亦稱“趙爽弦圖”,它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如圖,這是一張弦圖,已知大正方形的面積為25,小正方形的面積為1,若直角三角形較小的銳角為α,則tanα-的值為　　　　.
【答案】　7
【解析】　設直角三角形較小的直角邊為x,則較大的直角邊為x+1,又正方形邊長為5,
∴x2+(x+1)2=25,解得x=3或x=-4(舍去),
∴tan α=,∴tanα-====7.
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