資源簡介

3.1 復數的概念
【學習目標】
1.了解引進虛數單位i的必要性,了解數系的擴充過程.(數學抽象)
2.理解復數的概念、表示方法及相關概念.(數學抽象)
3.掌握復數的分類及復數相等的充要條件.(邏輯推理)
【自主預習】
1.什么是復數 它的代數形式是什么
2.什么是虛數單位 對于虛數單位有什么規定
3.復數分為哪兩大類
4.兩個復數相等的條件是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若a,b為實數,則z=a+bi為虛數. (　　)
(2)復數i的實部不存在,虛部為0. (　　)
(3)bi是純虛數. (　　)
(4)如果兩個復數的實部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個復數相等. (　　)
2.(多選題)若復數z=m2-1+(m2-m-2)i為實數,則實數m的值可以為(　　).
A.-1 B.2 C.1 D.-2
3.已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,則x+y=　　　　.
【合作探究】
探究1　復數的相關概念
問題1:方程x2=1有解嗎 解是什么 方程x2+1=0在實數范圍內有解嗎
問題2:若有一個新數i滿足i2=-1,試想方程x2+1=0有解嗎
問題3:添加i之后,i與原來的實數之間進行加法、乘法運算的時候,會產生怎樣的新數
問題4:復數由哪些數組成
新知生成
1.復數
(1)定義:形如a+bi(其中a,b∈R)的數稱為復數,其中a稱為復數a+bi的實部,b稱為復數a+bi的虛部,i稱為虛數單位,滿足i2=-1.
(2)表示方法:通常用字母z表示復數,即z=a+bi(a,b∈R).
一般將復數z的實部記作Re z,虛部記作Im z.
2.復數集
全體復數組成的集合稱為復數集,用C表示,于是C={a+bi|a,b∈R}.
3.復數的分類
當b=0時,復數a+0i就是實數a;當b≠0時,a+bi稱為虛數;而當b≠0且a=0時,bi稱為純虛數.
復數z=a+bi
新知運用
例1　(多選題)已知復數z=x+yi(x,y∈R),則下列結論正確的是(　　).
A.z的實部是x
B.z的虛部是yi
C.若z=1+2i,則x=1,y=2
D.當x=0且y≠0時,z是純虛數
例2　當實數m為何值時,復數z=+(m2-2m-15)i是下列數
(1)虛數;
(2)純虛數.
【方法總結】　　(1)一個數的平方為非負數在實數范圍內是真命題,在復數范圍內是假命題,所以在判定數的性質并給出結論時,一定要注意在哪個數集范圍內.(2)確定復數的實部、虛部時,不但要把復數化為a+bi的形式,而且要注意這里的a,b均為實數.
1.給出下列說法:①復數2+3i的虛部是3i;②形如a+bi(b∈R)的數一定是虛數;③若a∈R,a≠0,則(a+3)i是純虛數;④若兩個復數能夠比較大小,則它們都是實數.其中說法錯誤的個數是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.當實數m為何值時,z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i是下列數 (1)實數;(2)虛數;(3)純虛數.
探究2　復數相等
問題1:由3>2能否推出3+i>2+i 兩個實數能比較大小,那么兩個復數能比較大小嗎
問題2:若復數z=a+bi>0,則實數a,b滿足什么條件
問題3:如何確定兩個復數是否相等
新知生成
若兩個復數a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)的實部與虛部分別相等,則稱這兩個復數相等,即a+bi=c+di a=c且b=d.特別地,a+bi=0 a=0且b=0.
新知運用
例3　(1)給出下列說法:
①若a+bi=0,則a=b=0;
②x+yi=2+2i x=y=2;
③若y∈R,且(y2-1)-(y-1)i=0,則y=1.
其中正確說法的個數為(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知x,y∈R,(x+2y-1)+(x-3y+4)i=10-5i,求x,y的值.
方法指導　根據復數相等的充要條件求解.
【方法總結】　　復數問題實數化是解決復數相等問題最基本的也是最重要的思想方法.轉化過程主要依據復數相等的充要條件.基本思路:①等式兩邊整理為a+bi(a,b∈R)的形式;②由復數相等的充要條件可以得到由兩個實數等式所組成的方程組;③解方程組,求出相應的參數.
(1)若(x-y)+(2x-3)i=(3x+y)+(x+2y)i(其中x,y為實數),則x=　　　　,y=　　　　.
(2)已知(2x+8y)+(x-6y)i=14-13i(其中x,y為實數),則xy=　　　　.
【隨堂檢測】
1.已知復數z滿足z=1-i,則z的虛部是(　　).
