資源簡介

課時1 用空間向量研究距離、夾角問題
學習目標 1. 能利用投影向量推導出點到直線和點到平面的距離公式． 2. 能用向量方法解決點到直線、平行線間、點到平面、直線到平面（直線與平面平行）、平行平面間的距離問題．
學習活動
目標一：能利用投影向量推導出點到直線和點到平面的距離公式． 任務1：復習回顧平面向量的投影向量. 如圖，在空間中任取一點，作，. 問題： 1.怎樣表示向量方向上的單位向量？ 2.如何作出向量在向量方向上的投影向量？ 3.怎樣用單位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？ 任務2：探究利用向量求解空間點到已知直線的距離的方法. 如圖，已知直線的單位方向向量，是直線上的定點，P是直線外一點. 如何利用這些條件求點到直線的距離？ 問題1：若與直線垂直，點到直線的距離還等于嗎？ 問題2：在立體幾何圖形中求解距離的問題時，已知條件中一般只會給出點以及直線，那么點應該如何確定？ 問題3：求解距離的過程中是否需要確定垂線段的垂足？ 問題4：求點到直線距離的主要有哪些方法？ 【歸納總結】 思考：類比點到直線的距離的求法,如何求兩條平行線間的距離？ 任務3：探究利用向量求解空間點到已知平面的距離的方法. 已知平面的法向量為,是平面內的定點，是平面外一點.過點作出平面的垂線，交平面于點. 問題1：類比點到直線距離的研究過程，如何用向量表示？點到平面的距離應該怎樣表示？ 問題2：在立體幾何圖形中求解距離的問題時，已知條件中一般只會給出點以及平面，那么點應該如何確定？求解距離的過程中是否需要找出點在平面內的投影以及垂線段？ 問題3：求點到平面的距離主要有哪些方法？ 【歸納總結】 思考：如果直線與平面平行，如何求直線與平面的距離？如何求兩平行平面之間的距離？
目標二：能用向量方法解決點到直線、平行線間、點到平面、直線到平面（直線與平面平行）、平行平面間的距離問題． 任務：用向量方法求解空間中點到直線和平面的距離. 如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點. (1)求點到直線的距離； (2)求直線到平面的距離. 思考：上述過程中求兩種距離的步驟是怎樣的？ 【歸納總結】 練一練： 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點，N為BC的中點． (1)求點M到直線AC1的距離； (2)求點N到平面MA1C1的距離．
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 如何用向量法求空間中點到直線距離？ 如何用向量法求空間中點到平面距離？ 如何用空間向量解決立體幾何問題？
2用空間向量研究距離、夾角問題
學習目標 1. 能利用投影向量推導出點到直線和點到平面的距離公式． 2. 能用向量方法解決點到直線、平行線間、點到平面、直線到平面（直線與平面平行）、平行平面間的距離問題．
學習活動
目標一：能利用投影向量推導出點到直線和點到平面的距離公式． 任務1：復習回顧平面向量的投影向量. 如圖，在空間中任取一點，作，. 問題： 1.怎樣表示向量方向上的單位向量？ 2.如何作出向量在向量方向上的投影向量？ 3.怎樣用單位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？ 參考答案： 1.； 2.過點作垂直于直線，垂足為，向量即為向量在向量方向上的投影向量； 3.，即，. 任務2：探究利用向量求解空間點到已知直線的距離的方法. 如圖，已知直線的單位方向向量，是直線上的定點，P是直線外一點. 如何利用這些條件求點到直線的距離？ 參考答案： 如圖，設，則向量在直線上的投影向量 . 在中，由勾股定理，得 . 問題1：若與直線垂直，點到直線的距離還等于嗎？ 參考答案： 若與垂直，則，. 問題2：在立體幾何圖形中求解距離的問題時，已知條件中一般只會給出點以及直線，那么點應該如何確定？ 參考答案： 點到直線的距離,即點到直線的垂線段的長度不會隨著點的變化而變化，故點可以是直線上的任意一點. 問題3：求解距離的過程中是否需要確定垂線段的垂足？ 參考答案： 到直線的距離為參考向量的平方與投影向量的平方差的算術平方根.因此，求解點到直線距離問題時，只需直線的方向向量及直線上的任意一點，這樣得到參考向量或， 再求得直線的單位方向向量帶入公式即可，因此不需要確定垂線段的垂足. 問題4：求點到直線距離的主要有哪些方法？ 【歸納總結】 1.作點到直線的垂線,點到垂足的距離即為點到直線的距離； 2.