資源簡介

2.3 課時2 和差化積和積化和差公式
【學習目標】
1.能根據公式S(α±β)和C(α±β)進行恒等變換,推導出積化和差與和差化積公式.(邏輯推理、數學運算)
2.了解三角變換在解數學問題時所起的作用,進一步體會三角變換的特點,提高推理、運算能力.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
　　前面我們學習了兩角和與差的正弦、余弦公式,利用它們對三角函數式進行恒等變形.可以達到化簡、求值或證明的目的,觀察對比四個公式,我們發現它們都是由cos αcos β,sin α·sin β,sin αcos β,cos αsin β構成.據此,我們能否直接表示出cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,cos αsin β 下面來研究這個問題.
1.積化和差與和差化積公式的推導中運用了什么數學思法方法
【答案】　積化和差公式的推導用了“解方程組”的思想,和差化積公式的推導用了“換元”的思想.
2.積化和差與和差化積公式有什么特點
【答案】　理解為三角恒等變換中的因式分解.
3.積化和差公式是什么
【答案】　sin αcos β=;
cos αsin β=;
sin αsin β=;
cos αcos β=.
4.和差化積公式是什么
【答案】　sin α+sin β=2sincos;
sin α-sin β=2cossin;
cos α+cos β=2coscos;
cos α-cos β=-2sinsin.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)sin αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]. (　　)
(2)sin αsin β=[cos(α+β)-cos(α-β)]. (　　)
(3)cos x+=2cos+cos-. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　 (3)√
2.sin 15°sin 75°=(　　).
A.　　B.　　C.　　D.
【答案】　B
【解析】　sin 15°sin 75°=-[cos(75°+15°)-cos(75°-15°)]=-(cos 90°-cos 60°)=.
故選B.
3.sin 105°+sin 15°=(　　).
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】　sin 105°+sin 15°=2sincos
=2sin 60°cos 45°=2××=.
故選C.
4.化簡:(1)sin 84°cos 114°=　　　　;
(2)cos+cos=　　　　.
【答案】　(1)-sin 18°-　(2)2coscos
【解析】　(1)sin 84°cos 114°=[sin(84°+114°)+sin(84°-114°)]=(sin 198°-sin 30°)=sin 198°-=-sin 18°-.
(2)cos+cos=2cos ·cos=2coscos.
【合作探究】
探究1 和差化積公式
問題1:如何化簡sin+sin
【答案】　把sin+sin展開整理得原式=2sincos α.
問題2:對任意兩個角,sin x+sin y應該等于什么
【答案】　sin x+sin y=2sincos.
問題3:和差化積公式的適用條件是什么
【答案】　只有系數絕對值相同的同名函數的和與差,才能直接運用公式化成積的形式,若是一個正弦與一個余弦的和或差,則要先用誘導公式化成同名函數后再運用公式.
新知生成
和差化積公式
設α+β=x,α-β=y,則α=,β=,則
sin x+sin y=2sincos;
sin x-sin y=2cossin;
cos x+cos y=2coscos;
cos x-cos y=-2sinsin.
新知運用
例1　求sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°的值.
【解析】　原式=++(sin 70°-sin 30°)
=1+(cos 100°-cos 40°)+sin 70°-
=+(-2sin 70°sin 30°)+sin 70°
=-sin 70°+sin 70°=.
【方法總結】　　和差化積公式應用時的注意事項
(1)在應用和差化積公式時,必須是一次同名三角函數方可施行,若是異名,必須用誘導公式化為同名,若是高次函數,必須用降冪公式降為一次.
(2)根據實際問題選用公式時,應從以下幾個方面考慮:①運用公式之后,能否出現特殊角;②運用公式之后,能否提取公因式,能否約分,能否合并或消項.
(3)為了能夠把三角函數式化為積的形式,有時需要把某些常數當作三角函數值才能應用公式,如-cos α=cos -cos α.
求sin 54°-sin 18°的值.
【解析】　原式=2cos sin =2cos 36°sin 18°
=2×
===.
探究2　積化和差公式
問題1:如何運用已知的公式證明sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)] 你還能得出什么結論
【答案】　因為sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
兩式相加,得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
所以sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],
兩式相減,得cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
問題2:利用兩角和差的余弦,你能求出cos αcos β,sin αsin β的表達式嗎
【答案】　回憶兩角和與差的三角函數公式:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,
通過兩式相加減,得
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
新知生成
積化和差公式
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)];
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
新知運用
例2　求值:(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°;
(2)sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
方法指導　利用積化和差公式化簡求值,注意角的變換,盡量出現特殊角.
【解析】　(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)
=-sin 50°+cos 40°
=-sin 50°+sin 50°=.
