資源簡介

3.4 課時2 復數三角形式的運算
【學習目標】
1.了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.(直觀想象)
2.會進行復數三角形式的乘、除運算.(數學運算)
【自主預習】
1.復數三角形式的乘、除運算公式是什么
2.復數三角形式乘、除運算的幾何意義是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個復數相乘,積的模等于兩個復數的模的積,積的輻角等于兩個復數的輻角的積. (　　)
(2)兩個復數相除(除數不為0),就是把模相除作為商的模,輻角相減作為商的輻角. (　　)
(3)兩個非零復數相乘(除),積(商)還是一個復數. (　　)
(4)若復數z1,z2對應的向量分別為,,輻角分別為θ1,θ2,當θ2>0時,把向量繞點O按順時針方向旋轉角θ2,得到積z1z2的輻角. (　　)
2.若z=cos 30°+isin 30°,則arg z2=(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
3.計算:(cos π+isin π)÷cos +isin =　　　　.
【合作探究】
探究1　復數三角形式的乘法
設z=1-i對應的向量為,將繞原點按逆時針方向旋轉30°.
問題1:上述旋轉所得向量對應的復數是什么
問題2:上述問題如何求解 將(1-i)化為三角函數能求解嗎
問題3:若復數z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),你能根據復數的乘法運算法則計算z1z2,并將結果表示成三角形式嗎
新知生成
1.設z1,z2的三角形式分別是
z1=r1(cos θ1+isin θ1),
z2=r2(cos θ2+isin θ2),
則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],
這就是說,兩個復數相乘,積的模等于各復數的模的積,積的輻角等于各復數的輻角的和.
幾何意義:兩個復數z1,z2相乘,可以先分別畫出與z1,z2對應的向量,,然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉θ2(如果θ2<0,就要把繞點O按順時針方向旋轉角|θ2|),再把它的模變為原來的r2倍,得到向量,表示的復數就是z1z2.
2.棣莫弗公式:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),其中n∈N+.
新知運用
例1　計算下列各式:
(1)16×4;
(2)3(cos 20°+isin 20° )[2(cos 50°+isin 50°)][10(cos 80°+isin 80° )];
(3)(-1+i) .
【方法總結】　　復數三角形式的乘法運算:(1)直接利用復數三角形式的乘法法則:模相乘,輻角相加;(2)若遇到復數的代數形式與三角形式混合相乘時,需將相混的復數統一成代數形式或三角形式,然后進行復數的代數形式相乘或三角形式相乘.
計算下列各式:
(1)·;
(2)3·7;
(3).
探究2　復數三角形式的除法
我們知道復數除法是乘法的逆運算,除以一個數等于乘這個數的倒數,復數三角形式的除法如何由復數三角形式的乘法運算得到呢
問題:設z1,z2的三角形式分別是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,類比復數三角形式的乘法,能得出嗎
新知生成
設z1,z2的三角形式分別是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,則==·[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
這就是說,兩個復數相除,商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商,商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.
幾何意義:兩個復數z1,z2相除,可以先畫出z1,z2對應的向量,,將向量按順時針方向旋轉θ2(若θ2<0,則按逆時針方向旋轉|θ2|),再把模變為原來的,所得向量就表示商.
復數除法的實質即向量的旋轉和伸縮.
新知運用
例2　計算(1+i)÷.
【方法總結】　　(1)商的模等于被除數的模除以除數的模,商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角.
(2)結果一般保留代數形式.
(3)商的輻角的主值不一定等于被除數的輻角的主值減去除數的輻角的主值所得的差.實際上,arg與arg z1,arg z2的關系是arg=arg z1-arg z2+2kπ(k∈Z).
計算:=　　　　.
【隨堂檢測】
1.已知復數z1=,z2=cos+isin,則z1z2的代數形式是(　　).
A. B.cos+isin
C.-i D.+i
2.計算:3cos +isin 5=　　　　.
3.計算:3×2cos +isin =　　　　.
4.計算:(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=　　　　.
23.4 課時2 復數三角形式的運算
【學習目標】
1.了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.(直觀想象)
2.會進行復數三角形式的乘、除運算.(數學運算)
【自主預習】
1.復數三角形式的乘、除運算公式是什么
【答案】　設z1,z2的三角形式分別是
z1=r1(cos θ1+isin θ1),
z2=r2(cos θ2+isin θ2),
則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],
=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z2≠0).
2.復數三角形式乘、除運算的幾何意義是什么
【答案】　復數三角形式乘、除運算的幾何意義即向量的旋轉與伸縮.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個復數相乘,積的模等于兩個復數的模的積,積的輻角等于兩個復數的輻角的積. (　　)
(2)兩個復數相除(除數不為0),就是把模相除作為商的模,輻角相減作為商的輻角. (　　)
(3)兩個非零復數相乘(除),積(商)還是一個復數. (　　)
(4)若復數z1,z2對應的向量分別為,,輻角分別為θ1,θ2,當θ2>0時,把向量繞點O按順時針方向旋轉角θ2,得到積z1z2的輻角. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.若z=cos 30°+isin 30°,則arg z2=(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
【答案】　B
【解析】　因為z2=(cos 30°+isin 30°)2=cos 60°+isin 60°,
所以arg z2=60°.故選B.
