資源簡介

空間直角坐標系
學習目標 1.在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，并掌握空間直角坐標系的畫法，感受建立空間直角坐標系的必要性. 2.會用空間直角坐標系刻畫點的坐標及空間向量.
學習活動
目標一：在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，并掌握空間直角坐標系的畫法，感受建立空間直角坐標系的必要性. 任務1：類比平面直角坐標系，探究空間直角坐標系的相關概念. 問題1：平面直角坐標系包含哪些要素？類比到空間直角坐標系，它包括哪些要素？這些要素需要滿足什么條件？ 問題2：利用單位正交基底概念，我們可以如下這樣理解平面直角坐標系，類比平面直角坐標系，給出空間直角坐標系的定義. 平面直角坐標系空間直角坐標系在平面內選定一點O和一個單位正交基底｛i, j｝以O為原點，分別以i, j的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立兩條數軸：x軸、y軸
【新知講授】 任務2：結合斜二測畫法，探究空間直角坐標系畫法. 問題1：平面直角坐標系是怎么畫的？回憶學習立體幾何時用到的斜二測畫法，想想空間坐標系又如何畫呢？ 【歸納總結】
目標二：會用空間直角坐標系刻畫點的坐標及空間向量. 任務1：探究空間中，點和向量的坐標表示. 問題：在平面直角坐標系中，每一個點和向量都可以用一對有序實數（即它的坐標）表示，類比平面向量，空間直角坐標系中的每一個點和向量該如何用坐標表示？ 平面直角坐標系內空間直角坐標系內取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i, j為基底，由平面向量基本定理，有且只有一對實數x, y，使得a=xi+yj.我們把有序數對(x, y)叫做a的坐標，記作a=(x, y)
【新知講解】 任務2：利用幾何直觀，確定空間向量坐標. 如圖所示，過點分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z軸于點B(x,0,0),C(0,y,0)和D(0,0,z). 問題1：如何用向量表示向量 問題2：的坐標是多少？ 【歸納總結】 任務3：求下列空間向量坐標. 如圖，在長方體中，，，，以，，為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系. （1）寫出，，，四點的坐標； （2）寫出向量,,,的坐標. 思考： 1.坐標面上和坐標軸上的點M的坐標的特征是什么？ 2.點P(x,y,z)關于坐標平面對稱的點的坐標特征是什么？ 【歸納總結】 練一練： 已知長方體中,，點N是AB的中點，點M是的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．寫出點的坐標.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.什么是空間直角坐標系？如何構建？ 2.如何求解空間直角坐標系下點和向量的坐標？
2課時5 空間直角坐標系
學習目標 1.在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，并掌握空間直角坐標系的畫法，感受建立空間直角坐標系的必要性. 2.會用空間直角坐標系刻畫點的坐標及空間向量.
學習活動
目標一：在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，并掌握空間直角坐標系的畫法，感受建立空間直角坐標系的必要性. 任務1：類比平面直角坐標系，探究空間直角坐標系的相關概念. 問題1：平面直角坐標系包含哪些要素？類比到空間直角坐標系，它包括哪些要素？這些要素需要滿足什么條件？ 參考答案： 坐標系三要素平面直角坐標系空間直角坐標系原點坐標原點O坐標原點坐標軸相互垂直的兩條坐標軸x軸和y軸三條互相垂直的坐標軸單位長度單位長度單位長度
問題2：利用單位正交基底概念，我們可以如下這樣理解平面直角坐標系. 平面直角坐標系空間直角坐標系在平面內選定一點O和一個單位正交基底｛i, j｝以O為原點，分別以i, j的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立兩條數軸：x軸、y軸
類比平面直角坐標系，給出空間直角坐標系的定義. 參考答案： 平面直角坐標系空間直角坐標系在平面內選定一點O和一個單位正交基底｛i, j｝在空間選定一點O和三個基向量，叫做i, j, k，它們是兩兩互相垂直的單位向量以O為原點，分別以i, j的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立兩條數軸：x軸、y軸以O為原點，分別以i, j, k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸
【新知講授】 在空間選定一點和一個單位正交基底, , . 以點為原點，分別以，，的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標軸. 這時我們就建立了一個空間直角坐標系，如圖. 其中叫做原點，，，都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為平面，v平面，平面，它們把空間分成八個部分. 任務2：結合斜二測畫法，探究空間直角坐標系畫法. 問題1：平面直角坐標系是怎么畫的？回憶學習立體幾何時用到的斜二測畫法，想想空間坐標系又如何畫呢？ 參考答案： 平面直角坐標系Oxy的畫法：在平面內畫兩條與單位正交基底向量i, j方向相同的數軸x軸和y軸，它們互相垂直、原點重合. 拓展到空間中，在x軸和y軸的基礎上添加與x軸和y軸都垂直的z軸. 借鑒在立體幾何中學習的斜二測畫法，在畫空間直角坐標系Oxy時，讓x軸與y軸所成的角為135°(或45°)，即∠xOy=135°(或45°)，畫z軸和y軸垂直，即∠yOz=90°.如圖所示， 【歸納總結】 在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.