(2)原式=cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°
=cos 10°cos 50°cos 70°
=
=cos 70°+cos 40°cos 70°
=cos 70°+(cos 110°+cos 30°)
=cos 70°+cos 110°+=.
【方法總結】　　積化和差公式的關鍵是正確地選用公式,以便把非特殊角的三角函數值相約或相消,從而化為特殊角的三角函數.
在△ABC中,若B=30°,求cos Asin C的取值范圍.
【解析】　由題意,得cos Asin C=[sin(A+C)-sin(A-C)]=[sin(π-B)-sin(A-C)]=-sin(A-C).
∵B=30°,∴-150°∴-≤-sin(A-C)≤,∴cos Asin C的取值范圍是.
探究3　三角變換的簡單應用
例3　如圖所示,要把半徑為R,圓心角為的扇形木料截成矩形,應怎樣截取,才能使矩形EFGH的面積最大
方法指導　根據三角函數的邊角關系,結合三角恒等變換將求矩形面積轉化為構造正弦型三角函數,再利用三角函數的性質求得最大值即可.
【解析】　如圖,作∠POQ的平分線分別交EF,GH于點M,N,連接OE,
設∠MOE=α,α∈0,,
在Rt△MOE中,|ME|=Rsin α,|OM|=Rcos α,
在Rt△ONH中,=tan ,所以|ON|=|NH|=Rsin α,
則|MN|=|OM|-|ON|=R(cos α-sin α).
設矩形EFGH的面積為S,則S=2|ME|·|MN|=2R2sin α·(cos α-sin α)=R2(sin 2α+cos 2α-)=2R2sin2α+-R2,
由α∈0,,得2α+∈,,
所以當2α+=,即α=時,Smax=(2-)R2,
故當E,F為弧PQ上分別靠近P,Q的四等分點時,矩形EFGH的面積最大.
【方法總結】　　三角恒等變換與三角函數圖象性質的綜合問題的解題策略:運用三角函數的和、差、倍角公式將函數關系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助輔助角公式化為y=Asin (ωx+φ)+k或y=Acos (ωx+φ)+k的形式,將ωx+φ看作一個整體研究函數的性質,解決實際問題.
某小區擬用一塊如圖所示的半圓形地塊建造一個居民活動區和綠化區.已知半圓形地塊的直徑AB=4千米,O是半圓的圓心,在圓弧上取點C,D,使得BC=DC,把四邊形ABCD建為居民活動區,并且在居民活動區周圍鋪上一條由線段AB,BC,CD和DA組成的塑膠跑道,其他部分建為綠化區.設∠COB=θ,且≤θ<.
(1)求塑膠跑道的總長l關于θ的函數關系式;
(2)當θ為何值時,塑膠跑道的總長l最長,并求出l的最大值.
【解析】　(1)由已知得BC=CD=2OB·sin =4sin ,∠AOD=π-2θ,
故AD=2OA·sin =4sin-θ=4cos θ,
所以l=AB+BC+CD+DA=4+8sin +4cos θ,≤θ<.
(2)由(1)得l=4+8sin +4cos θ=4+8sin +41-2sin2=-8sin2+8sin +8=-8sin -2+10≤10,
因為≤θ<,所以當θ=時,l取得最大值,最大值為10千米.
【隨堂檢測】
1.sin 105°cos 75°的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.- D.-
【答案】　B
【解析】　sin 105°cos 75°=(sin 180°+sin 30°)=.
2.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值為(　　).
A.- B. C. D.-
【答案】　B
【解析】　sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=+[cos(10°-50°)-cos(10°+50°)]
=(sin 90°-sin 50°)+(cos 40°-cos 60°)
=-sin 50°+cos 40°
=-sin 50°+sin 50°=.故選B.
3.下列等式正確的是(　　).
A.sin x+sin y=2sin sin
B.sin x-sin y=2cos cos
C.cos x+cos y=2cos cos
D.cos x-cos y=2sin sin
【答案】　C
【解析】　由和差化積公式知C正確.
4.如圖所示,有一塊正方形的鋼板ABCD,其中一個角有部分損壞,現要把它截成一塊正方形的鋼板EFGH,其面積是原正方形鋼板面積的三分之二.
(1)求sinx+的值;
(2)應按角度x是多少來截取
【解析】　(1)設正方形鋼板的邊長為a,截后的正方形邊長為b,則=,解得=.
又a=GC+CF=bsin x+bcos x,所以sin x+cos x=,即sinx+=,
解得sinx+=.
(2)由(1)知sinx+=,
因為0故應按角度x=或來截取.
