資源簡介

3.3 復數的幾何表示
【學習目標】
1.理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間一一對應的關系.(直觀想象)
2.掌握實軸、虛軸、復數的模、共軛復數等概念.(數學抽象)
3.掌握用向量的模來表示復數的模的方法.(數學運算)
【自主預習】
1.平面直角坐標系中的點Z與向量有怎樣的對應關系
【答案】　一一對應.
2.復數集與平面直角坐標系中以原點為起點的向量集合一一對應嗎
【答案】　一一對應.
3.實軸上的點都表示實數,那么虛軸上的點都表示純虛數嗎
【答案】　虛軸上除了坐標原點以外的點才表示純虛數.
4.若z1,z2是共軛復數,在復平面內它們所對應的點有怎樣的關系
【答案】　它們所對應的點關于實軸對稱.
5.我們知道,復數1+2i與復數2+2i是不能比較大小的,這兩個復數的模分別是多少 能比較大小嗎
【答案】　∵|1+2i|=,|2+2i|=2,∴|1+2i|<|2+2i|,即兩個復數的模能比較大小.
6.怎樣定義復數z的模 它有什么意義
【答案】　向量的模r叫作復數z=a+bi的模,記作|z|或|a+bi|,且r=(r≥0,且r∈R),表示點Z(a,b)到原點的距離.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)復平面內的點與復數是一一對應的. (　　)
(2)復數的模一定是正實數. (　　)
(3)若|z1|=|z2|,則z1=z2. (　　)
(4)若兩個復數互為共軛復數,則它們的模相等. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知i為虛數單位,若(x-2)+yi和3x-i互為共軛復數,則實數x,y的值分別是(　　).
A.3,3 B.5,1 C.-1,-1 D.-1,1
【答案】　D
【解析】　∵(x-2)+yi和3x-i互為共軛復數,
∴解得
3.若復數a+1+(1-a)i在復平面內對應的點在第二象限,則實數a的取值范圍是(　　).
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
【答案】　B
【解析】　因為z=a+1+(1-a)i,所以它在復平面內對應的點為(a+1,1-a),
又因為此點在第二象限,所以解得a<-1.故選B.
4.已知復數z=,則|z|=　　　　.
【答案】　
【解析】　依題意,z===-+i,所以|z|==.
【合作探究】
探究1　復數的幾何意義
問題1:在什么條件下,復數z=x+yi(x,y∈R)唯一確定
【答案】　實部x和虛部y唯一確定.
問題2:設復數z=x+yi(x,y∈R),以z的實部和虛部組成一個有序實數對(x,y),那么復數z與有序實數對(x,y)之間是一個怎樣的對應關系
【答案】　一一對應關系,即復數z=x+yi 點Z(x,y).
問題3:實軸上的點表示實數,虛軸上的點表示虛數,這句話對嗎
【答案】　不正確.實軸上的點都表示實數;除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數,原點對應的有序實數對為(0,0),它所確定的復數是z=0+0i=0,表示的是實數.
新知生成
1.復平面的定義
在平面上建立直角坐標系,這個與全體復數建立一一對應關系的平面叫作復平面.
x軸叫作　實軸　,y軸叫作　虛軸　,實軸上的點都表示　實數　.除　原點　外,虛軸上的點都表示純虛數.
2.復數的幾何意義
(1)復數z=a+bi(a,b∈R)一一對應復平面內的點　Z(a,b)　.
(2)復數z=a+bi(a,b∈R)一一對應平面向量=(a,b).
新知運用
例1　求實數a分別取何值時,復數z=+(a2-2a-15)i(a∈R)對應的點Z滿足下列條件:
(1)在復平面的第二象限內;
(2)在復平面內的x軸上方.
【解析】　(1)點Z在復平面的第二象限內,
則無解,∴a∈ .
(2)點Z在x軸上方,
則
即(a+3)(a-5)>0,解得a>5或a<-3.
【方法總結】　　利用復數與點的對應關系解題的步驟:(1)確定復數的實部與虛部,從而確定復數對應點的橫、縱坐標;(2)根據已知條件,確定實部與虛部滿足的關系.
在復平面內,若復數z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i對應的點:(1)在虛軸上;(2)在第二象限;(3)在直線y=x上,分別求實數m的取值范圍.
