資源簡介

2.2 二倍角的三角函數
【學習目標】
1.會從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(邏輯推理)
2.能熟練運用二倍角的公式進行簡單的恒等變換并能靈活地將公式變形運用.(數學運算)
【自主預習】
1.寫出兩角和的正弦、余弦、正切公式.
2.寫出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
3.在推導二倍角公式的過程中,二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角α對于任意角均成立嗎
4.在sin 2α,cos 2α,tan 2α的公式中,2α是α的倍角,角α一定為具體角嗎
1.已知cos α=,則cos 2α=　　　　.
2.cos245°-sin245°=　　　　.
3.已知tan α=,則tan 2α=　　　　.
【合作探究】
探究1 二倍角的正弦、余弦、正切公式
　　根據公式S(α+β),C(α+β),T(α+β),回答下列問題.
問題1:在兩角和的正弦、余弦、正切公式中,令α=β,公式的形式又是什么
問題2:二倍角的正弦、余弦、正切公式的結構特征是什么 它的簡寫和簡稱是什么
新知生成
二倍角公式
(1)sin 2α=　2sin αcos α　.
(2)cos 2α=　cos2α-sin2α　=　2cos2α-1　=　1-2sin2α　.
(3)tan 2α= 　.
特別提醒:(1)二倍角的“廣義理解”:二倍角是相對的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等,“倍”是描述兩個數量之間關系的,這里蘊含著換元思想.
(2)對于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α時,要保證分母1-tan2α≠0且tan α有意義,即α≠kπ+且α≠kπ-且α≠kπ+,k∈Z.當α=kπ+及α=kπ-,k∈Z時,tan 2α的值不存在;當α=kπ+,k∈Z時,tan α的值不存在,故不能用二倍角公式求tan 2α,此時可以利用誘導公式直接求tan 2α.
新知運用
一、給角求值
例1　求下列各式的值:
(1)sincos;(2)cos2-sin2;
(3);(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
方法指導　(1)逆用二倍角的正弦公式求解;(2)逆用二倍角的余弦公式求解;(3)逆用二倍角的正切公式求解;(4)需分子、分母同乘2sin 20°,湊二倍角的正弦公式求解.
【方法總結】　　對于給角求值問題,一般有兩類:(1)直接正用、逆用二倍角公式,結合誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式子進行轉化,一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件,使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式.
二、條件求值
例2　已知cosα+=,≤α<,求cos2α+的值.
【變式探究】
1.若本例條件不變,求的值.
2.若本例條件變為“sinα-=”,求sin2α+的值.
【方法總結】　　解決條件求值問題,要注意尋找已知式與未知式之間的聯系,有兩個觀察方向:(1)有方向地將已知式或未知式化簡,使關系明朗化;(2)尋找角之間的關系,看是否適合相關公式的使用,注意常見角的變換和角之間的二倍關系.
1.已知=2,則tan 2α=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B.- C. D.
2.求下列各式的值:
(1)cos 72°cos 36°;
(2)tan-.
3.已知sin-x=,0探究2　二倍角公式的變形形式
　　現有如下信息:(1)黃金分割比(簡稱:黃金比)是指把一條線段分割為兩部分,較短部分與較長部分的長度之比等于較長部分與整體的長度之比,其比值為;(2)黃金三角形被譽為最美三角形,是較短邊與較長邊之比為黃金比的等腰三角形;(3)有一個內角為36°的等腰三角形為黃金三角形.
問題1:根據上述信息,你能求出cos 36°嗎
問題2:若已知cos 2α=,如何求sin α呢
新知生成
1.二倍角的余弦公式變形
(1)cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(2)cos2α=,sin2α=.
2.二倍角的正弦公式變形
(1)sin αcos α=sin 2α.
(2)1±sin 2α=　(sin α±cos α)2　.
新知運用
例3　求下列各式的值:
(1)-cos215°;
(2)-.
方法指導　(1)用余弦倍角公式的變形求解;(2)利用輔助角公式和正弦的倍角公式的變形求解.
【方法總結】　　(1)逆用二倍角公式,結合特殊角的三角函數值、誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式進行轉化,一般可以化為特殊角或能約分求值的即可.
(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件,使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式.
已知α∈,且sin 2α=sin,求α的大小.
