資源簡介

空間向量基本定理
學習目標 1.了解空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解. 2.會選用空間三個不共面向量作基底表示其他的向量.
學習活動
導入：我們所在的教室即是一個三維立體圖,如果以教室的一個墻角為始點,沿著三條墻縫作向量可以得到三個空間向量.這三個空間向量是不共面的,能否用這三個向量表示空間中任意的向量呢？
目標一：了解空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解. 任務：類比平面向量基本定理，探究空間向量基本定理. 如圖，設是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示他們的有向線段有公共起點，其中為在確定的平面上的投影向量，對于任意一個空間向量，能否用表示呢？ 參考答案： 由題可知，又向量，共線，因此存在唯一實數，使得，從而．而在所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對，使得．從而， 因此，如果是空間三個兩兩垂直的向量，那么對于任意一個空間向量，存在唯一的有序實數組，使得．我們稱分別為向量在上的分向量． 問題1：對于上面的分解，是否唯一呢？ 參考答案： 假設這種表示不唯一，即還可以表示成，那么．由向量不共面可以得到，故假設錯誤，表示是唯一的. 問題2：在空間中，如果用任意三個不共面的向量代替兩兩垂直的向量，你能得到類似的結論嗎？ 參考答案： 如圖，過點作，過點作直線，交平面于點 ，在平面內，過點作直線，分別與直線相交于點． 于是存在三個實數, 使 所以 容易證明這種表示形式是唯一的． 【新知講解】 空間向量基本定理： 如果三個向量不共面,那么對任意一個空間向量,存在唯一的有序實數組,使得．我們把叫做空間的一個基底，都叫做基向量．所有空間向量組成的集合就是. 特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,且長度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底,常用表示． 由空間向量基本定理可知,對空間中的任意向量均可以分解為三個向量,使,像這樣,把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進行正交分解． 思考： (1)構成空間的基底是唯一的嗎？ (2)基底選定之后，空間中向量用基底表示，表示形式唯一嗎？ (3)基向量可以為零向量嗎？ 參考答案：（1）不唯一；（2）唯一；（3）不可以，因為零向量與任意向量共面，而基向量必須不共面. 練一練： 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是(　　) A. B. C.D. 參考答案： 只有選項C中的三個向量是不共面的,可以作為基底，故選C.
目標二：會選用空間三個不共面向量作基底表示其他的向量. 任務：根據空間向量基本定理，利用不共面的基底向量表示其他空間向量. 如圖，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且用向量表示． 參考答案： . 思考：如何用合適的基底向量表示其他向量？ 【歸納總結】 用基底表示向量(分解向量)的步驟： 定基底→找目標→下結論. 練一練： 在四棱柱中，若，，，點為與的交點，則　　 A. B. C. D. 參考答案： 解：在四棱柱中， ，，， 是與的交點，在平行四邊形中，為與的中點， . 故選：．
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.什么是空間向量基本定理？有什么性質？ 2.什么是正交分解？ 3.如何用基底表示空間向量？
2空間向量基本定理
學習目標 1.了解空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解. 2.會選用空間三個不共面向量作基底表示其他的向量.
學習活動
導入：我們所在的教室即是一個三維立體圖,如果以教室的一個墻角為始點,沿著三條墻縫作向量可以得到三個空間向量.這三個空間向量是不共面的,能否用這三個向量表示空間中任意的向量呢？
目標一：了解空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解. 任務：類比平面向量基本定理，探究空間向量基本定理. 如圖，設是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示他們的有向線段有公共起點，其中為在確定的平面上的投影向量，對于任意一個空間向量，能否用表示呢？ 問題1：對于上面的分解，是否唯一呢？ 問題2：在空間中，如果用任意三個不共面的向量代替兩兩垂直的向量，你能得到類似的結論嗎？ 【新知講解】 思考： (1)構成空間的基底是唯一的嗎？ (2)基底選定之后，空間中向量用基底表示，表示形式唯一嗎？ (3)基向量可以為零向量嗎？ 練一練： 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是(　　) A. B. C.D.
目標二：會選用空間三個不共面向量作基底表示其他的向量. 任務：根據空間向量基本定理，利用不共面的基底向量表示其他空間向量. 如圖，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且用向量表示． 思考：如何用合適的基底向量表示其他向量？ 【歸納總結】 練一練： 在四棱柱中，若，，，點為與的交點，則　　 A. B. C. D.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.什么是空間向量基本定理？有什么性質？ 2.什么是正交分解？ 3.如何用基底表示空間向量？
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