資源簡介

空間向量基本定理
學習目標 能利用空間向量基本定理解決證明平行、垂直問題. 能利用空間向量基本定理解決求空間角問題.
學習活動
目標一：能利用空間向量基本定理解決證明平行、垂直問題. 任務：選擇合適基底向量表示空間向量，并證明空間垂直問題. 如圖，在平行六面體 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分別為D1C1，C1B1的中點，求證 MN⊥AC1 ． 問題1：證明異面直線垂直有哪些方法？ 參考答案： （1）綜合幾何方法：證明異面直線所成角為直角；線面垂直的定義和性質等. （2）向量方法. 問題2：如何使用向量方法解決立體幾何問題？ 參考答案： 結合空間向量垂直的性質，可將問題轉化為. 問題3：結合已知條件，證明上述命題. 參考答案： 證明:設,,, 因為這三個向量不共面, 所以構成空間的一個基底, 我們用它表示， 則， ， 所以 =， 所以MN⊥AC1. 練一練： 在所有棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°， 求證:AB1⊥BC； 參考答案： 證明：易知<>=120°，=+， 則·=(+)·=·+· = 所以AB1⊥BC.
目標二：能利用空間向量基本定理解決求空間角問題. 任務：選擇合適的基底向量表示空間向量，并求解空間角問題. 如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點，求CE與AG所成角的余弦值. 問題1：如何用向量表示 CE 與 AG 所成角的余弦值？ 參考答案：求所成角的余弦值. 問題2：應該選擇什么基底來表示向量？ 參考答案：設則構成空間的一個單位正交基底. 問題3：根據已知條件及問題1、2，求解CE與AG所成角的余弦值. 參考答案： 設 則構成空間的一個單位正交基底. 因為，， 所以 所以CE與AG所成角的余弦值為. 思考：如何用空間向量基本定理解決立體幾何問題？ 【歸納總結】 首先根據幾何體的特點,選擇一個基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示. (1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數量積為0； (2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線； (3)若求異面直線所成角,則轉化為兩向量的夾角(或其補角). 練一練： 正四面體是由四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等．它有4個面，6條棱，4個頂點．正四面體ABCD中，E，F分別是棱AD、BC中點，求：AF與CE所成角的余弦值. 參考答案： 解：不妨設正四面體的邊長為， 設，兩兩成角， 則， ， 設所成角為， 所以
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 如何利用空間向量基本定理求解立體幾何問題？
2課時4 空間向量基本定理
學習目標 能利用空間向量基本定理解決證明平行、垂直問題. 能利用空間向量基本定理解決求空間角問題.
學習活動
目標一：能利用空間向量基本定理解決證明平行、垂直問題. 任務：選擇合適基底向量表示空間向量，并證明空間垂直問題. 如圖，在平行六面體 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分別為D1C1，C1B1的中點，求證 MN⊥AC1 ． 問題1：證明異面直線垂直有哪些方法？ 問題2：如何使用向量方法解決立體幾何問題？ 問題3：結合已知條件，證明上述命題. 練一練： 在所有棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°， 求證:AB1⊥BC；
目標二：能利用空間向量基本定理解決求空間角問題. 任務：選擇合適的基底向量表示空間向量，并求解空間角問題. 如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點，求CE與AG所成角的余弦值. 問題1：如何用向量表示 CE 與 AG 所成角的余弦值？ 問題2：應該選擇什么基底來表示向量？ 問題3：根據已知條件及問題1、2，求解CE與AG所成角的余弦值. 思考：如何用空間向量基本定理解決立體幾何問題？ 【歸納總結】 練一練： 正四面體是由四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等．它有4個面，6條棱，4個頂點．正四面體ABCD中，E，F分別是棱AD、BC中點，求：AF與CE所成角的余弦值.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 如何利用空間向量基本定理求解立體幾何問題？
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