【解析】　復數z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的實部為m2-m-2,虛部為m2-3m+2.
(1)由題意得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.
(2)由題意得解得
∴-1(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2,解得m=2.
探究2　復數的模與共軛復數
我們知道向量的長度叫向量的模,z=a+bi(a,b∈R)與向量一一對應,下面我們探討|z|如何表示.
問題1:|z|與向量的模之間也是一一對應的嗎
【答案】　是.
問題2:聯系復數的幾何意義,你能說出復數的模在復平面內的幾何意義嗎
【答案】　復數z=a+bi的模|z|就是復數z=a+bi在復平面上對應的點Z(a,b)到原點的距離.
問題3: 若z1與z2互為共軛復數,則|z1|與|z2|之間有什么關系
【答案】　設z1=a+bi,則z2=a-bi,故|z1|=|z2|.
問題4:什么數的共軛復數是它本身
【答案】　實數的共軛復數是它本身.
新知生成
1.復數的模
對任意復數z=a+bi(a,b∈R),將它在復平面上對應的向量的模稱為復數z的模,也稱為z的絕對值,記作|z|,即|a+bi|=,|z|=表示點(a,b)到原點的距離.
2.共軛復數
(1)定義:對于任意復數z=a+bi(a,b∈R),如果保持它的實部a不變,將虛部b變成它的相反數-b,得到的復數a-bi稱為原復數z的共軛復數,記作,即=a-bi.
(2)性質:①=z;②復平面上兩點P,Q關于x軸對稱 它們所代表的復數相互共軛.
新知運用
例2　已知復數z1=(1+i)2,設z2=.
(1)求復數;
(2)若復數z滿足=,z+z2=,求|z|.
方法指導　(1)根據已知計算出z1,把z1帶入已知計算出z2,再求其共軛復數;
(2)設復數z=x+yi,根據已知建立方程求出x,y,從而得出|z|.
【解析】　(1)z1=(1+i)2=2i,z2===-i,所以=+i.
(2)設復數z=x+yi(其中x,y∈R).
由=,得-i=+i,
所以-=,解得x=-1.
由z+z2=,得x++i=x+-i,
所以y-=-,解得y=.
所以z=-1+i,==.
【方法總結】　　計算復數的模時,應先找出復數的實部和虛部,然后再利用模的公式進行計算,兩個虛數不能比較大小,但它們的模可以比較大小.
已知復數z=cos θ+isin θ.
(1)若θ=,求||;
(2)當θ為何值時,取得最大值與最小值,并求出最大值與最小值.
【解析】　(1)由θ=,=-,得||==1.
(2)由題意得1-i+z=1+cos θ+i(sin θ-1),
則=(1+cos θ)2+(sin θ-1)2
=1+2cos θ+cos2θ+sin2θ-2sin θ+1
=3+2cos θ-2sin θ
=3-2sin,
又因為θ∈,則θ-∈,所以sinθ-∈,
所以當θ=0時,=;
當θ=時 ,=1.
探究3　復數加減法的幾何意義
我們知道向量加、減運算的幾何意義是三角形法則、平行四邊形法則.你能說出復數加、減的幾何意義嗎
問題1:類比絕對值|x-x0|的幾何意義,|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是什么
【答案】　|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是復平面內點Z到點Z0的距離.
問題2:復數與復平面內的向量一一對應,你能從向量加法的幾何意義出發討論復數加法的幾何意義嗎
【答案】　設,分別與復數a+bi,c+di對應,
則=(a,b),=(c,d).
由平面向量的坐標運算,
得+=(a+c,b+d),
所以+與復數(a+c)+(b+d)i對應,復數的加法可以按照向量的加法來進行.
新知生成
如圖所示,設復數z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)對應的向量分別為,,四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形,則與z1+z2對應的向量是,與z1-z2對應的向量是.
新知運用
例3　已知復平面內平行四邊形OABC的三個頂點O,A,C對應的復數分別為0,3+2i,-2+4i.
(1)求表示的復數;
(2)求表示的復數.
【解析】　(1)因為=-,所以表示的復數為-(3+2i),即-3-2i.
