資源簡介

傾斜角與斜率
學習目標 1.在平面直角坐標系中，了解確定直線位置關系的幾何要素，理解直線的傾斜角概念. 2.理解斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率計算公式及其范圍.
學習活動
導入：請同學們觀察圖片，說說圖片中有哪些直線？這些直線有什么區別？ 目標一：在平面直角坐標系中，了解確定直線位置關系的幾何要素，理解直線的傾斜角概念. 任務1：回答下列問題，探索確定直線位置關系的幾何要素. 問題： 1.在平面直角坐標系中，如何確定一條直線的位置，由一點能否確定一條直線？ 2.如圖，這些直線都過點P，它們之間有什么區別？ 思考1：如何表示直線的方向呢？ 【新知講解】 直線的傾斜角的定義： 思考2：根據直線的傾斜角的定義，找出下列直線的傾斜角，做好標注，并歸納傾斜角的范圍是多少？ 練一練： 下列圖中標出的直線的傾斜角對不對？如果不對，請同學們找出正確的直線的傾斜角？
目標二：理解斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率計算公式及其范圍. 任務1：探究坐標點刻畫直線傾斜程度，理解斜率的概念. 在平面直角坐標系中，設直線的傾斜角為. 1.已知直線l經過點O(0，0)，P(，1)，α與點O，P的坐標有什么關系 2.類似地，如果直線l經過點P1(－1，1)，P2(，0)，α與點P1，P2的坐標又有什么關系 3.一般地，直線l的傾斜角α與P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么內在聯系 思考1：當直線P1P2與x軸平行或重合時，上述式子還成立嗎？為什么？ 思考2：當直線P1P2與y軸平行或重合時，上述式子還成立嗎？為什么？ 思考3：已知直線P1P2的位置順序互換時，上述公式會發生變化嗎？ 【新知講解】 直線的斜率： 思考4：當直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°時，其斜率如何變化？為什么 練一練： 已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率. （2） 任務2：根據直線的斜率計算公式求解下列直線的斜率，并判斷傾斜角. 如圖，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角． 任務3：探究直線方向向量與斜率的關系. 問題1：如圖所示，如何用P1、P2的坐標表示該直線的方向向量？ 問題2：該直線的方向向量與其斜率k有什么關系？
學習總結
任務：根據下列問題，構建知識導圖. 回顧本課，我們學了關于直線傾斜角與斜率的哪些內容？學習路徑是怎樣的？
2傾斜角與斜率
學習目標 1.在平面直角坐標系中，了解確定直線位置關系的幾何要素，理解直線的傾斜角概念. 2.理解斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率計算公式及其范圍.
學習活動
導入：請同學們觀察圖片，說說圖片中有哪些直線？這些直線有什么區別？ 目標一：在平面直角坐標系中，了解確定直線位置關系的幾何要素，理解直線的傾斜角概念. 任務1：回答下列問題，探索確定直線位置關系的幾何要素. 問題： 1.在平面直角坐標系中，如何確定一條直線的位置，由一點能否確定一條直線？ 參考答案：根據兩個點的坐標或者一個點和一個方向確定直線的位置，一點不能確定一條直線. 2.如圖，這些直線都過點P，它們之間有什么區別？ 參考答案：傾斜程度不同，方向不同. 思考1：如何表示直線的方向呢？ 【新知講解】 規定：（1）水平直線的方向向右（2）其它直線向上的方向為這條直線的方向 直線的傾斜角的定義：我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角. 思考2：根據直線的傾斜角的定義，找出下列直線的傾斜角，做好標注，并歸納傾斜角的范圍是多少？ 【新知講解】 當直線l與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0°．因此，直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°. 這樣，在平面直角坐標系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角，而且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不同.因此，我們可以用傾斜角表示平面直角坐標系中一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向. 練一練： 下列圖中標出的直線的傾斜角對不對？如果不對，請同學們找出正確的直線的傾斜角？ 參考答案：略.
目標二：理解斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率計算公式及其范圍. 任務1：探究坐標點刻畫直線傾斜程度，理解斜率的概念. 在平面直角坐標系中，設直線的傾斜角為. 1.已知直線l經過點O(0，0)，P(，1)，α與點O，P的坐標有什么關系 參考答案：如圖， 向量=（，1），且直線OP的傾斜角也為α．由正切函數的定義，有． 2.類似地，如果直線l經過點P1(－1，1)，P2(，0)，α與點P1，P2的坐標又有什么關系 參考答案：如圖， ．平移向量到，則點P的坐標為，且直線OP的傾斜角也是α．由正切函數的定義，有． 3.一般地，直線l的傾斜角α與P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么內在聯系 參考答案：如圖， 向量．平移向量到，則點P的坐標為，且直線OP的傾斜角也是α，由正切函數的定義，有tanα=． 思考1：當直線P1P2與x軸平行或重合時，上述式子還成立嗎？為什么？ 參考答案：成立，設P1(x1，0)， P2(x2，0)，所以tanα=． 思考2：當直線P1P2與y軸平行或重合時，上述式子還成立嗎？為什么？ 參考答案：不適用，因為分母為零. 思考3：已知直線P1P2的位置順序互換時，上述公式會發生變化嗎？ 參考答案：不會， 【新知講解】 直線l的傾斜角α與直線l上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的坐標有如下關系：tanα= 注意：x1x2，當x1=x2時，直線l傾斜角為90°，上式無意義. 直線的斜率：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k=tanα=因此在平面直角坐標系中，傾斜角和斜率分別可以從形與數的角度刻畫直線相對于x軸的傾斜程度. 日常生活中常用“坡度”表示傾斜面的傾斜程度：坡度=．當直線的傾斜角為銳角時，直線的斜率與坡度是類似的． 思考4：當直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°時，其斜率如何變化？為什么 參考答案:當傾斜角α滿足0o≤α<90o且逐漸增大時，斜率k逐漸增大; 當傾斜角α=90o，斜率不存在; 當傾斜角α滿足90o<α<180o且逐漸增大時，斜率k逐漸增大. 練一練： 已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率. （2） 參考答案: 根據直線的斜率公式可知k=tanα=tan30°=； k=tanα=tan120°=. 任務2：根據直線的斜率計算公式求解下列直線的斜率，并判斷傾斜角. 如圖，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角． 參考答案： 直線AB的斜率kAB==； 直線BC的斜率kBC===-； 直線CA的斜率kCA===1． 由kAB>0及kCA>0可知，直線AB與CA的傾斜角均為銳角； 由kBC<0可知，直線BC的傾斜角為鈍角． 任務3：探究直線方向向量與斜率的關系. 問題1：如圖所示，如何用P1、P2的坐標表示該直線的方向向量？ 參考答案：我們知道，直線P1P2上的向量及與它平行的向量都是直線的方向向量. 直線P1P2的方向向量的坐標為. 問題2：該直線的方向向量與其斜率k有什么關系？ 參考答案：當直線P1P2與x軸不垂直時，. 此時向量也是直線P1P2的方向向量，且它的坐標為即其中k是直線P1P2的斜率．因此，若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為（x，y），則.
學習總結
任務：根據下列問題，構建知識導圖. 回顧本課，我們學了關于直線傾斜角與斜率的哪些內容？學習路徑是怎樣的？ 參考答案：
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