目標二：會用空間直角坐標系刻畫點的坐標及空間向量. 任務1：探究空間中，點和向量的坐標表示. 問題：在平面直角坐標系中，每一個點和向量都可以用一對有序實數（即它的坐標）表示，類比平面向量，空間直角坐標系中的每一個點和向量該如何用坐標表示？ 平面直角坐標系內空間直角坐標系內取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i, j為基底，由平面向量基本定理，有且只有一對實數x, y，使得a=xi+yj.我們把有序數對(x, y)叫做a的坐標，記作a=(x, y)
參考答案： 平面直角坐標系內空間直角坐標系內取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i, j為基底，由平面向量基本定理，有且只有一對實數x, y，使得a=xi+yj.我們把有序數對(x, y)叫做a的坐標，記作a=(x, y)取與x軸、y軸、z軸方向相同的單位向量i, j, k為基底，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x, y, z)，使得a=xi+yj+zk.
【新知講解】 在單位正交基底｛i, j, k｝下與向量對應的有序實數組(x, y, z)叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記做A(x, y, z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標. 在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作=a。由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x, y, z)，使a=xi+yj+zk,有序實數組(x, y, z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，上式可簡記為a=(x, y, z) 符號(x,y, z)具有雙重意義，它既可以表示向量，也可以表示點，在表述時要注意區分. 任務2：利用幾何直觀，確定空間向量坐標. 如圖所示，過點分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z軸于點B(x,0,0),C(0,y,0)和D(0,0,z). 問題1：如何用向量表示向量 參考答案：在x軸、y軸、z軸上的投影向量分別為，由向量加法的意義可知，. 問題2：的坐標是多少？ 參考答案：根據，所以=xi+yj+zk，即點或者向量的坐標就是(x, y, z). 【歸納總結】 確定空間中一個點或任意一個向量的坐標方法： 任務3：求下列空間向量坐標. 如圖，在長方體中，，，，以，，為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系. （1）寫出，，，四點的坐標； （2）寫出向量,,,的坐標. 參考答案： 點在軸上，且，所以 . 所以點的坐標是,,.同理，點C的坐標是（0,4,0）. 點在軸、軸和軸上的射影分別是，它們在坐標軸上的坐標分別是3,0,2所以點的坐標是（3,0,2）. 點在軸、軸和軸上的射影分別是，它們在坐標軸上的坐標分別是3,4,2，所以點的坐標是（3,4,2）. （2）=（0,4,0）； -（0,0,2）； ； . 思考： 1.坐標面上和坐標軸上的點M的坐標的特征是什么？ 2.點P(x,y,z)關于坐標平面對稱的點的坐標特征是什么？ 【歸納總結】 1.（1）若點M在Oyz平面上，則x＝0；若點M在Ozx平面上，則y＝0；若點M在Oxy平面上，則z＝0. （2）若點M在x軸上，則y＝z＝0；若點M在y軸上，則x＝z＝0；若點M在z軸上，則x＝y＝0. 2.P(x,y,z)關于坐標平面xOy的對稱點為(x,y,－z)； P(x,y,z)關于坐標平面yOz的對稱點為(－x,y,z)； P(x,y,z)關于坐標平面xOz的對稱點為(x,－y,z)． 練一練： 已知長方體中,，點N是AB的中點，點M是的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．寫出點的坐標. 參考答案： 由于為坐標原點，所以. 由得： 點N、M分是AB、的中點，
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.什么是空間直角坐標系？如何構建？ 2.如何求解空間直角坐標系下點和向量的坐標？
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