(2)因為=-,所以表示的復數為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
【方法總結】　　復數加、減運算的幾何意義的應用:(1)復數的加、減運算可以轉化為點的坐標或向量運算;(2)復數的加、減運算轉化為向量運算時,同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.
已知復平面內平行四邊形ABCD,點A對應的復數為2+i,向量對應的復數為1+2i,向量對應的復數為3-i,求:
(1)點C,D對應的復數;
(2)平行四邊形ABCD的面積.
【解析】　(1)因為向量對應的復數為1+2i,向量對應的復數為3-i,
所以向量對應的復數為(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又=+,所以點C對應的復數為(2+i)+(2-3i)=4-2i.
因為=,所以向量對應的復數為3-i,即=(3,-1),
設D(x,y),則=(x-2,y-1)=(3,-1),
所以解得
所以點D對應的復數為5.
(2)因為·=||||cos B,
所以cos B====.
所以sin B==,
所以S=||||sin B=××=7.
所以平行四邊形ABCD的面積為7.
【隨堂檢測】
1.z=(-i)2023在復平面內對應的點的坐標為(　　).
A.(1,0) B.(0,1)
C.(0,-1) D.(-1,0)
【答案】　B
【解析】　z=(-i)2023=(-i)4×505+3=(-i)3=i,對應的點的坐標為(0,1).
2.已知復數z=1+2i(i是虛數單位),則|z|=　　　　.
【答案】　
【解析】　因為z=1+2i,所以|z|==.
3.在復平面內,復數i,1,4+2i對應的點分別是A,B,C,則平行四邊形ABCD的點D對應的復數為　　　　.
【答案】　3+3i
【解析】　由已知條件得點A(0,1),B(1,0),C(4,2),則邊AC的中點為E,
由平行四邊形的性質知,E也是邊BD的中點.
設D(x,y),則解得即D(3,3),
∴點D對應的復數為3+3i.
4.若復數z滿足|z-i|=3,則復數z在復平面內對應的點Z的軌跡所圍成的圖形的面積為　　　　.
【答案】　9π
【解析】　由條件知|z-i|=3,所以點Z的軌跡是以點(0,1)為圓心,3為半徑的圓,故其面積S=9π.
23.3 復數的幾何表示
【學習目標】
1.理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間一一對應的關系.(直觀想象)
2.掌握實軸、虛軸、復數的模、共軛復數等概念.(數學抽象)
3.掌握用向量的模來表示復數的模的方法.(數學運算)
【自主預習】
1.平面直角坐標系中的點Z與向量有怎樣的對應關系
2.復數集與平面直角坐標系中以原點為起點的向量集合一一對應嗎
3.實軸上的點都表示實數,那么虛軸上的點都表示純虛數嗎
4.若z1,z2是共軛復數,在復平面內它們所對應的點有怎樣的關系
5.我們知道,復數1+2i與復數2+2i是不能比較大小的,這兩個復數的模分別是多少 能比較大小嗎
6.怎樣定義復數z的模 它有什么意義
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)復平面內的點與復數是一一對應的. (　　)
(2)復數的模一定是正實數. (　　)
(3)若|z1|=|z2|,則z1=z2. (　　)
(4)若兩個復數互為共軛復數,則它們的模相等. (　　)
2.已知i為虛數單位,若(x-2)+yi和3x-i互為共軛復數,則實數x,y的值分別是(　　).
A.3,3 B.5,1 C.-1,-1 D.-1,1
3.若復數a+1+(1-a)i在復平面內對應的點在第二象限,則實數a的取值范圍是(　　).
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
4.已知復數z=,則|z|=　　　　.
【合作探究】
探究1　復數的幾何意義
問題1:在什么條件下,復數z=x+yi(x,y∈R)唯一確定
問題2:設復數z=x+yi(x,y∈R),以z的實部和虛部組成一個有序實數對(x,y),那么復數z與有序實數對(x,y)之間是一個怎樣的對應關系
問題3:實軸上的點表示實數,虛軸上的點表示虛數,這句話對嗎
新知生成
1.復平面的定義
在平面上建立直角坐標系,這個與全體復數建立一一對應關系的平面叫作復平面.
x軸叫作　實軸　,y軸叫作　虛軸　,實軸上的點都表示　實數　.除　原點　外,虛軸上的點都表示純虛數.