【隨堂檢測】
1.若cos α<0,且sin 2α>0,則角α的終邊在(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.下列各式中,值為的是(　　).
A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215°
C.2sin215° D.sin215°+cos215°
3.已知sin 2α=-sin α,α∈,則tan 2α的值是　　　.
4.已知cos α=-,α∈,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值.
22.2 二倍角的三角函數
【學習目標】
1.會從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(邏輯推理)
2.能熟練運用二倍角的公式進行簡單的恒等變換并能靈活地將公式變形運用.(數學運算)
【自主預習】
1.寫出兩角和的正弦、余弦、正切公式.
【答案】　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ;
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β ;
tan(α+β)=.
2.寫出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
【答案】　sin 2α=2sin αcos α;
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=.
3.在推導二倍角公式的過程中,二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角α對于任意角均成立嗎
【答案】　在sin 2α,cos 2α中,α為任意角,在tan 2α中,2α≠+kπ,k∈Z,即α≠+,k∈Z.
4.在sin 2α,cos 2α,tan 2α的公式中,2α是α的倍角,角α一定為具體角嗎
【答案】　角α不一定是具體角,也可為角的關系式.
1.已知cos α=,則cos 2α=　　　　.
【答案】　-
【解析】　cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-.
2.cos245°-sin245°=　　　　.
【答案】　0
【解析】　cos245°-sin245°=cos 90°=0.
3.已知tan α=,則tan 2α=　　　　.
【答案】　-
【解析】　tan 2α===-.
【合作探究】
探究1 二倍角的正弦、余弦、正切公式
　　根據公式S(α+β),C(α+β),T(α+β),回答下列問題.
問題1:在兩角和的正弦、余弦、正切公式中,令α=β,公式的形式又是什么
【答案】　sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α;
cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=cos2α-sin2α;
tan 2α=tan(α+α)==.
問題2:二倍角的正弦、余弦、正切公式的結構特征是什么 它的簡寫和簡稱是什么
【答案】　二倍角的正弦、余弦、正切公式的結構特征是公式左端是二倍角的三角函數,右端是單角的三角函數;它的簡寫分別是S2α,C2α,T2α,簡稱是倍角公式,其他三倍角、四倍角公式不能這樣簡稱.
新知生成
二倍角公式
(1)sin 2α=　2sin αcos α　.
(2)cos 2α=　cos2α-sin2α　=　2cos2α-1　=　1-2sin2α　.
(3)tan 2α= 　.
特別提醒:(1)二倍角的“廣義理解”:二倍角是相對的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等,“倍”是描述兩個數量之間關系的,這里蘊含著換元思想.
(2)對于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α時,要保證分母1-tan2α≠0且tan α有意義,即α≠kπ+且α≠kπ-且α≠kπ+,k∈Z.當α=kπ+及α=kπ-,k∈Z時,tan 2α的值不存在;當α=kπ+,k∈Z時,tan α的值不存在,故不能用二倍角公式求tan 2α,此時可以利用誘導公式直接求tan 2α.
新知運用
一、給角求值
例1　求下列各式的值:
(1)sincos;(2)cos2-sin2;
(3);(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
方法指導　(1)逆用二倍角的正弦公式求解;(2)逆用二倍角的余弦公式求解;(3)逆用二倍角的正切公式求解;(4)需分子、分母同乘2sin 20°,湊二倍角的正弦公式求解.
【解析】　(1)原式=×2sincos=×sin=×=.
(2)原式=cos=cos=.
(3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=-.
(4) 原式=
==
==.
【方法總結】　　對于給角求值問題,一般有兩類:(1)直接正用、逆用二倍角公式,結合誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式子進行轉化,一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件,使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式.
二、條件求值
例2　已知cosα+=,≤α<,求cos2α+的值.
【解析】　∵≤α<,∴≤α+<.
∵cosα+>0,∴<α+<.
∴sinα+=-=-=-.
∴cos 2α=sin2α+=2sinα+cosα+=2×-×=-,
sin 2α=-cos2α+=1-2cos2α+=1-2×2=.
∴cos2α+=cos 2α-sin 2α=×--=-.
【變式探究】
1.若本例條件不變,求的值.