3.計算:(cos π+isin π)÷cos +isin =　　　　.
【答案】　-+i
【解析】　(cos π+isin π)÷cos +isin =cosπ-+isinπ-=-+i.
【合作探究】
探究1　復數三角形式的乘法
設z=1-i對應的向量為,將繞原點按逆時針方向旋轉30°.
問題1:上述旋轉所得向量對應的復數是什么
【答案】　由題意所得向量對應的復數為(1-i)·(cos 30°+isin 30°).
問題2:上述問題如何求解 將(1-i)化為三角函數能求解嗎
【答案】　把cos 30°+isin 30°化為+i,然后根據復數代數形式的運算法則求解.能.
問題3:若復數z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),你能根據復數的乘法運算法則計算z1z2,并將結果表示成三角形式嗎
【答案】　z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)
=r1r2(cos θ1+isin θ1)·(cos θ2+isin θ2)
=r1r2[(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2)+i(sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2)
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
新知生成
1.設z1,z2的三角形式分別是
z1=r1(cos θ1+isin θ1),
z2=r2(cos θ2+isin θ2),
則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],
這就是說,兩個復數相乘,積的模等于各復數的模的積,積的輻角等于各復數的輻角的和.
幾何意義:兩個復數z1,z2相乘,可以先分別畫出與z1,z2對應的向量,,然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉θ2(如果θ2<0,就要把繞點O按順時針方向旋轉角|θ2|),再把它的模變為原來的r2倍,得到向量,表示的復數就是z1z2.
2.棣莫弗公式:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),其中n∈N+.
新知運用
例1　計算下列各式:
(1)16×4;
(2)3(cos 20°+isin 20° )[2(cos 50°+isin 50°)][10(cos 80°+isin 80° )];
(3)(-1+i) .
【解析】　(1)原式=16×4
=64
=64
=64=32+32i.
(2)原式=6(cos 70°+isin 70°)[10(cos 80°+isin 80° )]
=60(cos 150°+isin 150°)
=60=-30+30i.
(3)(法一)∵復數-1+i的模r=,cos θ=-,sin θ=,∴θ=.
原式=
=
===i.
(法二)
==-i,
原式=(-1+i)
=+i=i.
【方法總結】　　復數三角形式的乘法運算:(1)直接利用復數三角形式的乘法法則:模相乘,輻角相加;(2)若遇到復數的代數形式與三角形式混合相乘時,需將相混的復數統一成代數形式或三角形式,然后進行復數的代數形式相乘或三角形式相乘.
計算下列各式:
(1)·;
(2)3·7;
(3).
【解析】　(1)原式=
==(+)+(-)i=-(+1)+(-1)i.
(2)原式=21
=21=-(+)+(-)i.
(3)原式=
==
==-+i.
探究2　復數三角形式的除法
我們知道復數除法是乘法的逆運算,除以一個數等于乘這個數的倒數,復數三角形式的除法如何由復數三角形式的乘法運算得到呢
問題:設z1,z2的三角形式分別是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,類比復數三角形式的乘法,能得出嗎
【答案】　能,==(cos θ1+isin θ1)·[cos(-θ2)+isin(-θ2)]=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
新知生成
設z1,z2的三角形式分別是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,則==·[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
這就是說,兩個復數相除,商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商,商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.
幾何意義:兩個復數z1,z2相除,可以先畫出z1,z2對應的向量,,將向量按順時針方向旋轉θ2(若θ2<0,則按逆時針方向旋轉|θ2|),再把模變為原來的,所得向量就表示商.
復數除法的實質即向量的旋轉和伸縮.
新知運用
例2　計算(1+i)÷.
【解析】　因為1+i=,
所以原式=
=
=
=(0-i)
=-i.
【方法總結】　　(1)商的模等于被除數的模除以除數的模,商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角.
(2)結果一般保留代數形式.
(3)商的輻角的主值不一定等于被除數的輻角的主值減去除數的輻角的主值所得的差.實際上,arg與arg z1,arg z2的關系是arg=arg z1-arg z2+2kπ(k∈Z).
計算:=　　　　.
【答案】　i
【解析】　=
==i.
【隨堂檢測】
1.已知復數z1=,z2=cos+isin,則z1z2的代數形式是(　　).
A. B.cos+isin
C.-i D.+i
【答案】　D
【解析】　z1z2=×
===+i.
2.計算:3cos +isin 5=　　　　.
【答案】　-243
【解析】　原式=35cos5×+isin5×=243(cos π+isin π)=-243.
3.計算:3×2cos +isin =　　　　.
【答案】　3+3i
【解析】　原式=6
=6×=3+3i.
4.計算:(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=　　　　.
【答案】　+i
【解析】　(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=cos 30°+isin 30°=+i.
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