2.復數的幾何意義
(1)復數z=a+bi(a,b∈R)一一對應復平面內的點　Z(a,b)　.
(2)復數z=a+bi(a,b∈R)一一對應平面向量=(a,b).
新知運用
例1　求實數a分別取何值時,復數z=+(a2-2a-15)i(a∈R)對應的點Z滿足下列條件:
(1)在復平面的第二象限內;
(2)在復平面內的x軸上方.
【方法總結】　　利用復數與點的對應關系解題的步驟:(1)確定復數的實部與虛部,從而確定復數對應點的橫、縱坐標;(2)根據已知條件,確定實部與虛部滿足的關系.
在復平面內,若復數z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i對應的點:(1)在虛軸上;(2)在第二象限;(3)在直線y=x上,分別求實數m的取值范圍.
探究2　復數的模與共軛復數
我們知道向量的長度叫向量的模,z=a+bi(a,b∈R)與向量一一對應,下面我們探討|z|如何表示.
問題1:|z|與向量的模之間也是一一對應的嗎
問題2:聯系復數的幾何意義,你能說出復數的模在復平面內的幾何意義嗎
問題3: 若z1與z2互為共軛復數,則|z1|與|z2|之間有什么關系
問題4:什么數的共軛復數是它本身
新知生成
1.復數的模
對任意復數z=a+bi(a,b∈R),將它在復平面上對應的向量的模稱為復數z的模,也稱為z的絕對值,記作|z|,即|a+bi|=,|z|=表示點(a,b)到原點的距離.
2.共軛復數
(1)定義:對于任意復數z=a+bi(a,b∈R),如果保持它的實部a不變,將虛部b變成它的相反數-b,得到的復數a-bi稱為原復數z的共軛復數,記作,即=a-bi.
(2)性質:①=z;②復平面上兩點P,Q關于x軸對稱 它們所代表的復數相互共軛.
新知運用
例2　已知復數z1=(1+i)2,設z2=.
(1)求復數;
(2)若復數z滿足=,z+z2=,求|z|.
方法指導　(1)根據已知計算出z1,把z1帶入已知計算出z2,再求其共軛復數;
(2)設復數z=x+yi,根據已知建立方程求出x,y,從而得出|z|.
【方法總結】　　計算復數的模時,應先找出復數的實部和虛部,然后再利用模的公式進行計算,兩個虛數不能比較大小,但它們的模可以比較大小.
已知復數z=cos θ+isin θ.
(1)若θ=,求||;
(2)當θ為何值時,取得最大值與最小值,并求出最大值與最小值.
探究3　復數加減法的幾何意義
我們知道向量加、減運算的幾何意義是三角形法則、平行四邊形法則.你能說出復數加、減的幾何意義嗎
問題1:類比絕對值|x-x0|的幾何意義,|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是什么
問題2:復數與復平面內的向量一一對應,你能從向量加法的幾何意義出發討論復數加法的幾何意義嗎
新知生成
如圖所示,設復數z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)對應的向量分別為,,四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形,則與z1+z2對應的向量是,與z1-z2對應的向量是.
新知運用
例3　已知復平面內平行四邊形OABC的三個頂點O,A,C對應的復數分別為0,3+2i,-2+4i.
(1)求表示的復數;
(2)求表示的復數.
【方法總結】　　復數加、減運算的幾何意義的應用:(1)復數的加、減運算可以轉化為點的坐標或向量運算;(2)復數的加、減運算轉化為向量運算時,同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.
已知復平面內平行四邊形ABCD,點A對應的復數為2+i,向量對應的復數為1+2i,向量對應的復數為3-i,求:
(1)點C,D對應的復數;
(2)平行四邊形ABCD的面積.
【隨堂檢測】
1.z=(-i)2023在復平面內對應的點的坐標為(　　).
A.(1,0) B.(0,1)
C.(0,-1) D.(-1,0)
2.已知復數z=1+2i(i是虛數單位),則|z|=　　　　.
3.在復平面內,復數i,1,4+2i對應的點分別是A,B,C,則平行四邊形ABCD的點D對應的復數為　　　　.
4.若復數z滿足|z-i|=3,則復數z在復平面內對應的點Z的軌跡所圍成的圖形的面積為　　　　.
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