資源簡介

3.2 復數的四則運算
【學習目標】
1.掌握復數代數形式的加、減、乘、除運算法則.(邏輯推理、數學運算)
2.能正確進行復數代數形式的四則運算.(邏輯推理、數學運算)
3.掌握復數范圍內一元二次方程的求根公式,并會在復數范圍內解一元二次方程.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.多項式的加、減運算實質是合并同類項,類比思考:復數z1=1+2i與z2=3+i如何加減
2.兩個實數之和仍是一個實數,兩個復數之和仍是一個復數,那么兩個虛數之和仍是一個虛數嗎
3.復數的加法滿足交換律和結合律嗎
4.如何在復數范圍內求方程的解
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個虛數的和或差可能是實數. (　　)
(2)在進行復數的加法時,實部與實部相加得實部,虛部與虛部相加得虛部. (　　)
(3)復數與復數相加減后結果只能是實數. (　　)
(4)復數的加法不可以推廣到多個復數相加的情形. (　　)
2.已知復數z+3i-3=3-3i,則z=(　　).
A.0 B.6i C.6 D.6-6i
3.復數(1+i)2(2+3i)的值為(　　).
A.6-4i B.-6-4i
C.6+4i D.-6+4i
4.i是虛數單位,復數=　　　　.
【合作探究】
探究1　復數的加減運算
隨著生產發展的需要,我們將數的范圍擴展到了復數.運算是“數”的主要功能,復數不同于實數,它是由實部、虛部兩部分復合構造而成的整體.
問題1:復數如何進行加、減運算呢
問題2:類比多項式的加、減運算,想一想復數又如何進行加、減法運算
問題3:兩個復數的和或差得到的結果是什么
問題4:復數的加法法則可以推廣嗎
新知生成
1.復數的加、減運算
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數,
則(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
2.復數加法的交換律和結合律
復數的加法滿足交換律和結合律,即對任意復數z1,z2,z3,有(1)z1+z2=z2+z1,(2)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
新知運用
例1　(1)+(2-i)-=　　　　.
(2)已知復數z滿足z+1-3i=5-2i,則z=　　　　.
方法指導　(1)根據復數的加法與減法法則計算.(2)設z=x+yi(x,y∈R),根據復數相等的要求計算或把等式看作z的方程,通過移項求解.
【方法總結】　　復數代數形式的加(減)法運算技巧:復數與復數相加(減),相當于多項式加(減)法的合并同類項,將兩個復數的實部與實部相加(減),虛部與虛部相加(減).
已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),設z=z1-z2,且z=13-2i,求z1,z2.
探究2　復數的乘法與乘方
問題1:我們知道復數的加減類似于多項式加減,試想復數相乘類似什么呢
問題2:復數的乘法與多項式的乘法有何不同
問題3:|z|2=z2,正確嗎
新知生成
1.復數的乘法
(1)復數的乘法規定
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,d∈R).
(2)復數乘法的運算律
對任意復數z1,z2,z3,有
交換律 z1z2=z2z1
結合律 (z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法對加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
2.復數的乘方
對任意復數z,z1,z2及正整數m,n,有
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=.
規定i0=1.特別地,i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,
i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1,其中n∈Z.
新知運用
例2　(1)若z=(i+1)2023,則z的虛部是(　　).
A.21011 B.-21011
C.21011i D.-21011i
(2)-i28+(10+i29)=　　　　.
方法指導　(1)根據復數乘法可得(i+1)2=2i,根據復數的運算結合i的性質分析運算,即可得結果.(2)利用in的周期性、復數的四則運算計算求解.
【方法總結】　　兩個復數代數形式乘法的一般方法:復數的乘法可以按多項式的乘法法則進行,注意選用恰當的乘法公式進行簡便運算,例如平方差公式、完全平方公式等.注意復數乘方及虛數單位周期性的應用.
1.復數(1+i)22=(　　).
A.2048i B.2048 C.-2048i D.-2048
2.(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i)=　　　　.