在三角形中用等面積法求解； 3.向量法，即點到直線的距離為參考向量的平方與投影向量的平方差的算術平方根. 思考：類比點到直線的距離的求法,如何求兩條平行線間的距離？ 參考答案： 如圖，在其中一條直線上任取一點，將求兩條平行直線之間的距離轉化為求點到另一條直線的距離. 任務3：探究利用向量求解空間點到已知平面的距離的方法. 已知平面的法向量為,是平面內的定點，是平面外一點.過點作出平面的垂線，交平面于點. 問題1：類比點到直線距離的研究過程，如何用向量表示？點到平面的距離應該怎樣表示？ 參考答案： 如圖,向量在直線上的投影向量是，且.. 問題2：在立體幾何圖形中求解距離的問題時，已知條件中一般只會給出點以及平面，那么點應該如何確定？求解距離的過程中是否需要找出點在平面內的投影以及垂線段？ 參考答案： 求解點到平面距離問題時，只需平面的法向量及平面內的任意一點，這樣得到“參考向量”，明確點到平面的距離為參考向量與法向量數量積的絕對值與法向量的模之比，即參考向量與法向量方向上的單位向量的數量積取絕對值. 因此點可以是平面內的任意一點.不需要找出點在平面內的投影以及垂線段. 問題3：求點到平面的距離主要有哪些方法？ 【歸納總結】 1.作點到平面的垂線,點與垂足的距離為點到平面的距離. 2.在三棱錐中用等體積法求解. 3.向量法，即點到平面的距離為參考向量與法向量數量積的絕對值與法向量的模之比. 思考：如果直線與平面平行，如何求直線與平面的距離？如何求兩平行平面之間的距離？ 參考答案：先證明直線與平面平行或面面平行，再轉化為點到平面的距離.
目標二：能用向量方法解決點到直線、平行線間、點到平面、直線到平面（直線與平面平行）、平行平面間的距離問題． 任務：用向量方法求解空間中點到直線和平面的距離. 如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點. (1)求點到直線的距離； (2)求直線到平面的距離. 參考答案： 解：以為原點， ，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以,,,,. （1）取，，則 ，．所以，點到直線的距離為． （2）因為，所以，又面，面， 所以平面，所以點到平面的距離，即為直線到平面的距離． 設平面的法向量為，則 所以 所以 取，則，,所以，是平面的一個法向量,又因為，所以點到平面的距離為,即直線到平面的距離為． 思考：上述過程中求兩種距離的步驟是怎樣的？ 參考答案： 點到直線的距離： 1.建系，在直線上任取一點 (注：選擇特殊便于計算的點)，求“參考向量(或)”的坐標. 2. 依據圖形先求出直線的單位方向向量. 3.帶入公式求解. 點到平面的距離： 1.建系，選擇“參考向量”； 2.確定平面的法向量； 3.帶入公式求值. 【歸納總結】 空間向量解決立體幾何問題的 “三步曲”： （1）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面,把立體幾何問題轉化為向量問題； （2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題； （3）把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論. 練一練： 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點，N為BC的中點． (1)求點M到直線AC1的距離； (2)求點N到平面MA1C1的距離． 參考答案： 解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系， 則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)， 直線AC1的一個單位方向向量為 ， 故點M到直線AC1的距離為 . (2)設平面MA1C1的一個法向量為＝(x，y，z)， 則即 取x＝1，得z＝2，故＝(1，0，2)為平面MA1C1的一個法向量，因為N(1，1，0)，所以＝(－1，1，－1)， 故N到平面MA1C1的距離d＝＝＝．
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 如何用向量法求空間中點到直線距離？ 如何用向量法求空間中點到平面距離？ 如何用空間向量解決立體幾何問題？
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