A.-1 B.1 C.-i D.i
2.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,則復數x+yi=(　　).
A.-2+i B.2+i
C.1-2i D.1+2i
3.給出下列命題:
①若a∈R,則(a+1)i是純虛數;
②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是純虛數,則x=±1;
③兩個虛數不能比較大小.
其中真命題的序號是　　　　.
4.實數m分別取什么數值時,復數z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是下列數 (1)實數;(2)虛數;(3)純虛數;(4)0.
23.1 復數的概念
【學習目標】
1.了解引進虛數單位i的必要性,了解數系的擴充過程.(數學抽象)
2.理解復數的概念、表示方法及相關概念.(數學抽象)
3.掌握復數的分類及復數相等的充要條件.(邏輯推理)
【自主預習】
1.什么是復數 它的代數形式是什么
【答案】　形如a+bi(其中a,b∈R)的數稱為復數,其代數形式為z=a+bi(a,b∈R).
2.什么是虛數單位 對于虛數單位有什么規定
【答案】　i稱為虛數單位,規定:i2=-1.
3.復數分為哪兩大類
【答案】　實數,虛數.
4.兩個復數相等的條件是什么
【答案】　兩個復數相等的條件是它們實部和實部相等,虛部和虛部相等.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若a,b為實數,則z=a+bi為虛數. (　　)
(2)復數i的實部不存在,虛部為0. (　　)
(3)bi是純虛數. (　　)
(4)如果兩個復數的實部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個復數相等. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(多選題)若復數z=m2-1+(m2-m-2)i為實數,則實數m的值可以為(　　).
A.-1 B.2 C.1 D.-2
【答案】　AB
【解析】　因為復數z=m2-1+(m2-m-2)i為實數,
所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.
3.已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,則x+y=　　　　.
【答案】　5
【解析】　由題意知x=0,y-2=3,即y=5,∴x+y=5.
【合作探究】
探究1　復數的相關概念
問題1:方程x2=1有解嗎 解是什么 方程x2+1=0在實數范圍內有解嗎
【答案】　方程x2=1有解,解是x=±1,方程x2+1=0在實數范圍內沒有解.
問題2:若有一個新數i滿足i2=-1,試想方程x2+1=0有解嗎
【答案】　有解(x=±i),但不在實數范圍內.
問題3:添加i之后,i與原來的實數之間進行加法、乘法運算的時候,會產生怎樣的新數
【答案】　若i與實數b相乘再與實數a相加則可得到形式為a+bi的新數.
問題4:復數由哪些數組成
【答案】　由實數和虛數組成.
新知生成
1.復數
(1)定義:形如a+bi(其中a,b∈R)的數稱為復數,其中a稱為復數a+bi的實部,b稱為復數a+bi的虛部,i稱為虛數單位,滿足i2=-1.
(2)表示方法:通常用字母z表示復數,即z=a+bi(a,b∈R).
一般將復數z的實部記作Re z,虛部記作Im z.
2.復數集
全體復數組成的集合稱為復數集,用C表示,于是C={a+bi|a,b∈R}.
3.復數的分類
當b=0時,復數a+0i就是實數a;當b≠0時,a+bi稱為虛數;而當b≠0且a=0時,bi稱為純虛數.
復數z=a+bi
新知運用
例1　(多選題)已知復數z=x+yi(x,y∈R),則下列結論正確的是(　　).
A.z的實部是x
B.z的虛部是yi
C.若z=1+2i,則x=1,y=2
D.當x=0且y≠0時,z是純虛數
【答案】　ACD
【解析】　z的實部是x,虛部為y,故A正確,B錯誤;
若z=x+yi=1+2i,則x=1,y=2,故C正確;
當x=0且y≠0時,z=yi是純虛數,故D正確.
例2　當實數m為何值時,復數z=+(m2-2m-15)i是下列數
(1)虛數;
(2)純虛數.
【解析】　(1)當即m≠5且m≠-3時,復數z是虛數.
(2)當即m=3或m=-2時,復數z是純虛數.
【方法總結】　　(1)一個數的平方為非負數在實數范圍內是真命題,在復數范圍內是假命題,所以在判定數的性質并給出結論時,一定要注意在哪個數集范圍內.(2)確定復數的實部、虛部時,不但要把復數化為a+bi的形式,而且要注意這里的a,b均為實數.