探究3　復數的除法
類比根式除法的分母有理化,比如=,探究復數的除法法則.
問題1:類比上述根式運算,你能寫出復數的除法法則嗎
問題2:復數的除法,其實質是分母實數化,即把分子和分母同乘以一個什么樣的數
新知生成
1.復數除法的運算法則
設z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0)(a,b,c,d∈R),
則==+i(c+di≠0).
(1)實數化:分子、分母同乘以適當的非零復數,化簡后即得結果,這個過程實際上就是把分母實數化,這與根式除法的分母有理化很類似.
(2)代數式:注意最后結果要將實部、虛部分開.
2.一般地,稱為z的倒數,若z=a+bi≠0,則=-i.
新知運用
一、除法運算
例3　已知復數z滿足(1+2i)z=4+3i(i為虛數單位),求z.
【方法總結】　　兩個復數代數形式的除法運算步驟
(1)將除式寫為分式;
(2)將分子、分母同乘以適當的非零復數;
(3)將分子、分母分別進行乘法運算,并轉化為復數的代數形式.
計算:
(1);
(2).
二、在復數范圍內解方程
例4　在復數范圍內解下列方程.
(1)2x2+6=0;
(2)x2+x+4=0.
【方法總結】　　在復數范圍內,實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法:
①當Δ≥0時,x=;
②當Δ<0時,x=.
(2)利用復數相等的定義求解:
設方程的根為x=m+ni(m,n∈R),將此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化簡后利用復數相等的定義求解.
已知1+i是方程x2+bx+c=0(b,c為實數)的一個根.
(1)求b,c的值;
(2)試判斷1-i是不是方程的根.
【隨堂檢測】
1.設m∈R,復數z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z為純虛數,則m等于(　　).
A.-1
B.3
C.
D.-1或3
2.若=a+bi(i為虛數單位,a,b∈R),則a+b=　　　　.
3.已知復數z=,則z+z2=　　　　.
4.在復數范圍內解方程x2+6x+10=0.
23.2 復數的四則運算
【學習目標】
1.掌握復數代數形式的加、減、乘、除運算法則.(邏輯推理、數學運算)
2.能正確進行復數代數形式的四則運算.(邏輯推理、數學運算)
3.掌握復數范圍內一元二次方程的求根公式,并會在復數范圍內解一元二次方程.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.多項式的加、減運算實質是合并同類項,類比思考:復數z1=1+2i與z2=3+i如何加減
【答案】　類比多項式合并同類項,讓兩個復數的實部與實部、虛部與虛部分別相加減,即(1+2i)+(3+i)=4+3i,(1+2i)-(3+i)=-2+i.
2.兩個實數之和仍是一個實數,兩個復數之和仍是一個復數,那么兩個虛數之和仍是一個虛數嗎
【答案】　不一定,如i+(-i)=0.
3.復數的加法滿足交換律和結合律嗎
【答案】　滿足.
4.如何在復數范圍內求方程的解
【答案】　利用復數相等的定義求解.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個虛數的和或差可能是實數. (　　)
(2)在進行復數的加法時,實部與實部相加得實部,虛部與虛部相加得虛部. (　　)
(3)復數與復數相加減后結果只能是實數. (　　)
(4)復數的加法不可以推廣到多個復數相加的情形. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知復數z+3i-3=3-3i,則z=(　　).
A.0 B.6i C.6 D.6-6i
【答案】　D
【解析】　∵z+3i-3=3-3i,∴z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.
3.復數(1+i)2(2+3i)的值為(　　).
A.6-4i B.-6-4i
C.6+4i D.-6+4i
【答案】　D
【解析】　(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.故選D.
4.i是虛數單位,復數=　　　　.
【答案】　2-i
【解析】　===2-i.
【合作探究】
探究1　復數的加減運算
隨著生產發展的需要,我們將數的范圍擴展到了復數.運算是“數”的主要功能,復數不同于實數,它是由實部、虛部兩部分復合構造而成的整體.
