資源簡介

空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握空間向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示． 2.掌握向量平行、垂直的坐標(biāo)表示，并能解決相關(guān)的平行、垂直問題． 3.能熟練應(yīng)用兩個(gè)向量夾角與向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：掌握空間向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示． 任務(wù)：類比平面向量線性運(yùn)算，探索空間向量的線性運(yùn)算. 問題1：在前面的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)學(xué)面向量的加減、數(shù)乘、和數(shù)量積運(yùn)算.設(shè)我們是如何對(duì)平面向量進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算的呢？ 問題2：設(shè)空間向量 ，類比平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，說說空間向量運(yùn)算坐標(biāo)表示是怎樣的？如何證明？ 【新知講授】 練一練： 如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為2，,分別是, 的中點(diǎn).求證.
目標(biāo)二：掌握向量平行、垂直的坐標(biāo)表示，并能解決相關(guān)的平行、垂直問題． 任務(wù)1：回顧平面向量平行和垂直的坐標(biāo)表達(dá)式，探究空間向量平行和垂直的坐標(biāo)表達(dá)式. 問題1：設(shè)若，則如何用向量坐標(biāo)表示？ 問題2：設(shè)空間向量若，如何用向量的坐標(biāo)表示？ 思考：這個(gè)充要條件能否表示為？ 【新知講解】 任務(wù)2：探究空間向量模、夾角的坐標(biāo)表達(dá)式. 問題1：設(shè) 則平面向量的模長和夾角公式是怎樣的？ 問題2：設(shè)空間向量的模長和夾角公式怎樣用坐標(biāo)表示？如何證明？ 問題3：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)， ，則的表達(dá)式是怎樣的？ 【歸納總結(jié)】 練一練： 如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為2，,分別是, 的中點(diǎn).求與所成角的余弦值.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示的關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖. “加法“、“減法”、“數(shù)乘”、“數(shù)量積”、“平行”、“垂直”、“模長”、“夾角”
2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握空間向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示． 2.掌握向量平行、垂直的坐標(biāo)表示，并能解決相關(guān)的平行、垂直問題． 3.能熟練應(yīng)用兩個(gè)向量夾角與向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：掌握空間向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示． 任務(wù)：類比平面向量線性運(yùn)算，探索空間向量的線性運(yùn)算. 問題1：在前面的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)學(xué)面向量的加減、數(shù)乘、和數(shù)量積運(yùn)算.設(shè)我們是如何對(duì)平面向量進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算的呢？ 參考答案： （1） （2） （3）， （4） 問題2：設(shè)空間向量 ，類比平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，說說空間向量運(yùn)算坐標(biāo)表示是怎樣的？如何證明？ 參考答案： （1） （2） （3） （4） 以數(shù)量積的證明為例，證明： 設(shè)為空間的一個(gè)單位正交基底，由向量的坐標(biāo)為，則可將向量唯一分解為， 同理可將向量表示為. . 利用向量數(shù)量積分配律及 得 【新知講授】 設(shè)空間向量 ，則 ； ； ； . 練一練： 如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為2，,分別是, 的中點(diǎn).求證. 參考答案： 因?yàn)?, ， 所以 又因?yàn)辄c(diǎn), 所以. 所以. 所以, 即.
目標(biāo)二：掌握向量平行、垂直的坐標(biāo)表示，并能解決相關(guān)的平行、垂直問題． 任務(wù)1：回顧平面向量平行和垂直的坐標(biāo)表達(dá)式，探究空間向量平行和垂直的坐標(biāo)表達(dá)式. 問題1：設(shè)若，則如何用向量坐標(biāo)表示？ 參考答案： 因?yàn)榈某湟獥l件是. 所以得到方程組 消去，得到平面向量平行充要條件的 問題2：設(shè)空間向量若，如何用向量的坐標(biāo)表示？ 參考答案： 當(dāng)時(shí)，的充要條件是 ，得到方程組， 這就是空間向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示. 思考：這個(gè)充要條件能否表示為？ 參考答案： 空間向量平行的充要條件不等價(jià)于， 因?yàn)榈暮x是的坐標(biāo)分量至少有一個(gè)不為零，而非每一個(gè)坐標(biāo)分量都不為零. 例如，當(dāng)與坐標(biāo)平面平行時(shí)，此時(shí)無意義. 因此只有在與三個(gè)坐標(biāo)平面均不平行， 即均不為零時(shí)才能有. 特殊地，當(dāng)時(shí)，.此時(shí)與任意向量都平行. 【新知講解】 1.設(shè)空間向量 若，則. 2.設(shè)空間向量 若，則其充要條件為. 任務(wù)2：探究空間向量模、夾角的坐標(biāo)表達(dá)式. 問題1：設(shè) 則平面向量的模長和夾角公式是怎樣的？ 參考答案： ；. 問題2：設(shè)空間向量的模長和夾角公式怎樣用坐標(biāo)表示？如何證明？ 參考答案： . . 證明過程略. 問題3：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)， ，則的表達(dá)式是怎樣的？ 參考答案： 由題可知，向量 于是. 所以. 這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式. 【歸納總結(jié)】 1.設(shè) 則 ； . 2.設(shè)，，則 練一練： 如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為2，,分別是, 的中點(diǎn).求與所成角的余弦值. 參考答案： 由圖可知， 所以, , . 所以. 所以. 所以,與所成角為向量，向量夾角的補(bǔ)角. 所以,與所成角的余弦值是.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示的關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖. “加法“、“減法”、“數(shù)乘”、“數(shù)量積”、“平行”、“垂直”、“模長”、“夾角”
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