1.給出下列說法:①復數2+3i的虛部是3i;②形如a+bi(b∈R)的數一定是虛數;③若a∈R,a≠0,則(a+3)i是純虛數;④若兩個復數能夠比較大小,則它們都是實數.其中說法錯誤的個數是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　C
【解析】　復數2+3i的虛部是3,①錯誤;形如a+bi(b∈R)的數不一定是虛數,②錯誤;只有當a∈R,a+3≠0時,(a+3)i是純虛數,③錯誤;若兩個復數能夠比較大小,則它們都是實數,故④正確.所以說法錯誤的有3個.
2.當實數m為何值時,z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i是下列數 (1)實數;(2)虛數;(3)純虛數.
【解析】　(1)若z為實數,則
即解得m=-2.
∴當m=-2時,z為實數.
(2)若z是虛數,則
即解得m≠-2且m≠-1.
∴當m≠-2且m≠-1時,z為虛數.
(3)若z為純虛數,則
即即解得m=0.
∴當m=0時,z為純虛數.
探究2　復數相等
問題1:由3>2能否推出3+i>2+i 兩個實數能比較大小,那么兩個復數能比較大小嗎
【答案】　由3>2不能推出3+i>2+i.當兩個復數都是實數時,可以比較大小;當兩個復數不全是實數時,不能比較大小.
問題2:若復數z=a+bi>0,則實數a,b滿足什么條件
【答案】　若復數z=a+bi>0,則實數a,b滿足a>0,且b=0.
問題3:如何確定兩個復數是否相等
【答案】　根據復數的定義知,兩個復數相等當且僅當它們的實部與虛部分別對應相等.
新知生成
若兩個復數a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)的實部與虛部分別相等,則稱這兩個復數相等,即a+bi=c+di a=c且b=d.特別地,a+bi=0 a=0且b=0.
新知運用
例3　(1)給出下列說法:
①若a+bi=0,則a=b=0;
②x+yi=2+2i x=y=2;
③若y∈R,且(y2-1)-(y-1)i=0,則y=1.
其中正確說法的個數為(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知x,y∈R,(x+2y-1)+(x-3y+4)i=10-5i,求x,y的值.
方法指導　根據復數相等的充要條件求解.
【答案】　(1)B
【解析】　(1)①②中未明確a,b,x,y是否為實數,從而a,x不一定為復數的實部,b,y不一定是復數的虛部,故①②錯誤;③中,y∈R,從而y2-1,-(y-1)是實數,根據復數相等的條件得所以y=1,故③正確.故選B.
(2)因為x,y∈R,所以x+2y-1,x-3y+4是實數,由復數相等的條件得解得
【方法總結】　　復數問題實數化是解決復數相等問題最基本的也是最重要的思想方法.轉化過程主要依據復數相等的充要條件.基本思路:①等式兩邊整理為a+bi(a,b∈R)的形式;②由復數相等的充要條件可以得到由兩個實數等式所組成的方程組;③解方程組,求出相應的參數.
(1)若(x-y)+(2x-3)i=(3x+y)+(x+2y)i(其中x,y為實數),則x=　　　　,y=　　　　.
(2)已知(2x+8y)+(x-6y)i=14-13i(其中x,y為實數),則xy=　　　　.
【答案】　(1)1　-1　(2)-2
【解析】　(1)由復數相等的意義得所以
(2)由復數相等的意義得解得
所以xy=-2.
【隨堂檢測】
1.已知復數z滿足z=1-i,則z的虛部是(　　).
A.-1 B.1 C.-i D.i
【答案】　A
【解析】　由虛部的定義可知,z的虛部為-1.
2.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,則復數x+yi=(　　).
A.-2+i B.2+i
C.1-2i D.1+2i
【答案】　B
【解析】　由i2=-1,得xi-i2=1+xi,則由題意得1+xi=y+2i,根據復數相等的充要條件得x=2,y=1,故x+yi=2+i.
3.給出下列命題:
①若a∈R,則(a+1)i是純虛數;
②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是純虛數,則x=±1;
③兩個虛數不能比較大小.
其中真命題的序號是　　　　.
【答案】　③
【解析】　當a=-1時,(a+1)i=0,故①為假命題;兩個虛數不能比較大小,故③為真命題;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是純虛數,則即x=1,故②為假命題.
4.實數m分別取什么數值時,復數z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是下列數 (1)實數;(2)虛數;(3)純虛數;(4)0.
【解析】　由m2+5m+6=0得m=-2或m=-3;由m2-2m-15=0得m=5或m=-3.
(1)當m2-2m-15=0時,復數z為實數,∴m=5或m=-3.
(2)當m2-2m-15≠0時,復數z為虛數,
∴m≠5且m≠-3.
(3)當時,復數z是純虛數,∴m=-2.
(4)當時,復數z是0,∴m=-3.
2

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