資源簡介

點到直線距離公式、兩條平行直線間的距離
學習目標 1.掌握點到直線的距離公式,能應用點到直線距離公式解決有關距離問題. 2.利用點到直線距離公式推導平行線間的距離公式，并能應有平行線間距離公式求解相關問題.
學習活動
導入：在公路附近有一家鄉村飯館,現在需要鋪設一條連接飯館和公路的道路.請同學們幫助設計一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長度最短 目標一：掌握點到直線的距離公式,能應用點到直線距離公式解決有關距離問題. 任務1：推導點到直線距離公式. 如圖所示，將上述情境問題抽象成數學問題，設鄉村飯館的位置為點，公路為直線l：Ax+By+C=0，過P做線段PQ⊥l，交l于點Q，求點P到直線l的距離即|PQ|的長度. 問題1：如何求Q點坐標？ 問題2：如何求|PQ| 思考：若設垂足Q（x，y），則，其幾何意義是什么？結合上述方程組，能否直接求出，進而求出|PQ| 【歸納總結】 設而不求： 向量是解決距離、角度問題的有力工具，如何利用向量法求點到直線的距離？如圖所示，點M（x，y）是直線l上的任意一點，是與直線l的方向向量垂直的單位向量，是在上的投影向量. 問題1.如何求出向量？ 問題2.如何求？ 【歸納總結】 點到直線距離公式： 思考：比較上述兩種方法，說說二者的區別是什么？ 任務2：利用點到直線距離公式求三角形面積. 如圖，已知的三個頂點分別是. 問題1.求三角形面積的思路是什么？ 問題2.該如何求出的面積？ 思考：在運用點到直線距離公式時，有哪些注意事項？它是適用于任意直線嗎？ 【歸納總結】
目標二：利用點到直線距離公式推導平行線間的距離公式，并能應有平行線間距離公式求解相關問題. 任務：利用點到直線距離公式求兩平行線間的距離公式. 已知兩條平行直線：2x-y+1=0,：2x-y-3=0,求與間的距離. 問題：兩平行線間的距離有什么特點？據此思考該如何求解？ 思考：根據上述求解過程，思考如何求解兩平行直線與間的距離？ 【歸納總結】 兩平行直線與間的距離公式： 練一練： 已知直線與直線平行，則它們之間的距離為（ ） B． C． D．
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 點到直線距離公式是什么？用什么方法推導？ 什么是設而不求？有什么作用？ 兩平行線間的距離公式是什么？
2點到直線距離公式、兩條平行直線間的距離
學習目標 1.掌握點到直線的距離公式,能應用點到直線距離公式解決有關距離問題. 2.利用點到直線距離公式推導平行線間的距離公式，并能應有平行線間距離公式求解相關問題.
學習活動
導入：在公路附近有一家鄉村飯館,現在需要鋪設一條連接飯館和公路的道路.請同學們幫助設計一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長度最短 目標一：掌握點到直線的距離公式,能應用點到直線距離公式解決有關距離問題. 任務1：推導點到直線距離公式. 如圖所示，將上述情境問題抽象成數學問題，設鄉村飯館的位置為點，公路為直線l：Ax+By+C=0，過P做線段PQ⊥l，交l于點Q，求點P到直線l的距離即|PQ|的長度. 問題1：如何求Q點坐標？ 參考答案：設，.由，以及直線l的斜率為，可得l的垂線PQ的斜率為，因此，垂線PQ的方程為，即.解方程組，得直線l與PQ的交點坐標，即垂足Q的坐標為. 問題2：如何求|PQ| 參考答案： . 因此，點到直線的距離.可以驗證，當A=0，或B=0時，上述公式仍然成立. 思考：若設垂足Q（x，y），則，其幾何意義是什么？結合上述方程組，能否直接求出，進而求出|PQ| 參考答案：幾何意義：P、Q兩點的距離；將方程組配成形式，即，然后方程組兩邊平方相加得，，所以，即 【歸納總結】 設而不求：在平面幾何中，（1）設出問題中的關鍵變量，（2）列出有關關系式；（3）整體代換求出最后結果. 例如在上述問題中我們設出關鍵變量Q的坐標（x,y），然后通過兩點距列出關系式，在結合已知整體代換，進而求的點到直線距離. 向量是解決距離、角度問題的有力工具，如何利用向量法求點到直線的距離？如圖所示，點M（x，y）是直線l上的任意一點，是與直線l的方向向量垂直的單位向量，是在上的投影向量. 問題1.如何求出向量？ 參考答案：設，是直線上的任意兩點，則是直線l的方向向量，把，兩式相減，得.由平面向量的數量積運算可知，向量與向量垂直.向量就是與直線l的方向向量垂直的一個單位向量.我們取. 問題2.如何求？ 參考答案： . 因為點在直線l上，所以.所以.代入上式，得.因此. 【歸納總結】 點到直線距離公式：若點到直線l：的距離. 思考：比較上述兩種方法，說說二者的區別是什么？ 參考答案：略. 任務2：利用點到直線距離公式求三角形面積. 如圖，已知的三個頂點分別是. 問題1.求三角形面積的思路是什么？ 參考答案：略 問題2.該如何求出的面積？ 參考答案：解：如圖，設邊AB上的高為h，則. .邊AB上的高就是點到直線AB的距離.邊AB所在直線的方程為，即. 點到直線的距離.因此，. 思考：在運用點到直線距離公式時，有哪些注意事項？它是適用于任意直線嗎？ 【歸納總結】 運用此公式時要注意直線方程必須是一般式，若給出其他形式，應先化成一般式再用公式. 當點在直線上時，點到該直線的距離為0，公式仍然適用. 直線方程 Ax +By + C=0中，A=0或B=0公式也成立.但由于此時的直線是特殊直線（與坐標軸垂直），故也可以用數形結合求解.
目標二：利用點到直線距離公式推導平行線間的距離公式，并能應有平行線間距離公式求解相關問題. 任務：利用點到直線距離公式求兩平行線間的距離公式. 已知兩條平行直線：2x-y+1=0,：2x-y-3=0,求與間的距離. 問題：兩平行線間的距離有什么特點？據此思考該如何求解？ 參考答案：解：(1)兩平行線間的距離處處相等；（2）不妨先求直線與y軸的交點A的坐標，易知A（0,1），所以點A到直線的距離為.所以與間的距離為. 思考：根據上述求解過程，思考如何求解兩平行直線與間的距離？ 參考答案：在直線上任取一點，點到直線的距離就是這兩條平行直線間的距離.即,因為在直線上，所以，即，因此. 【歸納總結】 兩平行直線與間的距離公式：. 注：在運用兩平行線間的距離公式時，兩條直線方程要化為一般式，同時x、y的系數必須相同. 練一練： 已知直線與直線平行，則它們之間的距離為（ ） B． C． D． 參考答案：由可得，由平行線間距離公式可得：它們之間的距離為，故選：C.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 點到直線距離公式是什么？用什么方法推導？ 什么是設而不求？有什么作用？ 兩平行線間的距離公式是什么？ 參考答案：
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