22.3 課時2 和差化積和積化和差公式
【學習目標】
1.能根據公式S(α±β)和C(α±β)進行恒等變換,推導出積化和差與和差化積公式.(邏輯推理、數學運算)
2.了解三角變換在解數學問題時所起的作用,進一步體會三角變換的特點,提高推理、運算能力.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
　　前面我們學習了兩角和與差的正弦、余弦公式,利用它們對三角函數式進行恒等變形.可以達到化簡、求值或證明的目的,觀察對比四個公式,我們發現它們都是由cos αcos β,sin α·sin β,sin αcos β,cos αsin β構成.據此,我們能否直接表示出cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,cos αsin β 下面來研究這個問題.
1.積化和差與和差化積公式的推導中運用了什么數學思法方法
2.積化和差與和差化積公式有什么特點
3.積化和差公式是什么
4.和差化積公式是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)sin αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]. (　　)
(2)sin αsin β=[cos(α+β)-cos(α-β)]. (　　)
(3)cos x+=2cos+cos-. (　　)
2.sin 15°sin 75°=(　　).
A.　　B.　　C.　　D.
3.sin 105°+sin 15°=(　　).
A. B. C. D.
4.化簡:(1)sin 84°cos 114°=　　　　;
(2)cos+cos=　　　　.
【合作探究】
探究1 和差化積公式
問題1:如何化簡sin+sin
問題2:對任意兩個角,sin x+sin y應該等于什么
問題3:和差化積公式的適用條件是什么
新知生成
和差化積公式
設α+β=x,α-β=y,則α=,β=,則
sin x+sin y=2sincos;
sin x-sin y=2cossin;
cos x+cos y=2coscos;
cos x-cos y=-2sinsin.
新知運用
例1　求sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°的值.
【方法總結】　　和差化積公式應用時的注意事項
(1)在應用和差化積公式時,必須是一次同名三角函數方可施行,若是異名,必須用誘導公式化為同名,若是高次函數,必須用降冪公式降為一次.
(2)根據實際問題選用公式時,應從以下幾個方面考慮:①運用公式之后,能否出現特殊角;②運用公式之后,能否提取公因式,能否約分,能否合并或消項.
(3)為了能夠把三角函數式化為積的形式,有時需要把某些常數當作三角函數值才能應用公式,如-cos α=cos -cos α.
求sin 54°-sin 18°的值.
探究2　積化和差公式
問題1:如何運用已知的公式證明sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)] 你還能得出什么結論
問題2:利用兩角和差的余弦,你能求出cos αcos β,sin αsin β的表達式嗎
新知生成
積化和差公式
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)];
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
新知運用
例2　求值:(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°;
(2)sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
方法指導　利用積化和差公式化簡求值,注意角的變換,盡量出現特殊角.
【方法總結】　　積化和差公式的關鍵是正確地選用公式,以便把非特殊角的三角函數值相約或相消,從而化為特殊角的三角函數.
在△ABC中,若B=30°,求cos Asin C的取值范圍.
探究3　三角變換的簡單應用
例3　如圖所示,要把半徑為R,圓心角為的扇形木料截成矩形,應怎樣截取,才能使矩形EFGH的面積最大
方法指導　根據三角函數的邊角關系,結合三角恒等變換將求矩形面積轉化為構造正弦型三角函數,再利用三角函數的性質求得最大值即可.
【方法總結】　　三角恒等變換與三角函數圖象性質的綜合問題的解題策略:運用三角函數的和、差、倍角公式將函數關系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助輔助角公式化為y=Asin (ωx+φ)+k或y=Acos (ωx+φ)+k的形式,將ωx+φ看作一個整體研究函數的性質,解決實際問題.
某小區擬用一塊如圖所示的半圓形地塊建造一個居民活動區和綠化區.已知半圓形地塊的直徑AB=4千米,O是半圓的圓心,在圓弧上取點C,D,使得BC=DC,把四邊形ABCD建為居民活動區,并且在居民活動區周圍鋪上一條由線段AB,BC,CD和DA組成的塑膠跑道,其他部分建為綠化區.設∠COB=θ,且≤θ<.
(1)求塑膠跑道的總長l關于θ的函數關系式;
(2)當θ為何值時,塑膠跑道的總長l最長,并求出l的最大值.
【隨堂檢測】
1.sin 105°cos 75°的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.- D.-
2.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值為(　　).
A.- B. C. D.-
3.下列等式正確的是(　　).
A.sin x+sin y=2sin sin
B.sin x-sin y=2cos cos
C.cos x+cos y=2cos cos
D.cos x-cos y=2sin sin
4.如圖所示,有一塊正方形的鋼板ABCD,其中一個角有部分損壞,現要把它截成一塊正方形的鋼板EFGH,其面積是原正方形鋼板面積的三分之二.
(1)求sinx+的值;
(2)應按角度x是多少來截取
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