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3.4 課時1 復(fù)數(shù)的三角表示
【學(xué)習(xí)目標】
1.了解i2=-1的幾何意義.(數(shù)學(xué)抽象)
2.了解cos α+isin α乘復(fù)數(shù)z的幾何意義.(數(shù)學(xué)抽象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.cos α+isin α乘復(fù)數(shù)z的幾何意義是什么
【答案】　將復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)角α.
2.什么是復(fù)數(shù)的三角形式
【答案】　z=r(cos θ+isin θ)叫作復(fù)數(shù)z=a+bi的三角形式,其中a=rcos θ,b=rsin θ.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)虛數(shù)單位i乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義應(yīng)是將復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)90°. (　　)
(2)cos +isin z的幾何意義是將復(fù)數(shù)z對應(yīng)的平面向量旋轉(zhuǎn)角. (　　)
(3)z=-2(cos θ+isin θ)是復(fù)數(shù)的三角形式. (　　)
(4)復(fù)數(shù)z=cos π+isin π的模是1,輻角的主值是π. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.復(fù)數(shù)sin 40°-icos 40°的輻角的主值是(　　).
A.-40° B.310° C.50° D.130°
【答案】　B
【解析】　因為復(fù)數(shù)sin 40°-icos 40°=cos 310°+isin 310°,所以該復(fù)數(shù)的輻角的主值是310°.故選B.
3.復(fù)數(shù)z=-+i的三角形式為(　　).
A.2cos +isin B.2cos -isin
C.2cos +isin D.2cos +isin
【答案】　C
【解析】　復(fù)數(shù)z=-+i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為(-,1),位于第二象限,
則r==2,cos θ=,所以θ=,即arg(-+i)=.
所以z=-+i=2cos +isin .故選C.
4.將復(fù)數(shù)z=cos-+isin-化為代數(shù)形式為　　　　.
【答案】　1-i
【解析】　z=cos-+isin-=cos -isin =-i=1-i.
【合作探究】
探究1　i2=-1的幾何意義
問題1:設(shè)平面向量=(x,y)對應(yīng)復(fù)數(shù)z=x+yi,則=(-x,-y)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么
【答案】　對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-z=(-1)z.
問題2:設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量在第一象限,畫出問題1中的圖形.
【答案】　
新知生成
復(fù)數(shù)乘法的幾何意義
1.-1乘復(fù)數(shù)z的幾何意義是將復(fù)數(shù)z對應(yīng)的平面向量繞起點旋轉(zhuǎn)180°變成.
2.虛數(shù)i乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義是將復(fù)數(shù)z對應(yīng)的平面向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°.
新知運用
例1　復(fù)數(shù)i·z1,-z1,(-i)·z1的幾何意義分別是什么
方法指導(dǎo)　根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義求解.
【解析】　i·z1的幾何意義是將向量(Z1是復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點)繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,
-z1的幾何意義是將向量(Z1是復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點)繞原點旋轉(zhuǎn)180°,
(-i)·z1的幾何意義是將向量(Z1是復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°.
【方法總結(jié)】　　復(fù)數(shù)乘法幾何意義解決問題,要注意旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向.
將復(fù)數(shù)3-i對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,求所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).
【解析】　復(fù)數(shù)3-i對應(yīng)的點為Z,將向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,所得復(fù)數(shù)為(3-i)(-i)=-3i-.
探究2　旋轉(zhuǎn)任意角
如圖,把復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)角α得到',把旋轉(zhuǎn)90°得到.
問題1:如何用,表示出
【答案】　=cos α·+sin α·.
問題2:在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么
【答案】　對應(yīng)的復(fù)數(shù)為iz,對應(yīng)的復(fù)數(shù)為cos α·z+sin α·iz.
新知生成
用cos α+isin α乘任意復(fù)數(shù)z,其幾何意義是將復(fù)數(shù)z對應(yīng)的平面向量旋轉(zhuǎn)角α.
新知運用
例2　根據(jù)cos α+isin α乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義計算:
(1)(cos 45°+isin 45°)2;(2)(cos 120°+isin 120°)3.
【解析】　(1)設(shè)ω=cos 45°+isin 45°,則用ω乘任意復(fù)數(shù)z,其幾何意義是將z對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)45°.于是,用ω2乘z的幾何意義是將z對應(yīng)的向量連續(xù)旋轉(zhuǎn)兩個45°,也就是將z對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)90°.又由虛數(shù)單位i乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義可知,ω2=i,即(cos 45°+isin 45°)2=i.
