資源簡介

2.3 課時1 半角公式
【學習目標】
1.通過二倍角公式的變形公式推導出半角的正弦、余弦、正切公式.(邏輯推理、數學運算)
2.了解半角公式的結構形式,并能利用半角公式解決簡單的求值問題.(數學運算)
【自主預習】
1.我們學過三角函數的哪些公式
2.二倍角的余弦公式是什么
3.正弦、余弦、正切的半角公式是什么
4.半角公式中的符號是如何確定的
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)cos=. (　　)
(2)存在α∈R,使得cos=cos α. (　　)
(3)對于任意α∈R,sin=sin α都不成立. (　　)
(4)若α是第一象限角,則tan=. (　　)
2.若cos α=,α∈(0,π),則cos的值為(　　).
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
3.設α∈(π,2π),則=　　　　.
【合作探究】
探究1 半角公式
　　對于公式“cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α”,探究下列問題.
問題1:若用角α替換2α,其結果是什么
問題2:根據上述結果,試用cos α,sin α表示cos,sin,tan.
問題3:利用商數關系,tan能否不用開方的形式來表示
新知生成
半角公式
sin =±,cos=±,tan=±.
新知運用
例1　已知cos α=,且α∈[π,2π],求sin,cos,tan的值.
方法指導　先求出的取值范圍,再結合二倍角的降冪公式以及同角三角函數的基本關系可求得結果.
【方法總結】　　利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函數式中的角是待求三角函數式中角的兩倍,則求解時常常借助半角公式求解.
(2)明范圍:由于半角公式求值常涉及符號問題,因此求解時務必依據角的范圍,求出相應半角的范圍.
(3)選公式:涉及半角公式的正切值時,常用tan==,其優點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題;涉及半角公式的正、余弦值時,常先利用sin2 =,cos2 =計算.
已知cos θ=-,θ∈(π,2π),則sin +cos =(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B. C.- D.
探究2　萬能公式
問題1:任意角中是否也有“全角”與“半角”之分,二者有什么數量關系
問題2:半角公式的符號是怎樣確定的
問題3:當α≠2kπ+π(k∈Z)時,如何用的正切值表示α的正弦值、余弦值
問題4:是α的半角,能用不帶根號的α的正弦值、余弦值表示tan嗎
新知生成
1.tan==.
2.萬能公式
當α≠2kπ+π(k∈Z)時,
sin α=,cos α=,tan α=.
新知運用
例2　已知α∈,tan α=2,則sin2-α-2cos2α+1的值為　　　　.
方法指導　先由tan α=2求出sin 2α,cos 2α的值,再利用余弦的二倍角公式以及誘導公式化簡,將sin 2α,cos 2α的值代入即可求解.
【方法總結】　　利用萬能公式解題要注意公式成立的條件.
已知tan=3,則cos 2θ=　　　　.
探究3　三角函數式的化簡與證明
例3　(1)化簡:(π<α<2π).
(2)證明:=.
方法指導　(1)利用cos α=2cos2-1消去分母和分子中的“1”,然后利用cos α=cos2-sin2合并角,分子、分母約分可得最簡形式.
(2)可先從左邊表達式分母中升冪縮角入手,再通過改變函數結構向右邊轉化.
【方法總結】　　(1)化簡三角函數式時,既要注意分析角之間的差異,尋求角的變換方法,還要觀察三角函數的結構特征,尋求化同名(化弦或化切)的方法,明確變形的目的.
(2)三角恒等式的證明,包括有條件的恒等式和無條件的恒等式兩種.
①無條件的恒等式證明,常用綜合法(執因索果)和分析法(執果索因),證明的形式有化繁為簡,左右歸一,變更論證等.
②有條件的恒等式證明,常常先觀察條件與欲證式中左、右兩邊三角函數的區別與聯系,靈活使用條件,變形得證.
1.化簡:(-π<α<0).
2.證明:=(tan θ+1).
【隨堂檢測】
1.tan=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.-1 D.-1
2.已知cos α=,α∈,則sin =(　　).
A. B.- C. D.
3.若=,則sin 2θ=　　　　.
4.證明:·=tan .
22.3 課時1 半角公式
【學習目標】
1.通過二倍角公式的變形公式推導出半角的正弦、余弦、正切公式.(邏輯推理、數學運算)
2.了解半角公式的結構形式,并能利用半角公式解決簡單的求值問題.(數學運算)
【自主預習】
1.我們學過三角函數的哪些公式
【答案】　同角基本關系式,誘導公式,兩角和差的三角函數公式,二倍角公式.
2.二倍角的余弦公式是什么
【答案】　cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
3.正弦、余弦、正切的半角公式是什么
【答案】　sin=±,cos=±,tan=±.
4.半角公式中的符號是如何確定的
【答案】　(1)當給出角α的具體范圍時,先求的范圍,然后根據的范圍確定符號.
(2)如果沒有給出決定符號的條件,那么在根號前要保留正負號.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)cos=. (　　)
(2)存在α∈R,使得cos=cos α. (　　)
(3)對于任意α∈R,sin=sin α都不成立. (　　)
(4)若α是第一象限角,則tan=. (　　)
【答案】　 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.若cos α=,α∈(0,π),則cos的值為(　　).
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
【答案】　C
【解析】　由題意知∈0,,所以cos>0,所以cos==.
