資源簡介

空間中點、直線和平面的向量表示
學習目標 能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量和平面的法向量. 掌握平面法向量的求法.
學習活動
目標一：能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量和平面的法向量. 任務1：探究空間直線的向量表示. 問題1:如圖，在空間中，固定平面，如何用向量表示空間中的一個點？ 參考答案： 如圖，在空間中，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示，我們把向量稱為點P的位置向量． 問題2：如圖，空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l.如何用移動的向量表示固定直線l 參考答案： 如圖1，a是直線l的方向向量，在直線l上取＝a，設P是直線l上的任意一點，由向量共線的條件可知，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使得＝ta，即＝t.如圖2，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使＝＋ta，①或＝＋t.② ①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定． 【新知講授】 1．設A是直線上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取＝a，設P是直線l上任意一點， (1)點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使＝ta，即＝t. (2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t.使＝＋ta. (3)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使＝＋t. 2．上述兩式都稱為空間向量表達式，空間任意直線都可以由直線上一點及直線的方向向量唯一確定． 注意點： (1)空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合． (2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數個． 練一練： 已知直線l的一個方向向量m＝(2，－1,3)，且直線l過A(0，y,3)和B(－1,2，z)兩點，則y－z等于(　　) A.0 B.1 C. D.3 參考答案： 由題可知，，所以（-1,2-y,z-3)=λ(2,-1,3),所以-1=2λ，2-y=-λ，且z-3=3λ，所以λ=，y=,z=,所以y－z=0，故答案選A. 任務2：探究平面的空間向量表示. 問題1：一個定點和一個方向能確定一條直線，那么如圖所示一個定點和兩個定方向能確定一個平面嗎？ 參考答案： 如圖，設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得＝xa＋yb. 問題2：如圖所示，如果O不是兩條直線的交點，而是平面外的一點，那么如何用向量表示平面呢？ 參考答案： 如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數x，y，使＝＋x＋y.我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式． 由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定． 思考：如何證明問題2的結論？ 參考答案： 設取定空間任意一點O，取平面ABC的任意一點P， 則， 又根據三角形的加法法則，有, 所以＝＋x＋y. 問題3：如圖所示，直線，過一點且與已知直線垂直的平面有多少個？ 問題4：由前面問題可知，一個定點和兩個定方向可以確定一個平面，那么再減少一個條件，即一個定點和一個定方向能否確定一個平面？如果能，那這個定方向有什么特點？ 【新知講解】 如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·＝0}． 思考：如果另有一條直線m⊥α，在直線m上任取向量b , b與a有什么關系？ 【新知講解】 注意點： (1)平面α的一個法向量垂直于平面α內的所有向量． (2)一個平面的法向量有無限多個，它們相互平行．
目標二：掌握平面法向量的求法. 任務：根據線面垂直以及向量垂直的性質，求解平面法向量 已知長方體中，AB=4，BC=3， =2，M為AB中點.以D為原點，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系， （1）求平面的一個法向量． （2）求平面的一個法向量． 參考答案： 解：(1)因為y軸垂直于平面，所以=(0,1,0)是平面的一個法向量. （2）因為AB=4,BC=3,=2,M是AB的中點， 所以的坐標分別為(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2). 因此 設=(x,y,z)是平面的一個法向量， 則. 所以， 所以. 令z=3，則x=2，y=3， 所以=(2,3,3)是平面的一個法向量. 思考：如何求解平面法向量？ 【歸納總結】 根據立體幾何中線面垂直的判定定理得到法向量； 根據向量運算的坐標表示得到兩個三元一次方程，聯立方程組； （3）根據三元一次不定方程組，得到一個法向量. 練一練： 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中點，求平面EDB的一個法向量． 參考答案： 解：如圖所示建立空間直角坐標系． 依題意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，E，B(1,1,0)， 于是＝，＝(1,1,0)． 設平面EDB的法向量為n＝(x，y，z)， 則n⊥，n⊥， 于是 取x＝1，則y＝－1，z＝1， 故平面EDB的一個法向量為n＝(1，－1,1)．
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.如何利用向量表示空間的點、直線以及平面？ 2.如何求平面法向量？
2空間中點、直線和平面的向量表示
學習目標 能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量和平面的法向量. 掌握平面法向量的求法.
學習活動
目標一：能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量和平面的法向量. 任務1：探究空間直線的向量表示. 問題1:如圖，在空間中，固定平面，如何用向量表示空間中的一個點？ 問題2：如圖，空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l.如何用移動的向量表示固定直線l 【新知講授】 練一練： 已知直線l的一個方向向量m＝(2，－1,3)，且直線l過A(0，y,3)和B(－1,2，z)兩點，則y－z等于(　　) A.0 B.1 C. D.3 任務2：探究平面的空間向量表示. 問題1：一個定點和一個方向能確定一條直線，那么如圖所示一個定點和兩個定方向能確定一個平面嗎？ 問題2：如圖所示，如果O不是兩條直線的交點，而是平面外的一點，那么如何用向量表示平面呢？ 思考：如何證明問題2的結論？ 問題3：如圖所示，直線，過一點且與已知直線垂直的平面有多少個？ 問題4：由前面問題可知，一個定點和兩個定方向可以確定一個平面，那么再減少一個條件，即一個定點和一個定方向能否確定一個平面？如果能，那這個定方向有什么特點？ 【新知講解】 思考：如果另有一條直線m⊥α，在直線m上任取向量b , b與a有什么關系？ 【新知講解】
目標二：掌握平面法向量的求法. 任務：根據線面垂直以及向量垂直的性質，求解平面法向量 已知長方體中，AB=4，BC=3， =2，M為AB中點.以D為原點，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系， （1）求平面的一個法向量． （2）求平面的一個法向量． 思考：如何求解平面法向量？ 【歸納總結】 練一練： 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中點，求平面EDB的一個法向量．
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.如何利用向量表示空間的點、直線以及平面？ 2.如何求平面法向量？
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