問題1:復數如何進行加、減運算呢
【答案】　類比向量加、減的坐標運算進行運算.
問題2:類比多項式的加、減運算,想一想復數又如何進行加、減法運算
【答案】　兩個復數相加(減)就是把實部與實部,虛部與虛部分別相加(減),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a,b,c,d∈R).
問題3:兩個復數的和或差得到的結果是什么
【答案】　結果仍然是唯一的復數.
問題4:復數的加法法則可以推廣嗎
【答案】　可以推廣到多個復數相加的情形.
新知生成
1.復數的加、減運算
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數,
則(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
2.復數加法的交換律和結合律
復數的加法滿足交換律和結合律,即對任意復數z1,z2,z3,有(1)z1+z2=z2+z1,(2)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
新知運用
例1　(1)+(2-i)-=　　　　.
(2)已知復數z滿足z+1-3i=5-2i,則z=　　　　.
方法指導　(1)根據復數的加法與減法法則計算.(2)設z=x+yi(x,y∈R),根據復數相等的要求計算或把等式看作z的方程,通過移項求解.
【答案】　(1)1+i　(2)4+i
【解析】　(1)+(2-i)-=+i=1+i.
(2)(法一)設z=x+yi(x,y∈R),因為z+1-3i=5-2i,
所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,
解得x=4,y=1,所以z=4+i.
(法二)因為z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
【方法總結】　　復數代數形式的加(減)法運算技巧:復數與復數相加(減),相當于多項式加(減)法的合并同類項,將兩個復數的實部與實部相加(減),虛部與虛部相加(減).
已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),設z=z1-z2,且z=13-2i,求z1,z2.
【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i.
因為z=13-2i,且x,y∈R,
所以解得
所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,
z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.
探究2　復數的乘法與乘方
問題1:我們知道復數的加減類似于多項式加減,試想復數相乘類似什么呢
【答案】　復數相乘類似于多項式相乘.
問題2:復數的乘法與多項式的乘法有何不同
【答案】　復數的乘法與多項式乘法是類似的,有一點不同即必須在所得結果中把i2換成-1,再把實部、虛部分別合并.
問題3:|z|2=z2,正確嗎
【答案】　不正確.例如,|i|2=1,而i2=-1.
新知生成
1.復數的乘法
(1)復數的乘法規定
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,d∈R).
(2)復數乘法的運算律
對任意復數z1,z2,z3,有
交換律 z1z2=z2z1
結合律 (z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法對加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
2.復數的乘方
對任意復數z,z1,z2及正整數m,n,有
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=.
規定i0=1.特別地,i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,
i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1,其中n∈Z.
新知運用
例2　(1)若z=(i+1)2023,則z的虛部是(　　).
A.21011 B.-21011
C.21011i D.-21011i
(2)-i28+(10+i29)=　　　　.
方法指導　(1)根據復數乘法可得(i+1)2=2i,根據復數的運算結合i的性質分析運算,即可得結果.(2)利用in的周期性、復數的四則運算計算求解.
【答案】　(1)B　(2)9+i
【解析】(1)∵(i+1)2=i2+2i+1=2i,∴z=(i+1)2023=(i+1)2022(i+1)=[(i+1)2]1011(i+1)=(2i)1011(i+1)=21011·i4×252+3·(i+1)=21011·i3·(i+1)=21011·(-i)·(i+1)=21011(1-i)=21011-21011i,
∴z的虛部為-21011.
(2)原式=-i214+(10+i29)=(-i)14+10+i=-1+10+i=9+i.
【方法總結】　　兩個復數代數形式乘法的一般方法:復數的乘法可以按多項式的乘法法則進行,注意選用恰當的乘法公式進行簡便運算,例如平方差公式、完全平方公式等.注意復數乘方及虛數單位周期性的應用.
1.復數(1+i)22=(　　).
