資源簡介

空間中直線、平面的垂直
學習目標 1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系. 2.能用向量方法證明直線與平面、平面與平面的垂直關系.
學習活動
目標一：能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系. 任務：結合空間中線線、線面、面面垂直的定義，探索用向量表述線線、線面、面面的垂直關系. 問題： 如何用直線的方向向量表示兩直線平行？ 如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面的法向量之間是怎樣的關系？如何用代數式表示？ 如果兩個平面相互垂直，那么用平面法向量如何表示這種位置關系？ 【歸納總結】 思考：若設，，，，，，則上述關系如何用坐標表示？ 【歸納總結】 練一練： 已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量不重合那么下列說法中： ； ； ； 正確的有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
目標二：能用向量方法證明直線與平面、平面與平面的垂直關系. 任務1：用向量方法證明線面垂直. 在平行六面體中，AB=AD==1，，求證：直線⊥平面. 問題1：結合線面垂直的定義，如何證明直線⊥平面？ 問題2：根據平面向量基本定理，如何用向量表示面的任何一條直線？ 問題3：結合線面垂直的向量表示，證明直線⊥平面. 任務2：用向量方法證明面面垂直的判斷定理. 問題1：面面垂直的判定定理是什么？ 問題2：如何將面面垂直的判定定理轉化為數學符號語言？并用向量方法證明. 思考：如何利用向量證明空間直線、平面垂直問題？ 【歸納總結】
學習總結
任務：根據空間向量坐標表示的關鍵詞，構建知識導圖. 1.空間線線、線面、面面垂直如何用向量表示？ 2.如何利用向量法證明空間線線線、線面、面面垂直？
2空間中直線、平面的垂直
學習目標 1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系. 2.能用向量方法證明直線與平面、平面與平面的垂直關系.
學習活動
目標一：能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系. 任務：結合空間中線線、線面、面面垂直的定義，探索用向量表述線線、線面、面面的垂直關系. 問題： 如何用直線的方向向量表示兩直線平行？ 如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面的法向量之間是怎樣的關系？如何用代數式表示？ 如果兩個平面相互垂直，那么用平面法向量如何表示這種位置關系？ 【歸納總結】 一般地，直線與直線垂直，就是兩直線的方向向量垂直，即設直線的方向向量分別為，則，如圖所示： 2.直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量平行，即設直線l的方向向量為u，n是平面α的法向量，則l⊥α u∥n λ∈R，u＝λn 3.平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直，即設直線l的方向向量為u，n是平面α的法向量，設分別是平面α，β的法向量，則 思考：若設，，，，，，則上述關系如何用坐標表示？ 【歸納總結】 1.； 2.l⊥α u∥n λ∈R,u=λn； 3.. 練一練： 已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量不重合那么下列說法中： ； ； ； 正確的有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 參考答案： ∵平面，不重合；平面，的法向量平行垂直等價于平面，平行垂直；正確；直線l的方向向量平行垂直于平面的法向量等價于直線l垂直平行于平面；都錯誤．故選B．
目標二：能用向量方法證明直線與平面、平面與平面的垂直關系. 任務1：用向量方法證明線面垂直. 在平行六面體中，AB=AD==1，，求證：直線⊥平面. 問題1：結合線面垂直的定義，如何證明直線⊥平面？ 參考答案：要證明直線⊥平面，就等價于證明直線要垂直平面的任何一條直線. 問題2：根據平面向量基本定理，如何用向量表示面的任何一條直線？ 參考答案：在平面上，取為基向量，則對于平面上任意一點P，存在唯一的有序實數對（λ, μ），使得，所以向量可表示平面的任何一條直線 問題3：結合線面垂直的向量表示，證明直線⊥平面. 參考答案： 證明: 設則{a,b,c}為空間的一個基底，且. 因為， 所以. 在平面上，取為基向量， 則對于平面上任意一點P，存在唯一的有序實數對（λ, μ），使得， 所以 ， 所以是平面的法向量， 所以直線⊥平面. 任務2：用向量方法證明面面垂直的判斷定理. 問題1：面面垂直的判定定理是什么？ 參考答案： 面面垂直的判定定理：若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直. 問題2：如何將面面垂直的判定定理轉化為數學符號語言？并用向量方法證明. 參考答案： 已知：如圖,，求證：. 證明：取直線l的方向向量u，平面β的法向量n.因為l⊥α, 所以u是平面α的法向量.因為，而n是平面β的法向量，所以u⊥n.所以. 思考：如何利用向量證明空間直線、平面垂直問題？ 【歸納總結】 應用向量證明垂直問題的基本步驟： (1)建立空間圖形與空間向量的關系（可以建立空間直角坐標系，也可以不建系，選取適當的基底），用空間向量表示問題中涉及的點、直線和平面； (2)通過向量運算研究垂直問題； (3)根據運算結果解釋相關問題.
學習總結
任務：根據空間向量坐標表示的關鍵詞，構建知識導圖. 1.空間線線、線面、面面垂直如何用向量表示？ 2.如何利用向量法證明空間線線線、線面、面面垂直？
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