(2)設(shè)ω=cos 120°+isin 120°,則用ω乘任意復(fù)數(shù)z,其幾何意義是將z對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)120°.同理可得,用ω3乘任意復(fù)數(shù)z就是將z對應(yīng)的向量連續(xù)旋轉(zhuǎn)三個120°,其結(jié)果就是將z對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)360°后回到原處,所以(cos 120°+isin 120°)3=1.
【方法總結(jié)】　　解決此類問題要明確旋轉(zhuǎn)角的幾何意義,準確計算.
復(fù)數(shù)1+2i對應(yīng)的平面向量逆時針旋轉(zhuǎn)30°所得向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是　　　　　.
【答案】　+i
【解析】　(1+2i)(cos 30°+isin 30°)=(1+2i)+i=+i.
探究3　復(fù)數(shù)的三角表示
我們知道asin x+bcos x=sin(x+φ),而復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),由此聯(lián)想z的三角表示式.
問題1:你能類比上述三角變換,推出復(fù)數(shù)的三角形式嗎
【答案】　能.a+bi=,
令=cos θ,=sin θ,r=,則a+bi=r(cos θ+isin θ).
問題2:若角θ的頂點在坐標原點,始邊在x軸非負半軸上,已知終邊上一點P(x,y),如何表示角θ的三角函數(shù)
【答案】　設(shè)r=|OP|=,則cos θ=,sin θ=,tan θ=.
新知生成
1.定義:r(cos θ+isin θ)叫作復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式,簡稱三角形式,即z=r(cos θ+isin θ),其中|z|=r,θ為復(fù)數(shù)z的輻角.
2.我們將r(cos θ+isin θ)稱為復(fù)數(shù)a+bi的三角形式.如果z=0,則|z|=0,輻角θ可以取任意值,對每個值仍有z=r(cos θ+isin θ).因此,兩個復(fù)數(shù)z1=|z1|(cos θ1+isin θ1),z2=|z2|(cos θ2+isin θ2)相等的充要條件是|z1|=|z2|=0,或|z1|=|z2|>0且θ2=θ1+2kπ,k∈Z.
新知運用
例3　把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式:
(1)+i;(2)1-i.
【解析】　(1)r==2,
∵+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限,
∴tan θ==,即θ=,
∴+i=2.
(2)r==.
∵1-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,
且tan θ==-1,∴θ=,
∴1-i=.
【方法總結(jié)】　　復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟:(1)先求復(fù)數(shù)的模;(2)確定輻角所在的象限;(3)根據(jù)象限求出輻角;(4)求出復(fù)數(shù)的三角形式.
下列復(fù)數(shù)是不是復(fù)數(shù)的三角形式 如果不是,把它們表示成三角形式.
(1);
(2)-;
(3);
(4)cos+isin;
(5).
【解析】　根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的定義可知(1)(2)(3)(5)不是,(4)是復(fù)數(shù)的三角形式.
(1)原式=;
(2)原式=
=;
(3)原式=
=;
(5)原式=.
【隨堂檢測】
1.cos-+isin-3=(　　).
A.-1 B.1 C.i D.-i
【答案】　A
【解析】　根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的幾何意義知,cos-+isin-3=-1.
2.下列復(fù)數(shù)中已用三角形式表示的是(　　).
A.2(cos α-isin α)
B.2(sin α+icos α)
C.-2(cos α+isin α)
D.2[cos(-α)+isin(-α)]
【答案】　D
【解析】　復(fù)數(shù)的三角形式為z=r(cos α+isin α),其滿足的條件:①r≥0;②加號連接;③cos α在前,sin α在后;④α前后一致,可取任意值.故選D.
3.復(fù)數(shù)1+i的三角形式為　　　　.
【答案】　
【解析】　r=,cos θ==,
又因為1+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限,
所以arg(1+i)=.
所以1+i=.
4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-3的輻角的主值為,z+1的模為,求復(fù)數(shù)z.
【解析】　設(shè)z=x+yi(x,y∈R).
由|z+1|=,得|(x+1)+yi|=,
∴(x+1)2+y2=10.　①
又z-3=(x+yi)-3(x-yi)=-2x+4yi,
∴arg(z-3)= 　②
由①②可得x=2,y=-1.
∴z=2-i.