3.設α∈(π,2π),則=　　　　.
【答案】　sin
【解析】　===sin.
因為α∈(π,2π),所以∈,π,所以sin>0,故原式=sin.
【合作探究】
探究1 半角公式
　　對于公式“cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α”,探究下列問題.
問題1:若用角α替換2α,其結果是什么
【答案】　結果為cos α=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.
問題2:根據上述結果,試用cos α,sin α表示cos,sin,tan.
【答案】　sin=±;cos=±;
tan=±.
問題3:利用商數關系,tan能否不用開方的形式來表示
【答案】　tan===;
tan===.
新知生成
半角公式
sin =±,cos=±,tan=±.
新知運用
例1　已知cos α=,且α∈[π,2π],求sin,cos,tan的值.
方法指導　先求出的取值范圍,再結合二倍角的降冪公式以及同角三角函數的基本關系可求得結果.
【解析】　由倍角公式可得,sin2==,
cos2==,所以tan2==.
由α∈[π,2π],得∈,
故sin=,cos=-,tan=-.
【方法總結】　　利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函數式中的角是待求三角函數式中角的兩倍,則求解時常常借助半角公式求解.
(2)明范圍:由于半角公式求值常涉及符號問題,因此求解時務必依據角的范圍,求出相應半角的范圍.
(3)選公式:涉及半角公式的正切值時,常用tan==,其優點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題;涉及半角公式的正、余弦值時,常先利用sin2 =,cos2 =計算.
已知cos θ=-,θ∈(π,2π),則sin +cos =(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B. C.- D.
【答案】　D
【解析】　∵θ∈(π,2π),∴∈,π,∴sin ==,cos =-=-,∴sin +cos =.
探究2　萬能公式
問題1:任意角中是否也有“全角”與“半角”之分,二者有什么數量關系
【答案】　是α的半角,α是2α的半角.
問題2:半角公式的符號是怎樣確定的
【答案】　半角公式的符號是由半角所在的象限確定的.
問題3:當α≠2kπ+π(k∈Z)時,如何用的正切值表示α的正弦值、余弦值
【答案】　sin α==,cos α==.
問題4:是α的半角,能用不帶根號的α的正弦值、余弦值表示tan嗎
【答案】　能,tan===,
同理tan====.
新知生成
1.tan==.
2.萬能公式
當α≠2kπ+π(k∈Z)時,
sin α=,cos α=,tan α=.
新知運用
例2　已知α∈,tan α=2,則sin2-α-2cos2α+1的值為　　　　.
方法指導　先由tan α=2求出sin 2α,cos 2α的值,再利用余弦的二倍角公式以及誘導公式化簡,將sin 2α,cos 2α的值代入即可求解.
【答案】　
【解析】　因為α∈,所以2α∈,因為tan α=2,
所以sin 2α==,cos 2α===-,
所以sin2-2cos2α+1=-cos 2α=-cos 2α=-=.
【方法總結】　　利用萬能公式解題要注意公式成立的條件.
已知tan=3,則cos 2θ=　　　　.
【答案】　-
【解析】　令α=θ-,則θ=α+,且tan α=3,
所以cos 2θ=cos=-sin 2α===-.
探究3　三角函數式的化簡與證明
例3　(1)化簡:(π<α<2π).
(2)證明:=.
方法指導　(1)利用cos α=2cos2-1消去分母和分子中的“1”,然后利用cos α=cos2-sin2合并角,分子、分母約分可得最簡形式.
(2)可先從左邊表達式分母中升冪縮角入手,再通過改變函數結構向右邊轉化.
【解析】　(1)原式=
=
=.
又∵π<α<2π,∴<<π,∴cos<0,
∴原式==cos α.
(2)左邊=
======右邊.
所以原等式成立.
【方法總結】　　(1)化簡三角函數式時,既要注意分析角之間的差異,尋求角的變換方法,還要觀察三角函數的結構特征,尋求化同名(化弦或化切)的方法,明確變形的目的.
(2)三角恒等式的證明,包括有條件的恒等式和無條件的恒等式兩種.
①無條件的恒等式證明,常用綜合法(執因索果)和分析法(執果索因),證明的形式有化繁為簡,左右歸一,變更論證等.
②有條件的恒等式證明,常常先觀察條件與欲證式中左、右兩邊三角函數的區別與聯系,靈活使用條件,變形得證.
1.化簡:(-π<α<0).
【解析】　原式=
=
==.
∵-π<α<0,∴-<<0,
∴sin<0,
∴原式==cos α.
2.證明:=(tan θ+1).
【解析】　由二倍角公式sin 2θ=2sin θcos θ,cos 2θ=cos2θ-sin2θ以及sin2θ+cos2θ=1,
可得=
==
=+=(tan θ+1),得證.
【隨堂檢測】
1.tan=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.-1 D.-1
【答案】　C
【解析】　tan==-1.
2.已知cos α=,α∈,則sin =(　　).
A. B.- C. D.
【答案】　A
【解析】　∵α∈,∴∈,∴sin ==.
3.若=,則sin 2θ=　　　　.
【答案】　-
【解析】　由題意可得=,解得tan θ=-4,所以sin 2θ==-.
4.證明:·=tan .
【解析】　左邊=·=·
===tan =右邊.
所以原等式成立.
2

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