資源簡介

課時(shí)2 用空間向量研究距離、夾角問題
學(xué)習(xí)目標(biāo) 理解直線的方向向量、平面法向量的關(guān)系，能用向量方法求解異面直線所成角、線面角和面面角.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)：理解直線的方向向量、平面法向量的關(guān)系，能用向量方法求解異面直線所成角、線面角和面面角. 任務(wù)1：探索利用空間向量數(shù)量積求解直線與直線所成角問題. 如圖，在棱長為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，分別為的中點(diǎn)，求直線和夾角的余弦值. 問題1：這個(gè)問題的已知條件是什么？根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，你打算通過什么途徑將這個(gè)立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題？ 參考答案： 已知正四面體的棱長和棱與棱之間夾角，和是中線，其模長可求，與其他棱的夾角也是確定的， 途徑1：通過建立一個(gè)基底，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面等元素，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題； 途徑2：通過建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面等元素，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題.實(shí)際上，空間直角坐標(biāo)系也是基底，是“特殊”的基底. 問題2：根據(jù)途徑1，結(jié)合已知條件，思考建立怎樣的基底能便于計(jì)算向量，的數(shù)量積？ 參考答案： 由已知條件可知，向量的模長已知，且它們之間的夾角也已知，故選擇為基底并表示向量，便于計(jì)算數(shù)量積. 問題3：請你通過向量運(yùn)算，求出向量，夾角的余弦值，進(jìn)而求出直線和夾角的余弦值. 參考答案： 解：化為向量問題 以為基底，則， 設(shè)向量夾角為，則直線和夾角的余弦值為. 進(jìn)行向量運(yùn)算 ， 而都是正三角形，所以， 所以， ， 回到圖形問題 所以，直線和夾角的余弦值為. 思考：回顧求解過程，歸納利用向量求空間直線夾角所成的角的余弦值的步驟. 【歸納總結(jié)】 將直線與直線所成的角轉(zhuǎn)化成直線的方向向量的夾角，進(jìn)而利用向量的數(shù)量積求解.也就是說，若異面直線所成的角為，其方向向量分別為，則 任務(wù)2：探索空間向量求解直線與平面所成角的方法. 如圖所示，設(shè)直線的方向向量是，平面α的法向量為，則由此討論如何用向量和求解直線與平面的夾角θ的正弦值？ 【歸納總結(jié)】 直線與平面所成角的一般表達(dá)式： ,其中，為直線的方向向量，為平面的法向量. 任務(wù)3：探索空間向量求解平面與平面所成角的方法. 如圖所示，類比已有的直線、平面所成角的定義，你認(rèn)為應(yīng)如何合理定義兩個(gè)平面所成的角？進(jìn)一步地，如何求平面和平面的夾角？ 【歸納總結(jié)】 類似兩條異面直線所成的角，若平面，的法向量分別是，，則平面和平面的夾角即為向量和的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面和平面的夾角為，則 問題1：如何求平面的法向量？ 參考答案： 在平面內(nèi)找兩個(gè)不共線的向量和，設(shè)平面的法向量為，則 根據(jù)這個(gè)不定方程組，可以求得一個(gè)法向量. 問題2：平面與平面的夾角與二面角的區(qū)別和聯(lián)系是什么？ 參考答案： 二面角的大小是指其兩個(gè)半平面的張開程度，可以用其平面角的大小來定義，它的取值范圍是；而平面和平面的夾角是指平面和平面相交，形成的四個(gè)二面角中不大于的二面角. 任務(wù)4：利用空間向量求解線面角，并歸納空間向量解決立體幾何問題的方法. 如圖，在直棱柱中，，，，為中點(diǎn)，分別在棱，上，，.求平面與平面夾角的余弦值. 參考答案： 解：轉(zhuǎn)化為向量問題 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面法向量為，平面法向量為，平面與平面夾角即為，的夾角或其補(bǔ)角. 進(jìn)行向量運(yùn)算 平面的一個(gè)法向量為.由題意，，，，，. 設(shè)，則即 所以 令得，則 回到圖形問題 設(shè)平面與平面夾角為，則 ， 即平面與平面夾角的余弦值為. 思考：結(jié)合上述解題過程，空間向量解決立體幾何問題的步驟是怎樣的？對此你有怎樣的體會(huì)？ 參考答案：
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問題，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. 如何用向量法求空間中異面直線夾角？ 如何用向量法求空間中線面角？ 如何用空間向量求空間中面面角？
2課時(shí)2 用空間向量研究距離、夾角問題
學(xué)習(xí)目標(biāo) 理解直線的方向向量、平面法向量的關(guān)系，能用向量方法求解異面直線所成角、線面角和面面角.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)：理解直線的方向向量、平面法向量的關(guān)系，能用向量方法求解異面直線所成角、線面角和面面角. 任務(wù)1：探索利用空間向量數(shù)量積求解直線與直線所成角問題. 如圖，在棱長為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，分別為的中點(diǎn)，求直線和夾角的余弦值. 問題1：這個(gè)問題的已知條件是什么？根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，你打算通過什么途徑將這個(gè)立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題？ 問題2：根據(jù)途徑1，結(jié)合已知條件，思考建立怎樣的基底能便于計(jì)算向量，的數(shù)量積？ 問題3：請你通過向量運(yùn)算，求出向量，夾角的余弦值，進(jìn)而求出直線和夾角的余弦值. 思考：回顧求解過程，歸納利用向量求空間直線夾角所成的角的余弦值的步驟. 【歸納總結(jié)】 任務(wù)2：探索空間向量求解直線與平面所成角的方法. 如圖所示，設(shè)直線的方向向量是，平面α的法向量為，則由此討論如何用向量和求解直線與平面的夾角θ的正弦值？ 【歸納總結(jié)】 任務(wù)3：探索空間向量求解平面與平面所成角的方法. 如圖所示，類比已有的直線、平面所成角的定義，你認(rèn)為應(yīng)如何合理定義兩個(gè)平面所成的角？進(jìn)一步地，如何求平面和平面的夾角？ 【歸納總結(jié)】 問題1：如何求平面的法向量？ 問題2：平面與平面的夾角與二面角的區(qū)別和聯(lián)系是什么？ 任務(wù)4：利用空間向量求解線面角，并歸納空間向量解決立體幾何問題的方法. 如圖，在直棱柱中，，，，為中點(diǎn)，分別在棱，上，，.求平面與平面夾角的余弦值. 思考：結(jié)合上述解題過程，空間向量解決立體幾何問題的步驟是怎樣的？對此你有怎樣的體會(huì)？
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任務(wù)：回答下列問題，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. 如何用向量法求空間中異面直線夾角？ 如何用向量法求空間中線面角？ 如何用空間向量求空間中面面角？
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