A.2048i B.2048 C.-2048i D.-2048
【答案】　C
【解析】　(1+i)22=[(1+i)2]11=(1+i2+2i)11=(2i)11=211×i11=2048×(-i)=-2048i.
2.(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i)=　　　　.
【答案】　-5-15i
【解析】　(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i)
=(24+8i-6i+2)-(28+21i-4i+3)
=(26+2i)-(31+17i)=-5-15i.
探究3　復數的除法
類比根式除法的分母有理化,比如=,探究復數的除法法則.
問題1:類比上述根式運算,你能寫出復數的除法法則嗎
【答案】　能,==+i(c+di≠0)(a,b,c,d∈R).
問題2:復數的除法,其實質是分母實數化,即把分子和分母同乘以一個什么樣的數
【答案】　進行復數的除法運算時,分子、分母同乘以適當的非零復數.
新知生成
1.復數除法的運算法則
設z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0)(a,b,c,d∈R),
則==+i(c+di≠0).
(1)實數化:分子、分母同乘以適當的非零復數,化簡后即得結果,這個過程實際上就是把分母實數化,這與根式除法的分母有理化很類似.
(2)代數式:注意最后結果要將實部、虛部分開.
2.一般地,稱為z的倒數,若z=a+bi≠0,則=-i.
新知運用
一、除法運算
例3　已知復數z滿足(1+2i)z=4+3i(i為虛數單位),求z.
【解析】　因為(1+2i)z=4+3i,
所以z===2-i.
【方法總結】　　兩個復數代數形式的除法運算步驟
(1)將除式寫為分式;
(2)將分子、分母同乘以適當的非零復數;
(3)將分子、分母分別進行乘法運算,并轉化為復數的代數形式.
計算:
(1);
(2).
【解析】　(1)=
===+i.
(2)==
====1-i.
二、在復數范圍內解方程
例4　在復數范圍內解下列方程.
(1)2x2+6=0;
(2)x2+x+4=0.
【解析】　(1)由2x2+6=0,得x2=-3.
因為(i)2=(-i)2=-3,
所以方程2x2+6=0的根為x=i或x=-i.
(2)配方得=-,
因為==-,
所以x+=±i,
所以原方程的根為x=-+i或x=--i.
【方法總結】　　在復數范圍內,實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法:
①當Δ≥0時,x=;
②當Δ<0時,x=.
(2)利用復數相等的定義求解:
設方程的根為x=m+ni(m,n∈R),將此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化簡后利用復數相等的定義求解.
已知1+i是方程x2+bx+c=0(b,c為實數)的一個根.
(1)求b,c的值;
(2)試判斷1-i是不是方程的根.
【解析】　(1)因為1+i是方程x2+bx+c=0的根,且b,c為實數,
所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即b+c+(b+2)i=0,
所以解得
(2)由(1)知方程為x2-2x+2=0,
把1-i代入方程左邊,得(1-i)2-2(1-i)+2=0=右邊,即方程式成立,所以1-i是方程的根.
【隨堂檢測】
1.設m∈R,復數z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z為純虛數,則m等于(　　).
A.-1
B.3
C.
D.-1或3
【答案】　C
【解析】　由題意得z=(2m2+m-1)+(3+2m-m2)i,又z為純虛數,所以解得m=.
2.若=a+bi(i為虛數單位,a,b∈R),則a+b=　　　　.
【答案】　2
【解析】　因為==1+i,所以1+i=a+bi,所以a=1,b=1,所以a+b=2.
3.已知復數z=,則z+z2=　　　　.
【答案】　-1
【解析】　∵z==-+i,
∴z2=-+i2=-i+i2=-i-=--i,
∴z+z2=-+i+--i=-1.
4.在復數范圍內解方程x2+6x+10=0.
【解析】　因為x2+6x+10=x2+6x+9+1=(x+3)2+1,所以(x+3)2=-1,
又因為i2=-1,所以(x+3)2=i2,
所以x+3=±i,
即x=-3±i.
2

展開更多......

收起↑