資源簡介

課時5 直線的一般式方程
學習目標 1.了解直線一般式方程，理解其與二元一次方程的關系，能正確進行一般式與特殊形式的轉化. 2.理解一般式下直線平行垂直的判斷條件，能運用直線的一般式方程解決有關問題.
學習活動
目標一：了解直線一般式方程，理解其與二元一次方程的關系，能正確進行一般式與特殊形式的轉化. 任務1：探索直線方程與二元一次方程的關系，推導直線一般式方程. 直線方程類型表達式適用條件點斜式斜截式兩點式截距式
參考答案： 直線方程類型表達式適用條件點斜式存在.斜截式存在.兩點式直線不垂直于x，y軸.截距式直線與x，y軸都有交點，且不經過原點.
思考： 1.上述直線方程都是二元一次方程嗎？是不是所有直線都可以用關于x，y的二元一次方程表示？ 2.任意一個關于x，y的二元一次方程都可以轉化為直線方程的斜截式嗎？該方程能表示一條直線嗎？ 參考答案： 1.設任意一條直線l，在其上任取一點，當直線l的斜率為k時，其方程為，這是關于x，y的二元一次方程，當直線l的斜率不存在，即直線l的傾斜角時，直線方程為，該方程可以看成是y的系數為零的關于x，y的二元一次方程. 2.當B≠0時，方程Ax+By+C=0可變形為,表示過點，斜率為的直線.當B＝0，A≠0時，方程Ax+By+C=0可變形為,其表示過點，且垂直于x軸的直線. 綜上可知，關于x，y的二元一次方程都表示一條直線. 【歸納總結】 1.我們把關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同時為0)叫做直線方程的一般式，簡稱一般式. 2.直線一般式方程的結構特征： ①方程是關于x，y的二元一次方程． ②方程中等號的左側自左向右一般按x，y常數的先后順序排列． ③x的系數一般不為分數和負數． ④雖然直線方程的一般式有三個參數，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程． 任務2：探索直線的一般式方程化為其他形式方程的條件. 問題： 1.直線方程的一般式Ax+By+C=0如何轉化為y=kx+b形式？ 2.直線方程的一般式Ax+By+C=0如何轉化為形式？參考答案： 1.當B≠0時，直線方程Ax+By+C=0可變形為，此時有. 2.當ABC≠0時，直線方程Ax+By+C=0可變形為，此時有. 【歸納總結】 練一練 已知直線經過A（6，-4），斜率為，求直線的點斜式和一般式方程. 參考答案： 解：經過A（6，-4），斜率為的直線的點斜式方程是，化為一般式，得4x+3y-12=0.
目標二：理解一般式下直線平行垂直的判斷條件，能運用直線的一般式方程解決有關問題. 任務1：推導直線與坐標軸平行、重合時一般式方程系數的特點. 在方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零)中,A,B,C為何值時,方程表示的直線： (1)平行于x軸？(2)平行于y軸？(3)與x軸重合？(4)與y軸重合？ 參考答案： 當A=0時,方程變為y=-,當C≠0時表示的直線平行于x軸,當C=0時與x軸重合; （2）當B=0時,方程變為x=-,當C≠0時表示的直線平行于y軸,當C=0時與y軸重合. 任務2：推導兩直線平行、垂直時一般式方程系數的關系. 設直線方程為,其中，直線方程為，其中. 1.當時，兩直線方程的系數之間有什么關系？ 2.當時，兩直線方程的系數之間有什么關系？ 參考答案：1.若且不重合時，則,即或；若與重合時，則. 2.直線方程可化為，直線方程可化為.若則即. 【歸納總結】 任務3：利用兩直線平行、垂直系數的關系，求參數. （1）已知直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行,求實數m的值; （2）已知直線l1：(a+2)x+(1-a)y-1=0與直線l2： (a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求實數a的值. 參考答案： 解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.當m=-3時,l1： x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,顯然l1與l2不重合,∴l1∥l2. 同理,當m=2時,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1與l2不重合,l1∥l2, 故m的值為2或-3. (2)由直線l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1. 故當a=1或a=-1時,直線l1⊥l2. 【歸納總結】 利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略: 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0. 練一練： 已知直線l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋（a＋1）y＋1＝0，若l1∥l2，求a的值. 參考答案： 解：∵l1∥l2，∴a（a＋1）＝6，解得：a＝－3或2， a＝2時，直線l1：2x＋3y＋1＝0，l2：2x＋3y＋1＝0，l1與l2重合，舍去；a＝－3時，直線l1：－3x＋3y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0，l1∥l2，符合題意，所以a＝－3.
學習總結
任務：根據下列“關鍵詞”，構建知識導圖. “一般式”、“平行”、“垂直” 參考答案：課時5 直線的一般式方程
學習目標 1.了解直線一般式方程，理解其與二元一次方程的關系，能正確進行一般式與特殊形式的轉化. 2.理解一般式下直線平行垂直的判斷條件，能運用直線的一般式方程解決有關問題.
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目標一：了解直線一般式方程，理解其與二元一次方程的關系，能正確進行一般式與特殊形式的轉化. 任務1：探索直線方程與二元一次方程的關系，推導直線一般式方程. 直線方程類型表達式適用條件點斜式斜截式兩點式截距式
思考： 1.上述直線方程都是二元一次方程嗎？是不是所有直線都可以用關于x，y的二元一次方程表示？ 2.任意一個關于x，y的二元一次方程都可以轉化為直線方程的斜截式嗎？該方程能表示一條直線嗎？ 【歸納總結】 任務2：探索直線的一般式方程化為其他形式方程的條件. 問題： 1.直線方程的一般式Ax+By+C=0如何轉化為y=kx+b形式？ 2.直線方程的一般式Ax+By+C=0如何轉化為形式？ 【歸納總結】 練一練 已知直線經過A（6，-4），斜率為，求直線的點斜式和一般式方程.
目標二：理解一般式下直線平行垂直的判斷條件，能運用直線的一般式方程解決有關問題. 任務1：推導直線與坐標軸平行、重合時一般式方程系數的特點. 在方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零)中,A,B,C為何值時,方程表示的直線： (1)平行于x軸？(2)平行于y軸？(3)與x軸重合？(4)與y軸重合？ 任務2：推導兩直線平行、垂直時一般式方程系數的關系. 設直線方程為,其中，直線方程為，其中. 1.當時，兩直線方程的系數之間有什么關系？ 2.當時，兩直線方程的系數之間有什么關系？ 【歸納總結】 任務3：利用兩直線平行、垂直系數的關系，求參數. （1）已知直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行,求實數m的值; （2）已知直線l1：(a+2)x+(1-a)y-1=0與直線l2： (a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求實數a的值. 【歸納總結】 利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略: 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 練一練： 已知直線l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋（a＋1）y＋1＝0，若l1∥l2，求a的值. 參考答案：
學習總結
任務：根據下列“關鍵詞”，構建知識導圖. “一般式”、“平行”、“垂直”

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