【解析】　原式==(cos α-sin α)=2cosα+=.
2.若本例條件變為“sinα-=”,求sin2α+的值.
【解析】　∵sinα-=,
∴sin αcos-cos αsin=,
兩邊平方,得sin2α+-sin 2α=,
∴·+-sin 2α=,
即sin 2α·+cos 2α·=,
∴sin2α+=.
【方法總結】　　解決條件求值問題,要注意尋找已知式與未知式之間的聯系,有兩個觀察方向:(1)有方向地將已知式或未知式化簡,使關系明朗化;(2)尋找角之間的關系,看是否適合相關公式的使用,注意常見角的變換和角之間的二倍關系.
1.已知=2,則tan 2α=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B.- C. D.
【答案】　A
【解析】　因為=
==
=tan α+=2,
所以tan α=3,從而可得tan 2α===-.
2.求下列各式的值:
(1)cos 72°cos 36°;
(2)tan-.
【解析】　(1)原式====.
(2)原式==-2×
　　=-2×==-2.
3.已知sin-x=,0【解析】　原式===2sin+x.
∵0∵cos+x=sin-x=,
∴sin+x==,
∴原式=2×=.
探究2　二倍角公式的變形形式
　　現有如下信息:(1)黃金分割比(簡稱:黃金比)是指把一條線段分割為兩部分,較短部分與較長部分的長度之比等于較長部分與整體的長度之比,其比值為;(2)黃金三角形被譽為最美三角形,是較短邊與較長邊之比為黃金比的等腰三角形;(3)有一個內角為36°的等腰三角形為黃金三角形.
問題1:根據上述信息,你能求出cos 36°嗎
【答案】　如圖,在等腰三角形ABC中,∠ABC=36°,AB=BC=a,AC=b,取AC的中點D,連接BD.
因為=,sin=×=×=,
所以cos∠ABC=1-2sin2=1-2×=,
所以cos 36°=.
問題2:若已知cos 2α=,如何求sin α呢
【答案】　由公式cos 2α=cos2α-sin2α以及cos2α+sin2α=1,可以得到2sin2α=1-cos 2α,由此求出sin α=.
新知生成
1.二倍角的余弦公式變形
(1)cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(2)cos2α=,sin2α=.
2.二倍角的正弦公式變形
(1)sin αcos α=sin 2α.
(2)1±sin 2α=　(sin α±cos α)2　.
新知運用
例3　求下列各式的值:
(1)-cos215°;
(2)-.
方法指導　(1)用余弦倍角公式的變形求解;(2)利用輔助角公式和正弦的倍角公式的變形求解.
【解析】　(1)-cos215°=-(2cos215°-1)=-cos 30°=-.
(2)-=
=
=
==4.
【方法總結】　　(1)逆用二倍角公式,結合特殊角的三角函數值、誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式進行轉化,一般可以化為特殊角或能約分求值的即可.
(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件,使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式.
已知α∈,且sin 2α=sin,求α的大小.
【解析】　∵sin 2α=-cos=-
=1-2cos2,
sin=-sin=-cos
=-cos,
∴原式可化為1-2cos2=-cos,
解得cos=1或cos=-.
∵α∈,∴α+∈,
∴α+=0或α+=,
即α=-或α=.
【隨堂檢測】
1.若cos α<0,且sin 2α>0,則角α的終邊在(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】　C
【解析】　因為cos α<0,且sin 2α=2sin αcos α>0,
所以sin α<0,所以角α的終邊在第三象限.
2.下列各式中,值為的是(　　).
A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215°
C.2sin215° D.sin215°+cos215°
【答案】　B
【解析】　2sin 15°cos 15°=sin 30°=;
cos215°-sin215°=cos 30°=;
2sin215°=1-cos 30°=1-;
sin215°+cos215°=1.故選B.
3.已知sin 2α=-sin α,α∈,則tan 2α的值是　　　.
【答案】　
【解析】　∵α∈,∴sin α>0,
又∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,
∴cos α=-,∴sin α=,tan α=-,
∴tan 2α===.
4.已知cos α=-,α∈,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值.
【解析】　∵cos α=-,α∈,
∴sin α=-=-,
∴sin 2α=2sin αcos α=2××=,
cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,
∴tan 2α==.
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