23.4 課時1 復(fù)數(shù)的三角表示
【學(xué)習(xí)目標】
1.了解i2=-1的幾何意義.(數(shù)學(xué)抽象)
2.了解cos α+isin α乘復(fù)數(shù)z的幾何意義.(數(shù)學(xué)抽象)
【自主預(yù)習(xí)】
1.cos α+isin α乘復(fù)數(shù)z的幾何意義是什么
2.什么是復(fù)數(shù)的三角形式
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)虛數(shù)單位i乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義應(yīng)是將復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)90°. (　　)
(2)cos +isin z的幾何意義是將復(fù)數(shù)z對應(yīng)的平面向量旋轉(zhuǎn)角. (　　)
(3)z=-2(cos θ+isin θ)是復(fù)數(shù)的三角形式. (　　)
(4)復(fù)數(shù)z=cos π+isin π的模是1,輻角的主值是π. (　　)
2.復(fù)數(shù)sin 40°-icos 40°的輻角的主值是(　　).
A.-40° B.310° C.50° D.130°
3.復(fù)數(shù)z=-+i的三角形式為(　　).
A.2cos +isin B.2cos -isin
C.2cos +isin D.2cos +isin
4.將復(fù)數(shù)z=cos-+isin-化為代數(shù)形式為　　　　.
【合作探究】
探究1　i2=-1的幾何意義
問題1:設(shè)平面向量=(x,y)對應(yīng)復(fù)數(shù)z=x+yi,則=(-x,-y)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么
問題2:設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量在第一象限,畫出問題1中的圖形.
新知生成
復(fù)數(shù)乘法的幾何意義
1.-1乘復(fù)數(shù)z的幾何意義是將復(fù)數(shù)z對應(yīng)的平面向量繞起點旋轉(zhuǎn)180°變成.
2.虛數(shù)i乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義是將復(fù)數(shù)z對應(yīng)的平面向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°.
新知運用
例1　復(fù)數(shù)i·z1,-z1,(-i)·z1的幾何意義分別是什么
方法指導(dǎo)　根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義求解.
【方法總結(jié)】　　復(fù)數(shù)乘法幾何意義解決問題,要注意旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向.
將復(fù)數(shù)3-i對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,求所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).
探究2　旋轉(zhuǎn)任意角
如圖,把復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)角α得到',把旋轉(zhuǎn)90°得到.
問題1:如何用,表示出
問題2:在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么
新知生成
用cos α+isin α乘任意復(fù)數(shù)z,其幾何意義是將復(fù)數(shù)z對應(yīng)的平面向量旋轉(zhuǎn)角α.
新知運用
例2　根據(jù)cos α+isin α乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義計算:
(1)(cos 45°+isin 45°)2;(2)(cos 120°+isin 120°)3.
【方法總結(jié)】　　解決此類問題要明確旋轉(zhuǎn)角的幾何意義,準確計算.
復(fù)數(shù)1+2i對應(yīng)的平面向量逆時針旋轉(zhuǎn)30°所得向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是　　　　　.
探究3　復(fù)數(shù)的三角表示
我們知道asin x+bcos x=sin(x+φ),而復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),由此聯(lián)想z的三角表示式.
問題1:你能類比上述三角變換,推出復(fù)數(shù)的三角形式嗎
問題2:若角θ的頂點在坐標原點,始邊在x軸非負半軸上,已知終邊上一點P(x,y),如何表示角θ的三角函數(shù)
新知生成
1.定義:r(cos θ+isin θ)叫作復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式,簡稱三角形式,即z=r(cos θ+isin θ),其中|z|=r,θ為復(fù)數(shù)z的輻角.
2.我們將r(cos θ+isin θ)稱為復(fù)數(shù)a+bi的三角形式.如果z=0,則|z|=0,輻角θ可以取任意值,對每個值仍有z=r(cos θ+isin θ).因此,兩個復(fù)數(shù)z1=|z1|(cos θ1+isin θ1),z2=|z2|(cos θ2+isin θ2)相等的充要條件是|z1|=|z2|=0,或|z1|=|z2|>0且θ2=θ1+2kπ,k∈Z.
新知運用
例3　把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式:
(1)+i;(2)1-i.
【方法總結(jié)】　　復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟:(1)先求復(fù)數(shù)的模;(2)確定輻角所在的象限;(3)根據(jù)象限求出輻角;(4)求出復(fù)數(shù)的三角形式.
下列復(fù)數(shù)是不是復(fù)數(shù)的三角形式 如果不是,把它們表示成三角形式.
(1);
(2)-;
(3);
(4)cos+isin;
(5).
【隨堂檢測】
1.cos-+isin-3=(　　).
A.-1 B.1 C.i D.-i
2.下列復(fù)數(shù)中已用三角形式表示的是(　　).
A.2(cos α-isin α)
B.2(sin α+icos α)
C.-2(cos α+isin α)
D.2[cos(-α)+isin(-α)]
3.復(fù)數(shù)1+i的三角形式為　　　　.
4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-3的輻角的主值為,z+1的模為,求復(fù)數(shù)z.
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